從一聲啁啾中，如何窺得一絲宇宙的奧秘？ | 天問專欄
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圖片來源： LIGO/T. Pyle
導讀：
2015年9月14日，人類首次捕獲來自雙黑洞合併的引力波，似一聲鳴啼，就此開啟了引力波天文學的新時代。隨著引力波探測水平的不斷進步，我們有望在不遠的將來聽見數以千計的啁啾（zhōu jiū）。
物理學家如今正在思考，如何從這些啁啾所攜帶的豐富信息中提取雙黑洞軌道的形狀，進而了解其周邊環境的特徵。利用這些線索，我們也許有機會解密隱藏在黑暗宇宙中最引人入勝的玄機。
本期《天問專欄》將從一聲啁啾中，窺得一絲宇宙的奧秘。
撰文 | 鮮於中之
責編 | 呂浩然
天問專欄
· 他們腳踏幾千米高原，只為多仰望星空一眼
（附一至十期文章）
· 有人要挑戰暗物質理論，並邁開了「萬里長征」的第一步
· 科學家錯了怎麼辦：有人承認自己搞砸了，也有人拒絕這麼做
· 黑洞質量之謎的七塊拼圖
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在虛茫無垠的宇宙深處，曾有兩顆30倍太陽質量左右的黑洞，彼此環繞，逐漸靠近，經過了不知多久的相伴，終於在幾秒鐘內完成了最後一千米的衝刺，劇烈地擁抱在一起。隨後，相當於3個太陽的質量化為時空的顫慄，飛散開來。這瞬間的能量，比宇宙中所有已知星系發出的光還要強10倍。
此後，時空的漣漪以光速飛行了上億年，終於在2015年9月14日到達地球。那一天，在美國激光干涉引力波天文台
（LIGO）
兩架巨大且精緻的干涉儀中，懸掛的鏡面在這漣漪的擾動下出現了異乎尋常的抖動。而抖動的幅度，比原子核的尺寸還要小許多。不過，LIGO的鏡面彷彿極端靈敏的鼓膜，足以聽清那抖動中所攜帶的信號，猶如一聲短促的啼鳴。這就是人類首次直接觀測到的引力波信號，科學家稱之為GW150914。
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視頻1: 引力波的啁啾，視頻來源：LIGO像GW150914這樣來自雙體系統合併的引力波信號，LIGO和VIRGO目前已公布了六例，其中一例來自一對中子星
（GW170817）
，伴有各波段的光學信號。隨著今後LIGO和VIRGO靈敏度的進一步升級、以及更多地面與空間引力波探測器的加入，我們對引力波的聽覺將會愈加靈敏。據現有觀測結果預計，在LIGO以接近其設計靈敏度的水平運行時，一年的觀測時間將能捕獲成百上千的雙黑洞合併。這樣的統計量將在真正意義上開啟引力波天文學和宇宙學的新時代。自此以往，人類就擁有了一種傾聽宇宙的全新感官，幫助我們探索視線難以觸及的未知世界。
你也許會好奇，同樣是雙黑洞合併，一次事件與一千次事件，有何區別？收集一千個事例，難道只是為了將愛因斯坦百年前的預言驗證一千次？若是這樣，這篇文章就要到此為止了。實際上，相較於個別的獨立事件，物理學家對事件背後的統計關聯更感興趣，因為這些關聯也許能幫助我們回答一些非常基本的問題。在物理學家看來， 陣陣啼鳴的背後另有玄機。也許，它們能幫助我們檢驗各種關於萬有引力的基本理論，或者，它們能幫助我們識別暗物質和暗能量的蹤跡。
對於這些基本的問題，我們目前還無從回答。但無論如何，它們的答案必須從傾聽和分析引力波的聲音中揭曉，而這就需要我們對雙黑洞合併的啼鳴有足夠好的理解。因此，我們將在這篇文章中從一個更具體地問題出發，為讀者展示如何通過聽辨雙黑洞合併的啼鳴來獲知它們背後的物理。這個問題很好陳述：就好像我們從一個人說話的口音大致可以推測他的故鄉一樣，我們想知道，雙黑洞合併的鳴啼聲的音調和音色中隱藏著多少關於它們「故鄉」的訊息。為了解釋這個問題，讓我們先對黑洞的啁啾做一點初淺的解析。
