邊少鋒：地圖投影計算機代數分析研究進展

《測繪學報》

構建與學術的橋樑 拉近與權威的距離

地圖投影計算機代數分析研究進展

邊少鋒, 李厚朴, 李忠美

海軍工程大學導航工程系, 湖北 武漢 430033

收稿日期：2017-07-09；修回日期：2017-09-05

摘要：地圖投影是現代地圖學的重要組成部分，涉及大量的橢圓函數冪級數展開、隱函數複合函數微分、橢圓積分、複變函數運算等一系列煩瑣的數學分析過程，人工推導不但費時費力，而且容易出錯，有時由於難以忍受的複雜性等各種原因，甚至根本無法實現。本文主要從橢球各緯度間正反解符號表達式、不同變形性質地圖投影間的直接變換、高斯投影的複變函數表示、斜軸墨卡托投影數學分析、極區海圖投影及變換等5個方面，論述了地圖投影計算機代數分析取得的研究進展，討論了該領域有待進一步解決的主要問題，對推動地圖投影學的發展具有積極意義。

關鍵詞：地圖投影投影變換高斯投影極區投影計算機代數

Research Progress in Mathematical Analysis of Map Projection by Computer Algebra

BIAN Shaofeng, LI Houpu, LI Zhongmei

Abstract: Map projection is an important component of modern cartography, and involves many fussy mathematical analysis processes, such as the power series expansions of elliptical functions, differential of complex and implicit functions, elliptical integral and the operation of complex numbers. The derivation of these problems by hand not only consumes much time and energy but also makes mistake easily, and sometimes can not be realized at all because of the impossible complexity. The research achievements in mathematical analysis of map projection by computer algebra are systematically reviewed in five aspects, i.e., the symbolic expressions of forward and inverse solution of ellipsoidal latitudes, the direct transformations between map projections with different distortion properties, expressions of Gauss projection by complex function, mathematical analysis of oblique Mercator projection, polar chart projection with its transformation. Main problems that need to be further solved in this research field are analyzed. It will be helpful to promote the development of map projection.

Key words:map projectionprojection transformationGauss projectionpolar projectioncomputer algebra

地圖作為信息的載體，是描述地球和研究複雜地理現象的最有效、最直觀的工具，它以科學的符號系統、地圖投影和綜合方法表達複雜地理世界的空間結構和空間關係，是人類文明史上的偉大創想[1-3]。地球曲面和地圖平面之間的矛盾構成了地圖最基本的矛盾，解決這一矛盾的數學法則構成了地圖的數學基礎，這是地圖最基本的特性之一，是地圖科學性和精確性的重要體現。地圖所採用的特殊數學法則便是地圖投影。

地圖投影學也稱為數學製圖學，是研究將地球橢球面(或球面)描寫到地圖平面上，建立地圖數學基礎的一門科學，它在地圖製作和應用中起著「基礎」和「骨架」作用，是地圖編製前首要考慮的問題，同時它又是現代地圖學的重要組成部分[4-7]。地圖投影是地圖的空間數學基礎，是地圖學的理論基礎，是空間信息處理、傳輸和解譯各個階段必不可少的工具，其相關理論和方法在地圖製圖[8]、地理信息系統[9-10]、空間分析[11]、遙感製圖[12]、大地測量[13]、航海導航[14]等領域中已經得到了廣泛的應用。

地圖投影的實質在於建立地球橢球面(或球面)與地圖平面上的點之間的對應關係。地圖投影計算是地圖數學基礎中的重要組成部分，並且是相當複雜的數學計算。地圖投影需要處理涉及參考橢球的各類數學分析問題，從而不可避免地會遇到大量的橢球偏心率冪級數展開、隱函數高階導數求取、複變函數運算等一系列複雜的符號推導過程。國內外許多著名的地圖投影學者在地圖投影正反解、地圖投影變換、海圖投影及變換方面進行了大量深入系統的研究，取得了一批顯著的成果[15-36]。

