粒子群演算法參數設置對新安江模型模擬結果的影響研究
新春佳節
粒子群演算法參數設置對新安江模型模擬結果的影響研究
劉欣蔚 1，王浩 1，雷曉輝 2，廖衛紅 2，王明娜 2，王維平 2，張蘋蘋 2
(1.天津大學 水利工程模擬與安全國家重點實驗室，天津 300072； 2.中國水利水電科學研究院，北京， 100038)
作者簡介
劉欣蔚（1993-），女，河北承德人，主要從事水文學與水資源方向研究。
通訊作者：
雷曉輝（1974-）， 男， 北京人， 教授級高級工程師， 主要從事水文學與水資源方向研究。
摘要
合理的粒子群演算法（Particle Swarm Optimization Algo-rithm， PSO）的參數設置，可以提高演算法的優化效率、避免陷入局部最優值，但常用參數設置對於特定優化問題，如新安江模型模擬，不具普適性。為分析種群規模 pop、慣性權重w、學習因子 c_1 和 c_2 以及速度位置相關係數 m 這 5 個粒子群參數對新安江模型模擬結果的影響，本文對每個參數取5個不同水平，應用 L25(56)正交表，設計了正交試驗。通過對試驗結果進行分析，得出了參數對 PSO 演算法性能的影響能力和最優的參數組合方案（pop=80, w=1.3~0.4線性遞減，c_1=1.85, c_2=2.5, m=0.05）。通過極差分析和方差分析，得出參數pop 和 w 對模型模擬結果具有高顯著性，其他三個參數對模型模擬結果不顯著。將不同 PSO 參數組合應用於新安江模型模擬，證明了合理的 PSO 演算法參數設置可以有效提高新安江模型模擬精度。通過對各因素分別進行趨勢分析，得到了因素取值變化趨勢與模型結果變化趨勢的相關關係。本文提出的方法為如何尋找某一特定應用情景下的 PSO 演算法參數組合提供了一種借鑒。
關鍵詞
粒子群演算法；新安江模型；參數優化；參數設置；正交試驗
The study of the influence of parameter selection of PSO algorithm to simulation result of Xin"anjiang Model
LIU Xinwei1, WANG Hao1, LEI Xiaohui2, LIAO Weihong2, WANG Mingna2,
WANG Weiping2,ZHANG Pingping2
(1.State Key Lab. of Hydraulic Eng. Simulation and Safety,Tianjin Univ,Tianjin 300072,China;2.Inst. of Water
Resource and Hydraulic Research, Beijing 100038, China)
The reasonable selection of parameters of the particle swarm optimization algorithm can improve the optimization efficiency and avoid falling into the local optimum. And common parameter settings are not universally applicable to specific optimization problems, such as parameter optimization of Xin"anjiang model. In this paper, the influence of 5 particle swarm parameters on the simulation results of Xin"anjiang model is analyzed by orthogonal test. Through the analysis of the test results, the influence of parameters on the performance of PSO algorithm and the optimum parameters (pop=80,w=linear regression from 1.3 to 0.4,c1=1.85, c2=2.5, m=0.05) are obtained. By means of range analysis and variance analysis, it is concluded that the parameters pop and w are highly significant to the Xin"anjiang model simulation results, and the other three parameters are not significant to the Xin"anjiang model simulation results. The different PSO parameter sets are applied to Xin"anjiang model simulation, and it is proved that the reasonable PSO algorithm parameter setting can effectively improve the simulation accuracy of Xin"anjiang model. Through the trend analysis of each factor, the relationship between the change trend of the factor value and the change trend of the model result is obtained. The method presented in this paper can be used as a reference for finding the parameters of PSO algorithm in a specific application scenario.
