植物的數學模式，沒有一種植物生長是隨機的，他們都有數學性
數術控制的生物世界
偶爾觀察一下植物王國，你就會清楚看到生命的第二個秘密，比在其他任何地方都來得明顯——到處都可以找得到數學模式：在對稱排列的花辨里，
在沿著莖稈上下疊置的葉子里，
在某些植物的圓形種子和某些植物的尖形種子里，
以及在其他一些隨風飄散的種子的小小降落傘狀物里。
就連在樹木不規則的幾何外形里，也隱藏著令人難以捉摸的模式，
這模式是一種自我參照的幾何原理，而在這樣的幾何架構下，樹木的些許小部分會與整體形貌有著不可思議的相似之處——正因為非常相似，所以建構模型的人可以用樹枝代表縮小的樹木。植物世界已經向物理學借用了這樣的結構，甚至現在仍然以近乎原來的形式使用這些結構。
不過，植物的其他特徵則因演化而與原始物理學愈離愈遠。植物的數學原理(如果有的話)，一直隱藏在演化的層層修補中。有某些花朵會模仿雌蠅，是為了騙雄蠅前來做親密的接觸，以便傳播花粉；這種植物與昆蟲交互作用的演化，時間已經長達數億年之久。
在了解那些塑造植物的力量的同時，一定也要區別出哪些是演化形成的，哪些是免費提供的，一定要解開數學的一般限制與有彈性的遺傳指令之間的糾結。
科學家在很早以前就知道植物具有數學性。
湯普生清楚地看到植物世界裡的奇特數術，為植物生長的生物學帶來重要的影響。
多虧有當代動力學的研究成果，我們現在才對這種生物學所涉及的知識，有了相當清楚的概念。湯普生觀察到，植物王國對某些數字及螺線幾何結構有奇特的偏好，
而這些數字又與幾何結構極有關聯；他的這項觀察，遵循了一個建構完整的傳統，這個傳統根據他推測，可追溯至達文西的時代，甚至更可遠推至古埃及。
我們已經注意到，植物(如花瓣、萼片及其他各種外貌)里出現的數目，常取自費布納西數列：1，2，3，5，8，13，21，34，55，89……，在這個數列中，每一個數都是其前兩個數的和。如有例外，多半會是下列兩種情形當中的一種：一、這些數成對出現，這種把戲可能是由植物染色體的某些獨特性變出來的，但仍然屬於費布納西模式；二、所謂的「異常數列」1，3，4，7，11，18，29，這個數列也是按照與費布納西數列相同的加法模式，只不過開始的數字不同。 針對植物的幾何與數目模式所做的研究稱為「葉序」，這類研究的歷史和文獻可列出一大串。在18世紀中葉，就有兩位科學家研究過冷杉球果里的螺線，這兩位數學家分別是龐內及卡蘭德利尼。
後來約在1837年，晶體學先驅布拉菲兄弟對葉序理論做出了很大的貢獻，他們在生長中的植物身上發現了最顯著的單一規則性，也就是植物幾何學中普遍存在的一種特別角度，這部分我們在後面會談到。
1872年，沉迷於數學奇特事物的蘇格蘭數學家泰特，利用晶格的幾何結構，證明出每當某個螺線系統一出現，我們一定也會看到其他相關的螺線。這就是為什麼我們會在相鄰的種子中看到兩組螺線，而這兩個螺線，都與相鄰的費布納西數有關，也都與模式的真正來源有非常大的差別。但上述這些人的研究僅只是敘述罷了——只是整理出排列的幾何結構，但沒有解釋這些數目與植物的生長究竟有何關聯。
費布納西數術之謎
為了解釋植物的費布，納西數術，人們已經花了300多年努力尋找答案。終於。這個目標好像已經達成了；1992年，庫德與鐸狄這兩位法國數學家，將費布納西數術追溯到植物發展所碰到的自然動力學限制條件，總算對這個幾世紀以來的研究做了總結。
庫德與鐸狄的研究成果證明了植物里明顯的數學模式，的確來自物理世界通用的定律，這些模式不只是演化所強化的遺傳偶發事故。然而就像其他所有的事物一樣，物理定律必須與植物的基因密切合作，如果沒有基因，當初就不會生長出任何植物了。