值得注意的是，雖然前人對地圖投影中的數學分析問題進行了大量的研究，並取得了豐富的研究成果，但由於歷史條件和分析手段的限制，地圖投影數學分析問題主要依靠人工推導完成，不僅級數展開式的次數不會很高，而且導出的表達式繁瑣冗長，計算效率不高；有時為了計算上的方便採取近似處理，難免會導致一些小的偏差，影響了計算精度；有些演算法則包含複雜的迭代計算，理論分析不甚方便；還有些演算法表現為適用於特定參考橢球的數值形式，不便於推廣應用。因此，地圖投影數學分析問題解決得並非完美和理想。

計算機代數(computer algebra)在很多時候又被廣義地理解為「符號計算」，成為與所謂「數值計算」相對的概念。計算機代數系統是計算機科學與數學分析和代數推導相結合的產物。計算機代數系統的優越性主要在於它能夠進行大規模的代數運算，在一定程度上可以使科學研究和工程技術人員從枯燥煩瑣的數學分析和代數推理中解脫出來，從而有效地提高工作效率，完成人工推導難以實現的運算過程，同時其程序化設計可以保證結果的準確性，目前流行的計算機代數系統有Mathematica、Maple、Mathcad等[37]。

近年來，海軍工程大學地圖投影研究團隊和國內外地圖投影研究學者，利用具有嚴格解析意義的計算機代數分析方法，藉助計算機代數系統強大的數學分析能力，對地圖投影領域中的一些典型數學分析過程進行了系統的研究，推導和建立了一系列理論上更為嚴密、形式上更為簡單、精度上更為精確的地圖投影新公式和新演算法，實現了地圖投影在一些具體數學分析問題上的突破和創新，豐富和完善了地圖投影的理論體系。本文從橢球各緯度間正反解符號表達式、不同變形性質地圖投影間的直接變換、高斯投影的複變函數表示、斜軸墨卡托投影數學分析、極區海圖投影及變換等5個方面，對地圖投影計算機代數分析的近期研究成果進行綜述分析，以期為國內同行提供參考。

1 橢球各緯度間正反解符號表達式

大地緯度、地心緯度、歸化緯度、等距離緯度、等角緯度、等面積緯度是在測量和地圖學中常見的6種緯度，實際計算中經常會遇到大地緯度和5種輔助緯度間的正反解問題[38]。

地心緯度、歸化緯度與大地緯度之間存在明確的正切關係式，文獻[39]利用拉格朗日共軛級數將其正反解展開式表示為正弦函數倍角項形式，但限於人工推導僅展至6倍。文獻[40]藉助計算機代數系統將倍角項擴展至10倍，並將展開式係數統一表示為橢球偏心率的冪級數形式，給出了我國常用大地坐標系下展開式的係數值，精度分析表明，歸化緯度展開式的精度優於10-9″，地心緯度展開式的精度優於10-8″，均較傳統公式提高3個數量級。文獻[41]推導出了以歸化緯度、地心緯度解運算元午線弧長的展開公式，同時又根據拉格朗日反演定理，得到了由子午線弧長反解歸化緯度、地心緯度的直接公式，正反解精度均高於傳統基於大地緯度的展開式。

等距離緯度、等角緯度和等面積緯度都是大地緯度的函數，在等距離投影、等角投影和等面積投影表達式中經常用到它們的正解展開式，即將其展開為關於大地緯度的正弦函數倍角形式。這一過程涉及非常複雜的冪級數展開和複合函數高階導數的求取，以往大都通過人工推導完成，推導過程複雜冗長，通常只能展至sin 8B(B為大地緯度)，並且為推導方便採取的某些近似往往導致展開式係數的高階項存在偏差。反解時由於大地緯度一般表現為這些緯度的隱函數或反函數形式，有的為非常複雜的超越函數，多採用基於正解公式的迭代法，這種方法不但計算效率低，而且最主要的是理論分析不甚方便；另一種方法是直接進行反解變換，即所謂的直接法。文獻[22]經過複雜的Lagrange級數展開，文獻[42]利用變係數線性插值方法，給出了以上3種緯度反解的直接展開式，但是由於歷史條件的限制，其間許多推導過程都由人工完成，不僅展開式項數不高，而且展開式係數是原正解展開式係數的多項式形式，不便於記憶，計算也比較複雜，在實際應用中多以具體的數值形式給出，不便於推廣應用。