啁啾物理學
問
天
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圖1: LIGO擬合GW150914信號的波形模版，顯示了雙黑洞合併引力波信號的三階段。圖片引自：Phys. Rev. Lett. 116, 061102 (2016)從雙黑洞合併的引力波波形中
（圖1）
，我們可以辨認出三個階段。在持續時間最長的第一階段，引力波的幅度緩慢增加、頻率逐漸升高。這一階段稱為「旋近」（圖1中inspiral部分）
，因為它對應於一對黑洞在各自引力的作用下圍繞對方相互旋轉。與此同時，它們的間距由於引力波輻射帶走能量而逐漸縮小。LIGO只能捕捉到這一極為漫長的階段最後的尾聲。這是因為，如同人耳有一定的聽覺範圍
（約20Hz至20000Hz）
，LIGO的聽覺範圍也有限（約10Hz至數千Hz）
。在短暫的第二階段，引力波的波幅達到極大，呈現齣劇烈的振蕩，這對應於雙黑洞快速的「合併」
（圖1中merger部分）
。在第三階段，波幅迅速衰減，最終歸於靜寂。這對應於雙黑洞合併的產物通過引力波釋放能量，最終形成一個穩定的新黑洞。因此，這最終的階段稱為「鈴宕」（圖1中ringdown部分）
。在物理學家看來，「合併」階段的信號最為複雜難解。由於此時黑洞的相互旋轉速度快、引力強，通常的低速弱場近似都失效，因而只能在廣義相對論的框架下，通過數值計算的方式進行研究。與此相對，我們有足夠好的近似理論處理旋近和
鈴宕
兩個階段，因而有機會從中提取很多寶貴的信息。比如，鈴宕
的過程，就可以看作高度激發的黑洞向基態衰變的過程，因此鈴宕
的信號可以幫助我們了解黑洞激發態的結構，進而了解黑洞自身的結構。而在旋近階段，雙黑洞間的引力不算強，旋轉的速度也不太快。比如，一對總質量為太陽20倍的雙黑洞在進入LIGO的觀測窗口時，其旋轉速度大致為光速的六分之一。因此，我們可以用牛頓力學作為零級近似，將相對論效應視作微擾，按黑洞速度與光速的比值作系統的微擾展開。這種方法，叫做「後牛頓展開」
（post-Newtonian expansion）
。用牛頓力學處理雙體系統的運動，就是後牛頓展開的領頭階。在這一級近似下，處於圓軌道的雙體系統，激發的引力波頻率恰好是繞軌道旋轉頻率的兩倍。由於引力波會從雙體系統中帶走能量，隨著時間的推移，二者的間距會逐漸縮小，旋轉速度逐漸加快，頻率逐漸升高。
因此，引力波在領頭階呈現出頻率隨時間升高的單頻音，這就是雙黑洞「啁啾信號」
（chirp signal）
的由來。從啁啾音調上揚的快慢，我們可以「聽」出雙黑洞總體的輕重，而從這信號幅度的大小，則可以聽出雙黑洞的遠近——因為振幅在傳播的過程中會衰減，與傳播的距離成反比。領頭階的引力波只能告訴我們兩顆黑洞總體有多重。要為每顆黑洞單獨稱重，需要進入後牛頓展開的下一階。後牛頓展開的高階修正里隱藏著豐富的信息，除了每顆黑洞的質量外，還有它們的自旋。對於雙中子星系統，高階修正里還攜帶著關於中子星物態的信息。不過，我們不再繼續討論高階修正，而是在領頭階，討論一個更有趣的問題：如何改變雙體系統引力波的音色。
循聲辨其形
問
天
人們能夠輕易地分辨出小提琴和長笛的聲音，是因為它們有不同的音色。音色反映了聲波中不同頻率成分的相對比重，對於引力波亦是如此。上文提到，啁啾信號在領頭階是單頻信號，彷彿一支音調隨時間升高的音叉。