Key words
particle swarm optimization algorithm, Xin"anjiang model, parameter optimization, parameter selection, orthogonal test
基金項目
「十三五」國家重點研發計劃（ 2016YFC0402204）
新安江模型[1]是廣泛應用於我國濕潤及半濕潤地區的降雨徑流模型，主要應用於洪水預報，還常被應用於水資源評價規劃、洪水管理和水文站網規劃等方面。在實際應用中常用人工試錯法或自動優化法對新安江模型參數進行優化[2]。人工試錯法雖然操作簡便且易於實施，但是對時間和人力消耗大，且操作者的主觀性可能會對模型模擬結果產生影響[3]。水文模型參數自動優化技術得益於計算機自動優化演算法的發展，常用的演算法有羅森布洛克法[4]、單純形法[5]和遺傳演算法[6]。這些演算法在新安江模型參數優化中雖然應用方便、不費人力，但是存在著易陷入局部最優、計算結果精度相對不高等缺點。
粒子群優化演算法[7]（Particle Swarm Optimization Algorithm，PSO）是 Kennedy 和 Eberhart 於 1995 年提出的智能集群優化演算法，其模型原理相對簡單，不要求目標函數可微[8-10]，非常適宜求解新安江模型參數優化這樣的大規模、高度離散的非線性優化問題[11]。 PSO 演算法存在著易陷入局部最優、收斂速度受慣性權重影響等缺點[12]，但是這些缺點可以通過多次重複試驗和調整 PSO 演算法參數的方法盡量避免。
當前有大量學者對 PSO 演算法進行改進，並將這些演算法應用於新安江模型參數優化中 [13-15]。此類研究的重點多在於修改 PSO 演算法的結構，或提出新的粒子速度與位置更新方法，使其更適於新安江模型參數優化，而對 PSO 演算法本身的參數設置關注較少[16-17]。此類研究中，通常根據經驗將參數設置為：種群規模 pop=20、慣性權重 w 為 0.9 至 0.4 線性遞減、學習因子 c1=c2=2、速度位置相關係數 m=1（粒子速度和位置取值範圍相等）。同時，有很多研究表明[18-22]，合理的 PSO 參數的選擇，可以提高演算法的優化效率、避免陷入局部最優值，且 PSO 演算法常用的參數設置，對於特定優化問題不具普適性。針對於新安江模型參數優化問題，劉蘇寧等人[23]研究了 PSO 演算法參數設置的影響，指出根據經驗設置的 PSO 演算法參數在新安江模型等特定問題中不一定能得到較好的優化結果。但是該研究中應用的單因子分析法，只能分析單一因子變化對演算法的性能影響，沒有分析不同參數組合對演算法的影響。
因此，本文提出了設計正交試驗的方法，對應用於新安江模型參數優化問題的 PSO 演算法的參數設置進行更加全面的分析。一方面可以為如何尋找某一特定應用情景下的 PSO 演算法參數提供借鑒，另一方面可以提高新安江模型參數優化的效果與效率。
1
模型簡介與試驗設計
1.1
新安江模型
新安江模型[1]是由趙人俊先生於二十世紀八十年代提出來的降雨徑流模型。新安江模型的結構為分散性結構，四個層次結構分別為蒸散發計算，產流計算，分水源計算和匯流計算。計算流程見圖 1。參數標註在框外，狀態變數標註在框內。實測降雨量 P(t) 和蒸發皿蒸發量 EM (t) 作為輸入；輸出為流域出口斷面流量過程Q(t) 和流域實際蒸散發過程 E(t)。
1.2
粒子群演算法
PSO 演算法是一種智能集群優化演算法[7]，模擬鳥群捕食的社會行為，粒子通過學習自身經驗及群體經驗，不斷調整飛行策略，直至捕捉到食物。 PSO 演算法的流程見圖 2。粒子速度和位置更新公式為：