藉助計算機代數分析方法和計算機代數系統，文獻[43]對等距離緯度、等角緯度和等面積緯度正解展開式進行了重新推導，發現並糾正了傳統正解展開式係數高階項中存在的偏差；文獻[43—46]分別採用冪級數展開法、Hermite插值法、Lagrange級數法、符號迭代法推導出了形式一致、展開式係數完全相同的反解展開式，其中三角函數倍角項展至sin 8B(B為大地緯度)，從而相互印證了4種方法的正確性，與傳統反解展開式不同的是，反解係數不再是正解展開式係數的多項式形式或具體的數值形式，而是統一表示為橢球偏心率e的冪級數形式，對於不同的橢球，只需將橢球偏心率代入即可得到該橢球下的相關係數，便於推廣使用。在此基礎上，文獻[40]系統推導出了三角函數倍角項展至sin 10B、係數展至e10的等距離緯度、等角緯度和等面積緯度正反解展開式，並給出了我國常用大地坐標系下展開式的係數值，精度分析表明，計算機代數系統下推導出的正反解展開式精度較傳統人工導出的展開式最少提高2個數量級，最多提高4個數量級，具體情況如表 1所示。

表 1等距離緯度、等角緯度和等面積緯度正反解展開式精度比較Tab. 1The accuracy comparison of forward and inverse expansions of rectifying, conformal and authalic latitudes

表選項

文獻[47]對測量和地圖學中6種常用緯度進行了系統比較，藉助計算機代數系統推導出了常用緯度間的差異極值點及對應差異極值的符號表達式，並將其表示為關於偏心率e的冪級數形式；以CGCS2000橢球為例，對各緯度間的差異進行了數值分析和對比。結果表明，5種輔助緯度與大地緯度的差異極值點均在π/4右側；地心緯度與大地緯度差異極值最大，歸化緯度與大地緯度差異極值最小。

文獻[48]利用等距離緯度、等角緯度和等面積緯度這3種緯度和大地緯度間的正反解展開式，導出了它們之間變換的直接展開式，並將式中係數統一表示為橢球偏心率e的冪級數形式並展至e10，解決了不同參考橢球下的變換問題，精度分析表明，直接展開式的計算精度優於10-8″，滿足地圖投影精密計算的需要。

2 不同變形性質地圖投影間的直接變換

地圖投影根據投影性質可分為等距離投影、等角投影和等面積投影，根據投影后經緯線形狀可分為圓柱投影、圓錐投影和方位投影。前人對這些投影間變換問題已進行了不少研究，特別是我國已故著名地圖學家楊啟和教授在地圖投影變換領域取得了令國內外同行矚目的成果，楊啟和教授經過幾十年的潛心研究，畢其一生之精力，集其研究之大成，於1989年出版了《地圖投影變換原理與方法》這部巨著，使這個研究領域大大前進一步，該書於2000年被英國Taylor出版公司譯為英文出版，是我國地圖投影方面第一部在國外出版的學術著作，標誌著我國地圖投影變換研究在國際上的領先地位，對於推動地圖學各分支學科的現代化水平和提高我國地圖學在國際上的地位具有重要的意義。

值得注意的是，雖然前人對地圖投影變換方法進行了大量的研究，並在一定程度上解決了許多問題，但還不夠全面和充分，特別是對於地球橢球模型下不同變形性質間的投影變換，採用的是間接變換法，需要通過中間過渡的方法，反解出原地圖投影點的橢球坐標，再代入新投影中求得該點在新投影下的直角坐標，而未能建立投影坐標間的直接關係式，由於橢球體下兩種投影表達式較為複雜，而且變換中有時需要經過煩瑣的迭代運算才能反解出大地緯度，使得計算過程變得相當複雜，計算效率不高。因此，需要研究地圖投影直接變換問題，建立不同投影之間精確的對應關係，表達編圖和製圖過程的數學實質。地圖投影間接變換和直接變換示意圖如圖 1所示。

子午線弧長、等量緯度和等面積緯度函數是等距離投影、等角投影和等面積投影中的重要變數，分別是等距離緯度、等角緯度和等面積緯度的函數，它們之間的變換是實現不同變形性質地圖投影間變換的基礎，而這3種量之間的變換，傳統上是通過解算大地緯度間接實現的，計算公式複雜冗長，不便於應用。