這單頻信號背後的原因在於，雙黑洞沿圓軌道的旋轉在一個周期內近乎勻速。倘若將軌道改為橢圓，黑洞的速度在同一周期內就會有快有慢。這種不均勻的運行，就會產生頻率為軌道頻率各個正整數倍的諧波，黑洞就有了不同的音色。
不難想像，黑洞軌道越扁，引力波的頻譜就越偏離圓軌道的單頻信號。因此，我們從啁啾信號的音色，就可以辨認出軌道的形狀。橢圓軌道「扁」的程度由離心率刻畫。離心率的取值在0到1之間，0對應於正圓，而越接近1就越扁。下面的視頻是用後牛頓近似的領頭階計算模擬出的不同離心率軌道的啁啾，你聽出它們的區別了嗎？
（視頻2）
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視頻2: 具有不同軌道離心率的雙體系統在旋入階段產生的引力波輻射，視頻中四段聲音的離心率e分別為0，0.1，0.4，0.7。實際上，在LIGO已公布的雙體合併事件中，引力波信號都十分接近完美的圓軌道，沒有明顯的離心率。比如，GW150914中雙黑洞軌道的離心率小於0.1。然而，這並不出乎意料。根據牛頓力學，能量決定了橢圓軌道的半長軸，角動量則決定了它的離心率。引力波不僅會從雙體系統中帶走能量，也會帶走角動量，因此在縮小軌道尺寸的同時，也會改變軌道的形狀，彷彿在不停地「打磨」它。
計算顯示，在漫長的旋近過程中，引力波會非常高效地將橢圓軌道磨得越來越圓。由於LIGO只能探測該過程的最後一瞬，即使雙體系統在更早的某一時刻具有相當大的離心率
（即軌道呈非常扁的橢圓）
，經過引力波漫長地打磨，在進入LIGO的觀測範圍之後，原有的離心率也早已被打磨乾淨，難覓蹤影。所以，如果LIGO聽見了橢圓軌道的啁啾，大體上只有兩種可能。或者，這對黑洞的軌道曾經具有非常大的離心率，直到進入LIGO窗口時還沒有被引力波打磨殆盡；再或者，兩顆黑洞原本不是一對，它們只是碰巧，幾乎頭對頭地撞在一起，同時闖入LIGO的聽覺窗口。
對於孤立的雙黑洞而言，這兩種可能性都極難實現。粗略地講，它們都要求雙黑洞在形成的時刻對彼此有近乎完美的瞄準：想像在太陽和地球的位置上各有一顆黑洞飛向彼此。如果它們在進入LIGO窗口時具有可觀的離心率，就必須將瞄準的誤差控制在千公里的量級。換言之，百步穿楊還不夠，你得在百步之外打中樹葉上一條指定的葉脈才行。
看來，如果我們在LIGO中觀測到橢圓軌道的雙體系統，很可能意味著這對雙體系統並不孤立，而是受到了周遭環境的影響。不過，通過周邊的物質分布來擾動雙黑洞的軌道，也是極為困難的事情。因為，雙黑洞系統異常地緻密而「堅硬」。
這並不難理解：當一對總質量數十倍於太陽的黑洞進入LIGO的探測器時，它們的軌道間距只有區區幾千公里。要知道，太陽的半徑也有70萬公里。所以，就算你在雙黑洞周圍堆滿太陽，其密度也只有雙黑洞系統的億分之一。
或許你已經想到，我們可以在雙黑洞信號進入LIGO探測器之前，在它們軌道間距更大、還不那麼堅硬的時期去干擾它們、為它們的軌道「注入」額外的離心率。這當然可能，可是別忘了，引力波在一刻不停地打磨軌道。你擾動得越早，就得克服越長久的打磨。
因此，通過擾動注入的離心率就必須足夠大才行。可是，期望隨機偶遇的第三者來注入足夠大的離心率，無異於守株待兔。事實上，更好的辦法是，通過一種持續的擾動，以相干共振的方式來注入離心率。這就是下一小節要介紹的「古在機制」
（Kozai mechanism）
。黑洞三重奏
問
天
