從一維到十一維（上）

撰文 Margaret Wertheim

翻譯 卓思琪

審校 阿金 譚坤 金庄維

我正準備伏案疾書，抬手打開桌上的燈，拉開桌下的抽屜，拿出筆。在我面前有妹妹送我的幸運物——一個古怪的小雕像，背後有酣睡的貓主子。右邊放著文章的參考資料，左邊則是成堆的賬單和要回復的信件。上、下，前、後，左、右：我在我的私人三維宇宙內翱翔。大部分西方建築物由三個相連的直角構成垂線型結構，我的辦公室也不例外，這個世界的以三維軸線的方式，無形地包圍著我。

我們身邊的建築、學校的教科書以及各類字典都告訴我們：空間是三維的。《牛津英語詞典》將「空間」定義為：「一個連續的區域或廣闊的場所，空曠不被物質佔據……其維度包含高度、深度和寬度，所有物體都在此間存在和運動。」

18世紀的哲學家康德（Immanuel Kant）認為三維歐氏空間（Euclidean space）具有先驗（a priori）必然性，就好像我們生活在計算機成像和電子遊戲中，依賴笛卡爾坐標系來描述空間。這在今天看來，似乎是不證自明的。

我們所處的空間可以有一定的的數學結構（mathematical structure）——這個理論是西方文化的顛覆性創新之舉，意在推翻長久以來對現實世界的本性的認識。雖然人們常把現代科學的誕生描述為向「機械論自然觀」的轉變，但更重要、當然也更持久的是它為我們帶來了「空間是種幾何結構」的觀念。

在上個世紀，描述空間的幾何結構是理論物理學的重大課題，阿爾伯特·愛因斯坦（Albert Einstein）和他的追隨者試圖將自然中的所有基本作用力視為空間本身的形狀的副產品。一般情況下，我們接受的教育告訴我們：空間有三個維度；但廣義相對論則描繪了一個四維宇宙圖景，而弦論表示有 10 個維度存在——它的擴展理論 M 理論甚至認為有 11 個維度。弦論中有幾種模型存在於 26 維，最近還出現了讓數學家興奮不已的 24 維版本。但是，這些「維度」是什麼？10 維空間又意味著什麼？

為了理解現代數學如何考慮空間，我們首先需要將空間視作一個可以被物體佔據的場所。至少，「空間」必須是可以延伸的。雖然看上去是顯而易見的概念，但這卻是對亞里士多德（Aristotle）的「詛咒」。從古希臘晚期到中世紀，亞里士多德關於物理世界的種種理念一直主導著西方世界的思想。

其實嚴格來講，亞里士多德的物理學並不包括空間理論，他僅是提出了空間（place）的概念。想像桌上有一隻杯子：亞里士多德認為，杯子本身是一個實體，被空氣所包圍。在他的世界圖景里，不存在「空無一物的空間」，有的只是不同實體之間的間隙：比如，那隻杯子和圍繞它的空氣，或者和桌子之間的邊界。他認為，「空間」（如果你想稱呼它為空間的話）只是杯子和它周圍物質相接處極其狹小的一絲縫兒。如果空間不延展，那麼裡面什麼也裝不下。

早在亞里士多德前幾個世紀，留基伯（Leucippus）和德謨克利特（Democritus）就已提出一個關於自然世界的理論：他們認為空間是自然世界內部固有的，並建立原子論（atomism）——物質世界由虛空（void）中運動的微小粒子（原子）組成。而亞里士多德不接受原子論，堅稱虛空的概念邏輯上就說不通。他從定義上討論說，「虛無」是不可能存在的。從駁斥亞里士多德對虛空的否定，到接受可擴展的空間這個概念又經歷了幾個世紀。直到17世紀前葉，伽利略（Galileo）和笛卡爾（Descartes）將空間擴展學說作為現代物理學的基石，「假定物理空間完全等同於幾何空間」（——Edwin Burtt），這種革命性的概念才盛行起來。

早在物理學家接受歐氏空間之前，畫家才是探尋空間幾何概念的先鋒人物，也多虧了他們，人類的思想框架才會有這樣巨大的飛躍。在中世紀晚期，從柏拉圖（Plato）和畢達哥拉斯（Pythagoras）學說——這兩位也是亞里士多德學說的主要競爭對手——衍生出一個新的思潮，「上帝根據歐氏幾何創造世界」的觀點開始在歐洲廣為流傳。因此，如果畫家想要真實地描繪出現實世界，他們就得模仿造物主的表現技巧。14 世紀到 16 世紀間，喬托（Giotto）、保羅·尤切洛（Paolo Uccello）和皮耶羅·德拉·弗朗西斯卡（Piero della Francesca）等藝術家開創出透視法—— 一種最初稱為「幾何圖形」的風格。通過對幾何原理的探索，畫家們逐漸學會在三維空間內描圖繪物。也就是這樣，畫家們刷新了歐洲人的思維模式，讓大家用歐幾里德的方式來看空間。