藉助計算機代數分析方法和計算機代數系統，文獻[49]推導出了子午線弧長正反解公式，並將係數統一表示為橢球偏心率的冪級數形式，克服了傳統反解公式大多表示為具體數值形式的缺陷。文獻[50—52]在等距離緯度、等角緯度和等面積緯度正反解展開式基礎上，推導出了子午線弧長、等量緯度和等面積緯度函數之間變換的直接展開式，將展開式係數統一表示為橢球偏心率的冪級數形式，且展至e8。文獻[40]進一步將展開式係數擴展至e10，並給出了我國常用大地坐標系下展開式的係數值，精度分析表明直接展開式的計算精度較傳統間接變換公式最少提高2個數量級，最多提高6個數量級，可以滿足地圖投影精密計算需要。

在此基礎上，文獻[40，53—54]系統地建立了正軸圓柱投影之間、正軸圓錐投影之間及正軸圓柱投影和正軸圓錐投影間的直接變換模型，避免了過去「圓柱→橢球→圓錐」間接變換導致的誤差，顯著地提高了投影變換的計算精度和計算效率。與傳統變換公式相比，這些直接變換模型形式更為簡單，理論更為嚴密，便於測量和製圖使用。

3 高斯投影的複變函數表示

高斯投影被廣泛用作地形圖的數學基礎，傳統的高斯投影正(反)解公式表示為經差(橫坐標)的實數型冪級數形式，雖然有容易理解和直觀的優點，但表達式複雜冗長，而且對於正解中子午線弧長的計算，給出的是適用於特定橢球的數值公式，反解中底點緯度則需要迭代求出，較為煩瑣[39]；特別是實用中需要分帶處理，經常劃分為3°或6°帶，如圖 2所示。針對這一問題，文獻[55—58]採用多種方法導出了適用範圍更廣的高斯投影演算法，但由於沒有擺脫實數表示的限制，仍然沒有解決分帶問題。

鑒於高斯投影是一種等角投影，而複變函數作為一種強有力的數學方法，在等角投影中的優勢是無可替代的，利用複變函數進行等角投影計算和公式推求具有簡單、方便、準確的優點，近年來已有學者注意到這一問題並進行了研究。文獻[59]採用橢球面在球面的局部描寫，給出了複變函數表示的高斯投影近似式，計算精度較低，只能達到0.3 m。文獻[60]討論了橫墨卡托投影的複變函數表示，但其給出的反解變換是在子午線弧長正解公式的基礎上迭代得到的，計算過於煩瑣。文獻[61]基於一種有效的遞推公式給出了任意帶寬的高斯投影複變函數解法，但所給公式較為複雜，且遞推過程耗時，計算效率較低。文獻[62]給出了用複變函數表示的高斯投影正反解的Fortran程序並進行了計算。

藉助計算機代數分析方法和計算機代數系統，文獻[63—64]研究了橢球高斯投影的複變函數表示，將子午線弧長正反解公式拓展至複數域，導出了形式緊湊、結構簡單的正反解公式，但在實際計算中需煩瑣的迭代運算，影響了計算效率。文獻[65]使用計算機代數系統研究了高斯投影復變換的數值計算方法，給出了復積分計算的積分級數分析法、橢圓積分函數法、直接積分法及利用系統函數求解變換方程。文獻[66]並將等量緯度與子午線弧長變換的直接展開式拓展至複數域拓展至複數域，導出了複變函數表示的高斯投影正反解非迭代公式，不僅提高了計算精度，而且在一定程度上也簡化了計算過程。文獻[67]推導出了球面高斯投影複變函數表達式，根據複變函數及常用初等函數的定義，經過一系列數學分析過程，給出了球面高斯投影與橫軸墨卡托投影等價性的嚴格證明。文獻[68]在球面高斯投影複變函數表示的基礎上，通過一系列數學變換，推導出了球面高斯投影正反解、經緯線投影方程、投影長度比及子午線收斂角公式的閉合式，與傳統高斯投影冪級數公式相比，理論上更嚴密、形式上更緊湊。文獻[69]在橢球高斯投影複變函數表示的基礎上，通過藉助雙曲正弦和公式、雙曲函數與三角函數間的函數關係，經過一系列恆等變換，將高斯投影複變函數坐標公式及對應的長度比、子午線收斂角公式等價變換為實數形式，具有「不分帶」的優點，且表現形式更直觀、清晰。文獻[70]在高斯投影複變函數表示的基礎上，給出了基於複數等角緯度、複數底點緯度的推導過程，得到了高斯投影正反解公式的實數解，其計算精度達0.1 mm，突破經典高斯投影帶寬的限制，適應帶寬可達60°。文獻[71]藉助計算機代數系統推導出了等角緯度關於子午線弧長的展開式，利用複變函數及雙曲正切函數理論，得到了不同中央經線高斯投影間的變換公式，與傳統高斯投影換帶公式相比，具有更高的準確度及更寬的應用範圍。文獻[72—73]討論了常用等角投影及其解析變換的複變函數表示，給出了高斯投影、墨卡托投影和等角圓錐投影正反解的複變函數表示模型，在此基礎上系統地推導出了高斯投影、墨卡托投影和等角圓錐投影間解析變換的複變函數表達式。文獻[74]導出了拉格朗日投影正反解的複變函數表達式，在此基礎上系統地建立了該投影與高斯投影、墨卡托投影和等角圓錐投影間解析變換的複變函數表示模型。這些複數變換公式表現為含參考橢球第一偏心率的符號形式，可解決不同參考橢球下的變換問題，與傳統的實數變換公式相比，其形式更為簡單、理論更為嚴密。