在本文中考慮的 PSO 演算法的參數包括種群規模（pop）、慣性權重（w）、學習因子（c1、c2）以及速度位置相關係數（m）。pop 影響著演算法的穩定性，也對演算法的優化效率有很大的影響[24]。合理的 w 的選擇，可以起到平衡全局搜索和局部搜索的作用[25,26]。 c1 影響著粒子的自我學習能力， c2 影響著粒子的社會認知能力[24]。 c1 和 c2 的取值過小，粒子會在遠離目標的區域內震蕩；取值過大，粒子雖然可以快速地移動向目標區域，但又易離開目標區域。新安江模型中各參數的取值範圍為[Xmin,Xmax]，則粒子的飛行速度的取值範圍為[Vmin,Vmax]=m×[-Xmax,Xmax]，若 m 取值太小，粒子飛行速度過慢，導致全區搜索能力過低，演算法計算效率低； m 取值範圍過大，演算法則存在著粒子容易飛出邊界或飛過最優解的問題。
1.3
試驗方案
1.3.1 正交試驗設計
本文以考察 PSO 演算法參數設置對新安江模型模擬結果的影響為試驗目的，考察 pop、 w、 c1、 c2 和 m共 5 個試驗因素，每個因素依據經驗取 5 個水平（表 1）。假設 5 個參數之間是相互獨立的，若將所有可能的參數值組合遍歷，則需 55=3125 次試驗，試驗規模巨大。而通過應用 L25(56)正交表設計正交試驗，進行 25 次試驗即可分析各因素的較優取值水平。
1.3.2 目標函數
合理的目標函數不僅可以作為新安江模型模擬效果的評判標準，還可以作為粒子飛行策略調整的依據。本文選用納什效率係數[27]作為目標函數，相比其他函數，該函數更能直觀的體現模擬值和實測值之間的差距，展示模擬效果。納什效率係數計算公式如下：
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實例研究
2.1
流域概況
平湖流域位於貴州省平塘縣，屬珠江流域西江水系，位於東經 107°03′~107°37′北緯 25°51′~26°06′之間。其位於雲貴高原東南部，屬於濕潤半濕潤地區。平湖水文站以上流域面積 1418 km2，流域內水系見圖 3。本文模擬計算資料主要來自平湖水文站 2006－2008 年的逐日實測蒸發、徑流資料，及經處理的雨量資料。降雨資料取自分布於平湖流域內的 5 個雨量站，利用泰森多邊形法計算出各雨量站在流域面雨量計算中所佔的權重（表 2）後加權平均。
2.2
試驗結果
正交試驗方案及結果見表 3。將表 3 中各參數組合代入 PSO 演算法，利用平湖流域 2006－2008 年的降雨、 蒸發、 徑流資料進行新安江模型模擬。 模型重複 30 次後得到的納什效率係數的均值為 Yi 列。 L25(56)正交表至多可以對 6 個因素進行試驗設計，本試驗只有 5 個因素，故有 1 個空白列，表 3 空白列中所填數字代表水平編號，無實際參數值。
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結論與討論
3.1
考察不同水平試驗結果之和
考察不同水平試驗結果之和可以用於分析某一參數取值的最佳水平[28]。 表 4 為正交試驗計算結果的分析表，展示了不同水平試驗結果之和。表 4 中 Kij 為參數 j 的 i 水平對應的計算結果 Yi 之和，以 K11 和K21 為例，計算公式如下：
3.2
極差分析與方差分析
通過對極差進行分析，可以得出參數變化對試驗結果影響的大小[28]。極差 Rj 的意義是： Rj 越大，說明該 PSO 演算法參數的水平變化對新安江模型模擬效果的影響越大，該因素越重要；反之， Rj 越小，該因素越不重要[23]。 Rj 的計算公式為：
式中： i=1~5，其他符號意義同上。
由表 5 可知， w 的極差最大，故 w 對新安江模型模擬結果影響最大； c2 的極差最小，所以其對新安江模型模擬結果影響最小。所有因素對演算法計算結果影響排序：慣性權重 w （0.246） > 種群規模 pop（0.061） >學習因子 c1（0.035） > 速度位置相關係數 m（0.034） > 學習因子 c2（0.019）。
若空白列極差值遠大於各因素的極差值，那麼各 PSO 演算法參數之間可能不是相互獨立的。本試驗中空白列的極差為 0.048，大小介於 pop 和 c1 的極差之間，說明各 PSO 演算法參數之間不存在無法忽視的相互作用，試驗結果可用。