費布納西的兔子謎題隱含了更進一步的訊息。重要的不只是數字；這些數字產生的方式也關係重大。分支結構擁有令人驚嘆的數學理論，而費布納西數是看得見的一點端倪。用上述同樣的結構不僅能說明植物的數術，還可以闡釋植物的整個形態——也包括植物分枝的方式。如今我們可以運用數學規則，來「種」出逼真的草、花、灌木叢和樹木，而那些規則很有可能就是說明植物如何自我生長的精髓所在。
我們先來談數術。要了解費布納西數出現在植物中的狀況，最好的方法其實不是把重心放在這些數的四則運算上。就某種意義而言，這些數的相加模式是一種巧合，是費布納西數術的數學結果，但不是其重要依據。探討這個問題最好的方法，就是來看看植物幾何學。
要看植物中的模式，最好的起點之一就是從湯普生的這個例子開始看起：向日葵的排列方式。在此我們會看到相當驚人的數學模式。
向日葵的花呈現出兩組螺線，一組是順時針旋轉，另一組則是逆時針，兩者好像可以互相套合。在這個例子中，有34條像車輪輻條但呈彎曲狀的順時針螺線，並有55條逆時針方向的螺線，這兩個數目並不相同，但都是費布納西數——而且在數列中的位置是相鄰的。確實的數目要視向日葵的種類而定，不過我們通常看到的是「34及55」一組，或「55及89」一組，甚至有的是「89及144」一組。
雛菊
也有類似的模式，但是比較小。菠蘿有8排向左傾斜的鱗片(也就是那些呈菱形的小片)，另有13排向右傾斜。挪威雲杉的球果有5排鱗片向一個方向，另有3排向另一個方向；而一般常見的落葉松(另一種針葉樹)的數目為8及5；美國落葉松是5及3。
如果遺傳學可以讓花朵自己挑選喜歡的花瓣數目，或者松樹球果可以挑選想要的鱗片數目，那為什麼費布納西數會佔上風?看起來這些數目很有可能是來自某種更深層的數學機制(譬如植物發育所受到的動力學限制條件)，而現存的證據支持了這個觀點。
植物的存在是以種子和一枝嫩芽來作為開始，種子發芽後，很多細根會長出來，並且向地底下生長，而嫩芽則是迎向陽光，向上生長。
成熟植物的所有奇特數術，原本都已經存在了，雖然在那些早期的嫩芽里是肉眼看不到的；它是在植物剛冒出新芽、新細胞即將出現時，由許多動力學條件創造出來的。當新細胞想盡辦法各就各位時，就已經排列好要形成費布納西螺線了。
如果用顯微鏡觀察新芽的頂端，你可以看到所有主要外貌發展過程的一點一滴——包括葉子、花瓣、萼片、小花等等。在新芽頂端的中心，有一個圓形區域的組織稱為「頂尖」；而在頂尖的周圍，則有微小隆起物一個接一個地形成，這些隆起一般被稱為「原基」。
每一個原基自頂尖移開(更精確的說應該是：頂尖從隆起處向外生長，而把隆起留在原地)，最後，這些隆起會長成葉子、萼片之類的東西。還有，那些外貌的一般排列，是在原基開始形成時就安置好了的，所以問題的癥結，是在解釋為什麼你在原基中看到螺，線的形狀及費布納西數，因為植物各式各樣的費布納西特徵，全都是這種基本幾何結構的簡單結果。
第一步是要體認，雖然螺線能夠明顯到讓人一眼看出(植物學家稱之為「斜列線」)，但那並不是植物頂端實際生長模式的直接表徵；就某種程度而言，這些螺線只是錯覺。
最重要的螺線，是依照原基出現的次序來考慮而形成的。由於較早產生的原基移開得較遠，所以你可以從它與頂尖之間的距離，來推斷出現的先後次序。結果發現，原基與原基隔得相當開，並排成一條卷繞得非常緊的螺線——稱為「生成螺線」。人的眼睛之所以能分辨出斜列線(費布納西螺線)，是因為斜列線是由相鄰的原基所形成，但生成螺線才是建立數學模式的真正功臣。
從生成螺線到黃金角
布拉菲兄弟的偉大貢獻，在於發現原基沿生成螺線呈間隔排列的基礎數學規則。他們測量相鄰兩原基之間的角度，首先發現量得的各個角度非常相近；而這些角的共同值就稱為「發散角」。