4 斜軸墨卡托投影數學分析

墨卡托投影是一類常用的等角投影，因投影面與地球橢球相對位置的不同，可將其分為正軸、橫軸和斜軸墨卡托投影。正軸墨卡托投影適用於東西向赤道附近的測區，橫墨卡托投影適於南北縱向沿經線的測區。顯然，存在一些地理區域並不以赤道、經線、緯線為中線，而位於某一平面與地球或其他星體的交線附近，如圖 3所示。針對這種情況的應用需求，人們展開了對斜軸墨卡托投影的研究。

文獻[75]對旋轉橢球進行等角投影，得到橢球斜軸墨卡托投影，這種方法被用於美國阿拉斯加、馬來亞半島和婆羅洲、瑞士、義大利等國家或地區製圖。文獻[76]曾闡述了Hotine斜軸墨卡托投影是繪製地球資源衛星類型數據最合適的投影方式，曾用於熱容量測繪衛星的投影成像。文獻[77]基於正軸及橫軸墨卡托投影的概念，在確保變換後的赤道投影前後長度不變的前提下，給出了橢球情況下斜軸墨卡托投影的演算法。文獻[36]引入複變函數對墨卡托投影體系進行了系統的研究，詳細介紹了球面、橢球情況下的正軸、橫軸、斜軸墨卡托投影方式。

隨著國民經濟的飛速發展，我國高速鐵路建設、高等級公路建設、長距離的引水和輸油管線建設等工程日益興起。這些長大線狀工程橫跨東西南北，具有測區帶狀、路線長等顯著特點，傳統的橫軸高斯投影只適用於南北條帶區域的投影表示，應用於東西跨度較大的長大線狀工程，將導致分帶過於頻繁、換帶計算煩瑣、信息要素表達零散等不足，而採用斜軸墨卡托投影可有效控制投影長度變形，避免分帶計算。文獻[78]介紹了斜圓柱投影的計算方法，使投影圓柱沿工程直伸中心線相切，從而克服了長度變形問題。文獻[79]討論了參考圓球的確定和定位，編製了計算軟體，實現了從常用坐標系統向斜軸投影平面坐標的轉換計算。文獻[80—83]結合鐵路線路的實測數據分析了斜墨卡托投影的應用效果，驗證了方法的有效性。然而，上述文獻為計算方便，往往將測區表面近似為球面，同時未考慮高差對於投影變形的影響，使得演算法受距離限制，不適於長線型線路。因此，為更精確地表示測區，在長線型線路設計中需考慮地球扁率的影響，而這一問題往往涉及非常複雜冗長的數學分析，人工推導難度極大。