古在機制，是通過第三者的潮汐力為雙體系統注入離心率的一種方式，最初由物理學家米哈伊爾·里多夫
（Mikhail Lidov）
和古在由秀（Yoshihide Kozai）
發現於上世紀六十年代[1]
。為了解釋這種機制，讓我們將眼下的雙體系統看作整體，稱為「小雙體」，並將它與居於遠處的第三者一道，看作一個更大的雙體系統，稱為「大雙體」。這樣的三體系統，稱為「分級三體」
（hierarchical triple）
。它其實很常見：太陽、地球、月亮就可以看作分級三體。其中，地球與月亮構成小雙體，而地月系統作為整體，與太陽一道構成大雙體。小雙體系統兩個成員的空間位置不同，感受到第三者的引力也不同。兩者感受的引力差，就是第三者對小雙體系統的潮汐力。古在機制說，當小雙體的軌道面相對於大雙體的軌道面有很大的傾角時
（大於39度）
，第三者的潮汐力就會觸發小雙體軌道的離心率與傾角的周期振蕩。特別是，如果初始的軌道傾角非常大，比如說90度左右，那麼小雙體軌道的離心率就可以非常接近1，也就是變得非常扁
（圖2）
。幸好，月球軌道相對於黃道面的傾角只有5度，不足以激活古在機制。否則，月球軌道很大的離心率意味著地月距離將發生大幅振蕩，對地球上的生物無疑是一場災難。
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圖2: 小雙體系統軌道的離心率e隨時間的演化。前半段呈現出古在機制引起的振蕩，振幅和周期的變化來自相對論修正。在最後階段，引力波迅速將軌道磨圓。古在機制是合成高離心率雙體系統的理想方式，然而要實現它就需要分級三體。在星系中，我們該去哪裡尋找這樣的三體系統呢？構成分級三體的恆星系統在星系盤中並不罕見，可是，要找到LIGO足以觀察到的三黑洞系統，就不那麼容易了。要想大量合成這樣的黑洞三體，就必須藉助非常稠密的環境。在星系裡，物質分布最密集的區域要屬球狀星團和星系中心
（圖3）
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圖3: 美麗的草帽星系（Sombrero Galaxy），距離地球約三千萬光年。星系暈中許多不起眼的亮點，就是球狀星團，而在該星系中心則很可能有一個10億倍太陽質量的特大質量黑洞，圖片來源：NASA/ESA and The Hubble Heritage Team (STScI/AURA)球狀星團，是散布在星系暈中的球狀密集區域，它們可能是星系中最早形成、最古老的群體，其中密布著大量恆星質量或更重的天體。據理論推測，球狀星團可能富含雙體黑洞，而兩個黑洞雙體系統通過散射，就有機會合成一個穩定的分級三體系統。因此，球狀星團被認為是合成三體黑洞的理想場所
[2]
。另一方面，星系的中心一般會有一個特大質量黑洞
（supermassive black hole）
，質量可達太陽的十萬倍到十億倍。在特大質量黑洞附近，也許會有豐富的恆星質量級別的雙黑洞系統。這些雙黑洞與中心的大黑洞一道，也構成分級三體系統[3]
。在球狀星團和星系中心這些稠密且富含雙黑洞的區域，雙黑洞都有可能通過古在機制獲得很高的離心率。雙體系統的高離心率將會大幅增強引力波的輻射，繼而提高雙黑洞間距縮小的效率、縮短黑洞合併所需的時間。據推測，在LIGO與未來的引力波探測器將能捕捉到的雙體合併事件中，由古在機製造成的橢圓軌道信號會有相當可觀的貢獻。
天籟交響曲
問
天