喬托《哀悼基督》

站在透視法前沿的先鋒彷彿以上帝視角透視著這個三維世界，發自肺腑地拋棄了亞里士多德的「空間學說」。其中最神奇的一點是，當科學家和哲學家謹慎地挑戰亞里士多德對空間的認知時，藝術家則通過感性認識，在知識領域中大膽地闖出一條大道來。他們的透視法類似於現在十分流行的「虛擬現實」（VR）技術，讓觀看者身臨其境地探索其他世界。

「現實世界」的結構由神學和哲學問題演變成了幾何命題。

用透視法表現虛擬的歐氏空間深深印刻入歐洲人的意識中，伽利略和笛卡爾則將其運用到真實世界中。值得一提的是，伽利略本人學過透視法，他開創性地描繪月亮主要特徵時就展現出本人表現縱深的能力：他描繪的月亮上有高山有深谷，暗示月亮也像地球一樣，由堅硬的物質組成。

伽利略能利用空間透視法，按照數學規律描述物體的運動。空間本身是抽象的，它沒有特點，穩定存在又不可感知觸摸，唯一可知的屬性只有歐式幾何屬性。到了17世紀末，艾薩克·牛頓（Isaac Newton）將伽利略的空間觀念擴大到宇宙尺度，宇宙被定義為一個無限的三維空間，它廣闊無垠、沒有質量，可向四面八方無限延伸。就此，關於「現實世界」的結構，已經從哲學和神學問題轉化為幾何命題。

當畫家已經使用數學工具發展繪畫的新方法時，「科學革命」也迎來了曙光，笛卡爾發明出一種新方法，用數學關係來描述圖形。在這個過程中，他將維度概念形式化，並將它們根植於我們腦海中。這不僅是觀察世界的新方法，更是研究科學的新工具。

今天，我們幾乎每個人都認識笛卡爾這一天才成果——笛卡爾平面（Cartesian plane）。其上的坐標系（coordinate system）是由兩條互相垂直的 x 軸和 y 軸形成的直角坐標系統。

根據定義，笛卡爾平面是一個二維空間，因為我們需要兩個坐標值來描述其中的任意一點。笛卡爾發現，他能夠在這個框架內將幾何圖形和代數公式聯繫起來。例如，半徑為 1 的圓就可以用x2+ y2= 1來描述。

在這個平面內，我們繪出的大部分圖形都能用公式來表示。而這種「解析幾何」，或者「笛卡爾幾何」，很快就成為微積分的基礎。微積分是由牛頓和萊布尼茨（G W Leibniz）發展而來，並且很快成為物理學家分析運動的工具。了解微積分的方式之一就是研究曲線。微積分能幫助我們確定曲線在哪裡最陡，某一段曲線的極值點等等。在研究運動時，微積分能預測物體拋出後達到最高點的位置，或者斜面上滾動的小球達到某一具體速度的時間等。微積分應用廣泛，自誕生以來幾乎成了所有分支學科的重要工具。

由二維坐標出發，我們很容易想到添加第三個坐標軸。因此，我們可以用 x、y 和 z 軸來描述一個球面，比如半徑為 1 的球面就可以用公式x2+ y2+ z2= 1來表示。

這三個軸能夠用來描述三維空間的形式。同樣地，每個點需要由三個坐標共同確定。

我們不要停下腳步，嘗試一下添加第四個維度會怎樣。比如說再加個 p 軸。現在，我寫下一個公式x2+ y2+ z2+ p2= 1，這代表一個四維球。雖然我畫不出來這個物體，但是從數學上講，再增加一個維度是合理的。「合理」意味著沒有任何邏輯上的錯誤，因此理論上講我沒有理由不能增加這個額外的維度。

維度成為了純粹的概念符號，它不再需要和物質世界聯繫在一起。

儘管我可能無法畫出更高維的球面，但是我能夠把它們用符號表示出來。這也是理解數學史的一種方式——逐漸超越看似合理的事物。就像劉易斯·卡羅爾（Lewis Carroll）在《愛麗絲鏡中奇遇記》（Through the Looking Glass, and What Alice Found There）借白皇后之口宣稱：「我有能力在早餐之前相信六件不可能的事情。」

在數學上，我可以在任何維度下描述球面。而我需要做的，就是不斷增加坐標軸——數學家稱之為「自由度」（degrees of freedom）。傳統上它們被命名為 x1, x2, x3, x4,x5, x6 等。如同笛卡爾平面上的點可以用兩個坐標點（x, y）來描述，17 維空間中的點就可以用 17 個坐標點（x1, x2, x3, x4,x5, x6 ...x15, x16, x17）來表示。上面那些多維空間中的球面通常被稱為流形（manifolds）。

從數學的角度來看，一個「維度」只不過是一個坐標軸（或者是一個自由度）。它最終成為一個純粹的符號，沒有必要和物質世界聯繫在一起。19世紀60年代，邏輯學家奧古斯都·德·摩根（Augustus De Morgan）總結出「數學領域愈漸抽象」的觀點，指出數學是純粹的「符號科學」，數學只需要它自身，不需要再指涉任何其他事物。從某種意義上說，數學就是讓邏輯在想像力領域內為所欲為。