文獻[84—86]提出將接近於長大線狀工程的法截面進行旋轉，得到法截面子午線橢球，藉助計算機代數系統對法截面子午線橢球構建和變換涉及的複雜數學分析問題進行了深入研究，建立了法截面子午線橢球高斯投影、空間幾何和工程應用理論體系，避免了高斯分帶計算，減小了投影變形，在施工允許精度範圍內將單個坐標系線路長度延伸至1000 km以上，甚至達到7000 km，有效提高了高斯投影在東西跨度較大區域的使用效率。文獻[87]基於最小二乘、坐標系轉換和橢球變換理論，藉助計算機代數系統構建了斜軸變形橢球高斯投影方法，避免了因分帶帶來的誤差，減小了投影綜合變形，其數學模型更為簡單，計算過程更為清晰。

5 極區海圖投影及其變換

隨著全球氣候變暖，極區商業價值及戰略地位日漸凸顯，對其進行資源調查及航線探索已成為近年來國際上爭相關注的熱點。海圖對於極區航行具有不可或缺的支撐作用，而中低緯度採用的墨卡托投影由於長度變形過大而不宜在極區使用，選擇合適的海圖投影方式對編製極區航行所需航海圖至關重要。

文獻[88]提出橫向和斜嚮導航技術，與之配合的投影方式應為蘭伯特等角投影、極球面投影或橫墨卡托投影，但沒有對這些海圖投影方式特性及使用方式進行進一步的詳細分析與說明。文獻[89]提出了利用陀螺作為跟蹤儀的格網導航方法，建議在格網導航中使用斜向墨卡托投影。文獻[90]提出了一種基於橫墨卡托投影導航圖的極區橫嚮導航技術，將橫向地理坐標系與橫墨卡托投影結合以支持極區導航。1989年美軍國防製圖局(Defense Mapping Agency，DMA)推薦北緯84°至北極和南緯80°至南極間的圖幅採用通用極球面投影(universal polar stereographic projection，UPS)。文獻[91]對極球面投影上用直線直接代替大圓航線所造成的航向誤差和位置誤差進行了定性分析，對極區常用投影方式的導航應用研究更深入細緻。文獻[92]建議北極區域使用等距離方位投影和等角方位投影、近北極區域使用蘭伯特圓錐投影和等距離圓錐投影。文獻[93]認為在尋找出一種新的極地投影之前，墨卡托投影和日晷投影仍將作為編製北極航海圖的首選投影。

以往對極區常用海圖投影方式的投影特性及可用性分析，只給出了籠統的定性分析初步結論，對其變形特性、誤差分布特性缺乏系統、深入、細緻的理論推導和數值分析，特別是傳統人工推導的極區海圖投影演算法存在以下有待解決的問題：基於球體模型導出，存在近似、精度不高的缺點；存在奇異問題或分帶現象，表達式不統一；未能建立投影坐標直接變換的嚴密解析式，計算煩瑣。

藉助計算機代數分析方法和計算機代數系統，文獻[94]分析了極球面投影的極區投影變形、經緯線形狀及大圓航線與直線的逼近程度，結果表明極球面投影能夠克服墨卡托投影不足，可滿足極區海圖投影要求。文獻[95]針對現有研究中未充分考慮地球扁率對極區極球面投影誤差影響的問題，研究了雙重極球面投影下極區投影誤差與各重基準緯度的關係。文獻[96]研究了極球面投影上直線代替大圓航線量測距離的可行性，提出了一種基於等距圓的距離量測方法，解決了極球面投影海圖上精確量測距離的問題。文獻[97]建立了等距離正圓柱投影平面上等角航線方程並對其曲率進行了分析，提出了一種可滿足給定精度要求的等角航線展繪演算法。