他們的第二個發現，徹底說明了發散角的性質：發散角往往非常接近137.5°。
布拉菲兄弟發現黃金角是自然界偏好的數值，但是他們並沒有找出為什麼。毫無疑問的，黃金角是自然界所使用的奇特數字，因此這其中一定有很好的理由。
1907年，數學家易特生首度解釋了為什麼黃金角合乎物理原理。他在一條137.5°的緊密繞行的螺線，先標示出相鄰各點，然後研究這些點的排列方式。他證明了我們會因為相鄰兩點的排列方式，而得到兩組交錯的螺線：一組是順時針旋轉，另一組是逆時針。又因為費布納西數與黃金數密切相關，所以兩組螺線的數目是相鄰的費布納西數。究竟是哪些費布納西數，則要看螺線的旋轉有多緊密。
易特生的理論也是純敘述性的：只顯示出排列幾何的主要模式，並沒有解釋這些模式的物理或生物成因。
演化並不會因為某個外貌是不錯的點子，就選擇這個外貌來作為進行的對象；一定有某種合理的演化進行方式。有效堆排就是一種適當的解釋，這方式顯然有助於產生強壯而堅實的植物。不過，雖然希望能做到有效堆排，但這種心愿並不能保證一定會存在一種使有效堆排發生的機制。
很幸運的，鐸狄和庫德所發現的正好是這種機制。他們所得到的黃金角，正是動力學的一項明顯結果，而不是直接把黃金角假設成有效堆排的根據。
他們的第一步，是假設有某種連續出現的元素，在相等的時間間隔下，在一小圓圈的邊緣某處形成；並假設這些元素接著就直接向外移動。此外他們還假設每一元素會互相排拒，就像相同的電荷或極性相同的磁極。這種排斥力能使這些元素一直向外移，而每一新元素出現時，會儘可能遠離它的前者。換句話說，每個新的原基會在最大的間隔處進出來。
這種系統相信可以滿足伏格的有效堆排的準則，因此，預期的黃金角就會自動出現——事實上也是如此，就像鐸狄和庫德利用物理的模擬所證明的：將盛裝硅酮油的圓盤放進垂直磁場中。
他們使微小的磁性流體，在一定的時間間隔下滴落在圓盤中心。油滴被磁場極化，然後就會相斥；當他們使圓盤邊緣的磁場大於圓盤中間的磁場之後，油滴在徑向就會受到一股推力。顯現出來的模式與兩油滴之間的間隔大小有關，但是很普遍的一種模式是：連續的油滴會落在螺線上，且發散角很接近137.5°(即黃金角)，就如向日葵的交錯螺線模式。他們也進行了許多計算機計算，得到很類似的結果。 不過，也有發散角不接近137.5°的分歧。這並不是鐸狄一庫德學說的缺陷，而是長處。
模式是必然的結果
當然，沒有人認為植物學像這個模型一樣，具有完美的數學性。特別是，很多植物的原基出現的速率有可能加速或減慢，而形態及結構上的改變(比方說某個已知的原基是長成葉子還是花瓣)，往往會伴隨這類變異而來。植物基因所扮演的角色，有可能影響原基進發出來的時間嗎?基因當然不需要告訴原基如何把自 己間隔開來——這是由動力學來操縱的。
植物的生長是一種結合了物理學與遺傳學的合作結果，所以兩者都需要，你才能了解植物的生長情形。把這些謎團拼圖的最後一塊擺上去之後，植物的驚人數學模式就揭曉了，你會發現這個模式是植物生長動力學的必然結果，因此受到嚴格數學定律的規範。
如果在一個存活著截然不同生命(其遺傳原理不是根據DNA)的遙遠世界裡，也出現了像植物這樣的生命體，也以我們常見的同樣方式生長，那麼那些生命體也會呈現出費布納西數術。費布納西數不是意外發生的事件；這些數是普適的幾何原理的結果，是植物結構的晶體學。事實上，植物沒有辦法避開費布納西數，就像食鹽晶體不能不是立方體。
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