對數學的思考

談過了文字，接下來，我想描述一些我對數學的一些看法。

從一開始，數字其實並不存在我們這個世界。這顯而易見，畢竟數字是由我們人類創造的。物質存在數量，所以我們必須要有一個東西去描述這個數量關係。從自身角度：一個鼻子，兩隻眼睛，十根手指……從自然角度，一條小溪，幾塊石頭，幾隻牛羊，幾座山……世界存在數量，而我們需要對其描繪，於是就產生了數字。

如果世界上所有物質唯一，那麼定然是無所謂「幾」的。所以數字的誕生與物質存在數量有密不可分的關係。

作為生活在三維世界裡的我們，自然不滿足於數量，我們還要描繪距離，描繪一個物體到另一個物體的距離。對於物體與物體之間的關係，距離是最基本、最淺顯、最直觀的。代表數量的方式很多，比如一開始的堆石子個數，手指數數，在石頭上畫痕迹……

但是距離用什麼來代表呢？在古時候，我們用腳的步數來代替距離：百步穿楊，步：古代的一步指行走時兩腳之間距離的兩倍，約相當於舊制五尺。而後的周制，寸、尺、咫、尋、常、仞諸度量，皆以人之體為法。長度單位從古至今的不斷演化，工具的發展，以及對長度單位的規定逐漸精確，以至於我們能夠對事物進行準確描繪。

總的來說，我們學著用數字來代替了距離，而單位是從較為日常的步數，即與人相關的各個距離開始（步長，臂長……）。

但因每個人的步長並不均勻相等，故而相互之間各自約定俗成一個公理，取了一個統一的長度單位，我自稱其為「母尺」。然後其他人按照母尺的單位劃分比對過去，達到傳遞，這樣大家都確定了一個方便說明的長度。

1、因為地域的關係，並不是所有地方都對準一個「母尺」，所以西方的英寸和我們這裡的寸又不同。

2、因為時間的關係，「母尺」的長度在傳遞過程中喪失精度，所以古時候並不能保持一個固定的長度。

3、因為文字的關係，單單是一個單位「寸」，在不同時期代表的長度也不同，這就和文字有關了，不同時期賦予了這個字不同的含義替代。

歸根究底長度仍然是數量，而面積和體積其實也是數量。

只不過長度上的數量在於單位長度，而面積是單位面積，體積是單位體積。換一個角度，正因為不管是長度、面積、體積都是數量，以至於數字都能對其進行表示，而差別在於單位的階不同（m，m^2，m^3，暫以米為基本單位）。

在數單位的過程中，我們逐漸誕生了許多運演算法則。

長度是加法，面積是乘法，體積是兩次乘法。

還是上面這個例子：

問題一：1+2+3=6，加法其實就是幾個相似的物體放在你面前進行累加。對於長度來說，一個線段中如圖，只是把單位長度擺在了一起，提高了你數個數的速度。如果多個單位長度東一塊，西一塊，你要對其描述長度，那自然是自找麻煩，所以需要單位長度的拼接。描述：長度為6。那麼你就知道這是由6個單位長度組成的長度。加法就是一種並排的數個數方法。

問題二：為什麼3*4=12，你會發現其實你也講不出原理。硬要講的話，不過也是畫一個3*4的長方體，高三個格子，寬四個格子。可以看成共3行，每行4個格子，4+4+4=12；可以看成共4列，每列共3個盒子，3+3+3+3=12；驗證數一下，發現有12個格子。而乘法，就是一個將平面簡化呈直線，再通過直線進行加法的方法。

問題三：再比如3*4*3=36。同理，數格子。三層都放下來，由立體變成平面，再由平面化為直線相加。

上圖所示，是對第三個體積的立體圖形的另一種描述，

第一個最上面的1個結點，就是這個立體圖形。

第二層的3個結點就是將圖形分成三層。

第三層的9個結點就是將圖形每一層的個數分成3行。

第四層的36個結點就是將圖形每一行的個數分為4列。

由此我們已經將這個立體圖得到共4*3*3=36的結果。

所以我們的計算不過就是在數個數罷了，只不過用不同的方式加快了對數的統計速度，對數的累計方法進行了一個總結。

這些都是我們小學的時候，背下來的最基本的加快統計的公式。初中、高中、大學中學習的數學也最終逃不過這個原理。我們積累了許許多多加快統計數的方法，提高了我們運算的速度，降低了思維的複雜性，每一次計算不用再重新推導底層。