和在思想領域毫無拘束的數學家不同，物理學必須要和自然界聯繫在一起，至少原則上，它要和物質聯繫在一起。然而，這一切也都有擺脫限制的可能性：如果數學上允許超過三維，並且我們承認數學可用來描述世界，那麼我們怎麼知道物理空間僅限於三維呢？儘管伽利略、牛頓和康德都將長度、寬度和高度這三個維度視作不言自明的，但這個世界上就沒有更多的維度了嗎？

歷史再次重演，藝術媒介在多維宇宙的思想傳播上又一次發揮了重要的作用，而這次是通過文學作品。著名數學家艾德溫·阿爾伯特（EdwinA Abbott）在社會諷刺小說《平面國》（Flatland）（1884）中描寫到：生活在平面國的謙卑正方形受到來自三維空間國的球王的激勵，造訪壯觀的三維立體世界。在空間國，正方形見到了他的三維版本——立方體。接下來，他開始夢想有四維、五維、六維世界。為什麼不是超立方體呢？他想知道，是不是還有超超立方體？

但是悲劇的是，當正方形回到平面國後，他被當做一個瘋子，關進精神病院。這個故事告訴我們的道理之一就是承認炫耀社會習俗的危險性。當正方形在為其他空間維度的存在辯護時，他也在努力地尋找著相關例證——他就是個數學怪人。

在十九世紀末二十世紀初，一批作家、藝術家和思想家對多維思想的傳播做出了貢獻。其中包括數學家、科幻小說家查爾斯·漢頓（Charles Hinto）為四維立方體創造了「tesseract」一詞，藝術家薩爾瓦多·達利（SalvadorDalí）和神秘主義思想家鄔斯賓斯基（P D Ouspensky），他們探討了四維的思想及其對人類的影響。

1905 年，一位叫阿爾伯特·愛因斯坦（AlbertEinstein）的「無名」物理學家發表了一篇論文，將現實世界描述為一個四維環境。在他的「狹義相對論」中，時間作為新的維度，添加在經典的三維空間上。在相對論的數學形式中，四個維度被綁定在一起，而「時空」這個詞也被載入字典——這兩個字的組合可不是隨意而為的。愛因斯坦發現，沿著這個思路繼續下去，一個強大的數學工具應運而生——它超越了牛頓的物理學，能用於預測帶電粒子的行為。只有在四維世界中，才能完全、精確地描述電磁學。

相對文學作品而言，相對論要深刻得多。特別是後來愛因斯坦將「狹義相對論」擴展到「廣義相對論」。現在，多維空間已經不再虛空，它飽含深刻的物理意義。

在牛頓的世界圖景中，物體在自然力（特別是引力）的作用下，在一定時間、空間內運動。空間、時間、物質和力是不同的現實範疇。在狹義相對論中，愛因斯坦證明時間和空間是統一的，從而將基本物理範疇從四個縮減為三個：時空、物質和力。廣義相對論在此基礎上又邁出一步——它將引力加入時空的結構中。從四維角度來看，引力只是空間形變的產物。

為了理解這一點，我們先考慮二維世界中的情形。我們在一張蹦床上畫上笛卡爾網格，然後將一個保齡球放在網格上。這樣，球周圍的表面會變形，一些點之間的距離變得比之前更遠。這是因為我們打亂了空間內距離的固有尺度，使它變得不均衡。廣義相對論認為，類似這樣的變形就是重物體（例如太陽）對時空的作用，產生了我們熟悉的引力現象。

相比牛頓物理中來歷不明的引力，愛因斯坦的理論認為引力來自四維流形的固有幾何屬性。流形中拉伸最厲害的地方，或者偏離笛卡爾規範最遠的地方，引力就越強。我們有時把它稱為「橡膠彈性物理學」（rubber-sheet physics）。這裡，巨大的宇宙力量只不過是空間彎曲的副產物，它使行星圍繞恆星旋轉、恆星圍繞星系中心旋轉。引力就表現為時空的幾何。

如果四維時空有助於解釋引力，那麼五維有什麼科學優勢呢？為什麼不繼續研究下去呢？一位年輕的波蘭數學家西奧多·卡盧扎（Theodor Kaluza）曾在 1919 年思考：愛因斯坦將引力吸收進時空中，或許在下一個維度中，我們同樣可以將電磁力看做是時空幾何的副產物？於是，卡盧扎就在愛因斯坦方程中添加了一個維度，然後他欣喜地發現，在五維中，兩種力都能在幾何模型中完美出現。

從一維到十一維（下）預告：

· 你是一隻螞蟻，爬行在細長的軟管上，卻從未注意腳下是一個環形維度。

· 我們身處的可能只是眾多宇宙中的一個。在五維空間的更廣闊舞台上，每個宇宙都是獨立的四維泡泡

https://aeon.co/essays/how-many-dimensions-are-there-and-what-do-they-do-to-reality

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