由上可見，LIGO中音色異乎尋常的橢圓軌道雙體系統，很可能來自星系中最為稠密的區域。當我們擁有足夠的統計量時，就能夠尋找這些事件中離心率的統計分布以及它們與其它參數的關聯。由於這些關聯非常依賴雙黑洞周遭的環境，對它們的測量和分析就可以幫助我們分辨這些雙黑洞的合成途徑，甚至幫助我們提取雙黑洞所在環境的信息。
我們現在對特大質量黑洞附近的物質分布還知之甚少：恆星如何分布？黑洞如何分布？更進一步：不同的暗物質模型對這些分布會有怎樣的貢獻、對引力波信號各參數的統計關聯會有怎樣的影響？所有這些，在目前都還是有待探索的開放問題。
物理學家通常使用大量的數值模擬來推測這些條件對可觀測量的影響。與此同時，也有研究開始試圖用解析的方法將雙黑洞合成時的初條件直接映射到可觀測量的分布，以期獲得雙黑洞演化更清晰的物理圖像，並提高分析的效率
[4]
。這些研究顯示，通過古在機制等方式造就的橢圓軌道雙體系統在進入LIGO探測器之後，大多數事例的離心率仍然很小。非常粗略地估計，90%以上事例在進入LIGO窗口時的離心率會小於0.1，而LIGO能夠分辨的最小離心率也許可達百分之幾。因此，LIGO有望繪製出一幅漂亮的離心率分布圖，只是它並不完整。
受探測頻率範圍所限，LIGO這類地面探測器只能聽見雙黑洞合併剎那的絕唱。而在此之前，這些雙體系統在其漫長的生命歷程中也在不斷釋放頻率更低、持續時間更長的引力波，如同暗弱而低沉的笛聲。要捕捉這些信號，就必須藉助空間引力波探測裝置。
在地面和空間的引力波探測器的協同觀測下，我們將能夠通過多個聲道，監聽雙黑洞系統更長、更完整的生命歷程。我們還將有機會捕捉到其它種類的引力波源，更全面地還原來自宇宙暗處的引力波交響曲。而LIGO捕捉到的啁啾，只不過是這部交響曲的高聲部。
言及此處，讓我們不要忘記，宇宙中大約95%的能量都隱沒在暗物質和暗能量的黑暗世界中，我們對它們零星的了解，全都依賴它們與可見物質的引力作用。引力波天文學與宇宙學的重要意義，由此不言而喻。說不定，這部用引力波演奏的天籟交響曲，能夠幫助我們理解黑暗宇宙最深刻的奧秘也未可知。
作者簡介
· 鮮於中之，物理學博士。2015年畢業於清華大學，目前在哈佛大學從事博士後研究，研究方向為粒子物理和宇宙學理論，最近的研究興趣包括暴脹理論、原初擾動與新物理、引力波等。
天問專欄 · 第十三期
獲獎名單
雪山
任峰
方琪
莫負青春！
卓睿 Forrest
獨自上路 橄欖姐
N. T.Haan
雁來
Lancelot1412
Gabonlee
恭喜以上讀者獲得
由湖南科技出版社出版、著名物理學家史蒂芬·霍金
（Stephen Hawking）
的最新力作《黑洞不是黑的 霍金BBC里斯講演》
，小編將會在近期與您聯繫！
參考文獻：
[1] M. L. Lidov and S. L. Ziglin, Celestial Mechanics, 13, 471 (1976)
[2] L. Wen, Astrophys. J. 598, 419 (2003) [arXiv:astro-ph/0211492].
[3] F. Antonini and H. B. Perets, Astrophys. J. 757, 27 (2012) [arXiv:1203.2938 [astro-ph.GA]].
[4] L. Randall and Z. Z. Xianyu, Astrophys. J. 853, 93 (2018) [arXiv:1708.08569 [gr-qc]]; arXiv:1802.XXXXX.
製版編輯：Livan
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