方差分析可以用於分析 PSO 演算法參數的水平變化對新安江模型模擬結果的影響是否顯著[26]。表中Sj 行各值分別表示各列對應的試驗因素的偏差平方和，計算公式為：
3.3
新安江模型模擬結果
通過對錶 4 的計算結果進行分析，得到的較優的 PSO 演算法參數組合為pop=80， w=1.3-0.4 線性遞減， c1=1.85， c2=2.5， m=0.05；最差的 PSO 演算法參數組合為pop=10， w=1.3，c1=2， c2=1.44945， m=0.3。將 PSO 參數組合帶入 PSO 演算法，模型重複 30 次後得到的納什效率係數的均值為 0.673。徑流模擬結果如圖 4 所示。將 PSO 參數組合帶入 PSO 演算法，模擬結果為 0.618，納什效率係數顯著小於較優參數組合得到的結果（0.673），說明了應用正交試驗對 PSO 參數設置進行分析的必要性。
3.4
趨勢分析
圖 5 為各試驗因素對應的因素——指標圖，圖中縱坐標為 Kij，橫坐標為因素水平。 Kij 為參數 j 的 i水平對應的目標函數值 Y 之和，所以 Kij 與 Y 正相關。 Kij 越大，說明新安江模型的模擬效果越好。
由圖 5（a）可知，隨著種群規模 pop 不斷增大，新安江模型模擬效果逐漸變好，直至 pop=80，模擬效果最好，當 pop 繼續增大，模擬效果有變差的趨勢，所以 pop=80 應為當前 5 因素水平情況下的最優選擇。
由圖 5 （b）可知， 當 w 的取值為1.3~0.4 線性遞減時， 模型模擬效果最好。但是 w=1.3~0.4 和 w=0.9~0.4兩種因素水平下， Kij 的值相差不大，說明 w 的這兩種取值方式對模型模擬效果的影響是相近的。
由表 5（c）可知，在 c1 僅取本文中的 5 個值的情況下，當 c1=1.85 時，模型模擬效果最好。但當 c1從 2 到 3 的逐漸增大的過程中， Kij 值有不斷增大的趨勢。
由圖 5（d）可知，當 c2=2.5 時，模型的模擬效果最好。但是本文中 c2 的五個取值所得的模擬結果並沒有趨勢性。
由圖 5（e）可知，當 m=0.05 時，模型模擬效果最好。雖然當 m 從 0.3 到 1.0 遞增的過程中，Kij隨之不斷增大，即模型模擬效果不斷變好。但是因為[Vmin,Vmax]=m*[Xmax,Xmax]，當m=1時，[Vmin,Vmax]=[-Xmax,Xmax]，即粒子飛行的速度與位置的取值範圍相等，在這種情況下，粒子很容易飛出邊界，難以優化自身位置，故不宜取 m>1 的值進行模型模擬。
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結語
本文針對應用於新安江模型參數優化的 PSO 模型參數設置問題，設計了 5 因素 5 水平的正交試驗。通過對試驗結果進行分析，可知參數對 PSO 演算法性能的影響能力的排序為： w > pop > c1 > m > c2，且 w和 pop 對試驗結果的影響具有高顯著性。考察了不同水平下試驗結果之和，得到了可能最優的參數組合方案為： pop=80， w=1.3~0.4 線性遞減，c1=1.85， c2=2.5， m=0.05。將最優及最差參數組合帶入 PSO 演算法，進行新安江模型參數優化，並將模擬結果進行比較，證明了合理的 PSO 演算法參數設置可以有效提高新安江模型模擬精度。通過對各因素分別進行趨勢分析，得到了因素取值變化趨勢與模型結果變化趨勢的相關關係，並為後續進一步優化 PSO 演算法的參數設置提供了思路。本文提出的方法為如何尋找某一特定應用情景下的 PSO 演算法參數組合提供了一種借鑒。
參考文獻略
新春佳節
本文內容為錄用首發版，定稿請參見《南水北調與水利科技》2018年第1期。
引用格式：
劉欣蔚，王浩，雷曉輝，廖衛紅，王明娜，王維平，張蘋蘋.粒子群演算法參數設置對新安江模型模擬結果的影響研究 [J].南水北調與水利科技，2018,16(1), 69-75.
本期編輯： 阿丹、海超、檬檬
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