鑒於陸圖採用的高斯投影具有等角優勢，在中央子午線附近變形較小，如極區海圖採用高斯投影則便於陸海圖的統一，但高斯投影傳統實數公式僅在經差較小的條帶內適用，傳統複變函數表達式雖消除了分帶的限制，但是由於等量緯度在極點存在奇異，使得複變函數表達式難以在極區應用。文獻[98—99]推導出了極區球面高斯投影非奇異公式，滿足了極區內連續投影的需求，基於該公式推導了極區經緯線投影方程，並結合日晷投影進行了長度變形及子午線偏移角分析，結果表明在極圈內高斯投影長度變形小於日晷投影。文獻[100]在高斯投影複變函數的基礎上，引入復變等角緯度的概念，避免等量緯度在極點的奇異性，並將極點作為高斯投影的坐標原點，建立了極區非奇異高斯投影複變函數表示形式，克服了傳統高斯投影分帶的缺陷，使得高斯投影在極區有一個統一完整的「一體化表示形式」，但在求得複數等角余緯度的過程中，使用了極點附近球近似的方法，一定程度上影響了正解推導過程的嚴密性。文獻[101]建立了等角余緯度和等量緯度間的嚴密關係式，對其進行複數開拓，推導出了理論嚴密的極區不分帶高斯投影正反解複數表達式，利用指數函數與三角函數間的關係式，進一步導出了極區高斯投影正反解實數表達式，在此基礎上繪製了極區不分帶高斯投影示意圖，如圖 4所示。

文獻[102]研究了極球面投影、橫墨卡托投影和日晷投影的直接變換問題，系統地推導出了任意兩種投影間的直接變換公式，可供極區海圖投影變換和航海導航參數計算使用。文獻[103]討論了常用極區海圖投影及其變換，給出了各類球面或橢球面投影及其變換公式，以及長度比或角度變形公式，主要包括等角投影、等面積投影、等距離投影和日晷投影，著重研究了等角投影及等角投影間的解析變換。

6 結論與展望

藉助現代計算機代數系統強大的數學分析功能和符號運算能力，將計算機代數分析方法應用於地圖投影數學分析，不僅可以極大地提高地圖投影數學分析過程的效率，而且可以推導出過去人工推導難以完成的公式和演算法，實現地圖投影學特定領域某些數學分析過程的創新。隨著科學技術特別是空間科學和計算機科學技術的發展，地圖投影的理論越來越科學化和體系化，地圖投影的方法和種類越來越多樣化，地圖投影學已突破了傳統的研究內容和研究方法，正在向進一步深化和多種專業知識的結合方向發展，新的研究和應用領域不斷地開拓。筆者認為，地圖投影計算機代數分析有待進一步開展的研究工作主要有以下幾個方面：

(1) 空間地圖投影計算機代數分析。空間地圖投影[104-106]是近40年才出現的一個新的研究領域，是圖像數學基礎研究的前沿課題，是衛星遙感製圖學發展必然產生的問題。空間地圖投影涉及地球形狀、地球自轉、衛星軌道攝動等非常複雜的數學分析問題，傳統人工推演均採用一定的近似分析方法和數值積分，藉助計算機代數系統強大的符號運算能力，可以推導和建立理論上更為嚴密、形式上更為簡單、精度上更為精確的空間地圖投影新公式和新演算法，揭示各類空間地圖投影複雜數學模型和海量數據背後隱藏的規律，實現空間地圖投影在一些具體數學分析問題上的突破和創新。

(2) 中小比例尺地圖投影計算機代數設計與分析。中小比例尺地圖投影在過去有過一些研究和分析，但由於受時代的局限，在分析深度、廣度和精細程度上都顯得比較粗淺，絕非完美。許多投影是人工擬合得出的數值形式，參數選取有一定的隨機性，缺乏嚴格的數學基礎。利用先進的計算機代數分析工具，可以全面對比各類中小比例尺地圖投影特點，對以前缺乏數學基礎的各類數值擬合投影方法儘可能給出符號化的通用數學準則和表達式，提高我國中小比例尺地圖投影的理論研究和設計水平。

(3) 海圖投影及航線繪算計算機代數分析。海圖投影及航線繪算是海圖製圖和航線設計的理論基礎，在海洋監測與調查、海洋劃界和航海中有著廣泛的應用。傳統的海圖投影及航線繪算公式和演算法，大多表現為數值形式，普適性不高，符號形式的演算法部分存在高階項誤差，同時在極區的應用和研究也很有限。利用計算機代數分析方法，藉助計算機代數系統對其進行系統分析，可以將以往演算法的數值形式改進為符號形式，建立更適合的新模型和新演算法，完善海圖投影及航線繪算的理論體系。

【引文格式】邊少鋒，李厚朴，李忠美。地圖投影計算機代數分析研究進展[J]. 測繪學報，2017，46(10)：1557-1569. DOI: 10.11947/j.AGCS.2017.20170396

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