當然，對於一開始學習數學的人來說，這樣的認識應該是容易得到的，而深入學習數學之後，這樣的認識漸漸變得不值一提。其實這也是我們對事物進行總結的一個好處，跳過繁瑣重複勞作的過程，快速獲取與計算信息。不過我們也應該要在不急的時候回過頭看看本質。（其實我們有太多東西都是通過「經驗」直接跳過了很多細節的地方，這裡就以數學舉了個例子。）

上面這個是在計算方法（+-*/）上提高了速度，下面這個是在說數字替換上。

實際上我們在做題的時候，也經常以常量a、b來代替具體的數值。這個時候的a^2，ab，並不一定是面積，具體還得看題目描述。我們常常用a、b這樣的符號，來替代數字進行計算。這就像一個模板，提供一套方法，讓具體的數值帶入到符號中仍能成立。這也是我們普通編程的最基本思想，給定數值，通過方法，獲得結果。（機器學習與這太不同）

當數學發展到一定程度，我們抽象的思維自然不可能只停留在可數階段。我們逐漸上升到對極大（正負無窮）與極小（微元法）的思考。這個時候已經無法單純的數個數了，因為沒有東西展現在你面前給你數。你只能通過計算方法和數字替換，發揮自己的想像，假設他是無窮大或無窮小，其實是對計算方法的再一次總結。當你將問題考慮到無窮大時，優點在於無論你現實中的數字多大，那都能靈活的涵蓋其中。

談談數形結合。

我們常常在學數學的時候講究數形結合。當數學符號難以描述一種狀態之後，我們就開始借用簡單的圖形來解釋抽象。

對於數學題，為什麼數形結合會讓題目更容易做？

眼睛作為人的一個重要的輸入器官，除了休息睡覺，我們幾乎都非常依賴這個有效的輸入方式。又因為我們活的世界是由千千萬萬個圖形與結構構成，這些與我們生活所息息相關的物質才是最令人信服的。這一點還是因為數字終究是抽象的，正如我第一篇文章所寫的那樣，數字終究是人們賦予的一個記號罷了。

而圖形普遍更加直觀，是將抽象的思維在空間中展開，將複雜的現實世界以一種極其簡單的結構呈現。比如說我們研究長方體，一個四四方方的箱子就是一個長方體。當我們要研究長方體的性質的時候，自然是更在意長方體這樣一個結構。但箱子往往會有很多額外的元素，比如箱子的材質、顏色。圖形是物體形狀的簡化版，但正如這種將需要考慮的部分提取出來，其他多餘部分忽略，也更讓圖形更加易於接受信息。

還有一個例子是，你跟你和不認識數字的小孩說12厘米長還是21厘米長的時候，可能分不清楚，但是你給他一個實際的兩個東西時，一般都能直接說出那個更長。

其次數字是不可以變形的，是靜態的，而圖形是可以動的，靈活的。作為記號，其外觀發生變化，可能代表的東西就不一樣了，典型如數字6和數字9。比如你把6這個數字旋轉一個90度，你需要在大腦中將6倒轉圈在下面，才能看出是6，而圈在上面就是9。那長方形呢，不管怎麼旋轉，我們依舊可以把它視作長方形。

其實很多看似不能在現實生活中出現的數字，都能以圖像的方式展現。負數其實很好理解，數軸的負半軸，我欠你2塊錢，對我來說就可以是-2。那複數呢？1+2i這個如何表示，其實也很簡單，1個單位的x軸和2個單位的y軸拼接起來。其實還有別的例子，一時間想不起來了。

我們的大腦像是一個DIY宇宙，我們能在裡面刻畫許多東西。他的可想像空間似乎是無限，但應該與我們的想像力有關。若想像的越宏大，那描繪的形態就越模糊；反之越細小就越清晰。大腦的描繪能力可以打破我們這個物質世界的局限。我們可以構建一個極其簡練的物體結構，然後以不同的角度，可以肆無忌憚的環顧這個結構，隨意觀察。可當自身不再描繪這個物體之後，他就會漸漸模糊消失。所以我們會選擇在紙上去記錄下我們所想像的物體的一個角度，以便於我們重新想起，之前在大腦中描繪的圖像。

這似乎是我們人類解決問題時的一個優勢。

這篇文章，其實可有可無，但其中重要的想法如下：

第一點在於世界上各種類型的物體其數量都不是唯一的。這一點其實是世界上最重要的一件事，不論你套用到哪個問題裡面，數量永遠都會影響到那個問題。

第二點講的是我們數學、計算機的發展其源於計算方法的一步步總結，總結道一定程度，會丟失之前的基本定義，俗稱公式拿過來用，能算出答案就可以了。

第三點是善於用圖形來理解，數形結合！

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