橋牌中的概率問題

「

橋牌是一種極具魅力與技術的牌類遊戲，同時具有科學性。概率在橋牌中有著極其廣泛和重要的作用，深刻影響著牌手的策略，甚至能夠決定成敗。其中，最基本也最關鍵的，就是對手各花色的牌型分布問題。依據概率理論分析，我們能夠得到普遍情況下牌型分布的規律，而這些規律也在世界牌手的反覆實踐中得到了驗證。可以說，概率成就了橋牌。而我們同樣可以認為，橋牌也是概率在生活中得到發揚和應用的明證。

」

關鍵詞：

概率 橋牌 牌型分布

正文：

在橋牌比賽中，概率扮演著一個極其重要的角色。其中，對除自己和明手外另外兩家牌型分布的推算是一個非常有趣的課題。對牌型分布概率有所了解的朋友們很可能會對那些看起來比較複雜的數字感到迷惑不解——例如，1-1分布的概率為什麼是52%而2-0分布是48%之類，甚至可能會覺得這個48%是不是四捨五入得來的。其實，這些數字背後的理論說起來挺簡單，更值得注意的是在運用這些數字的時候要萬分小心。

所有為我們所熟知的牌型分布概率都是建立在一個條件上的：對所關心的那兩家手裡的牌我們事先沒有獲得任何信息，也就是說對那26張牌我們一無所知。如果在這個條件不能得到滿足的情況下機械地運用表格里那些枯燥的數字，誤入歧途的可能性是很大的。

我們從最簡單的有價值情況入手。當自己和明手一共持有一套花色的11張的時候，另外2張牌分布的概率是怎麼樣的呢？

由基本的組合理論所得出的結論非常簡單：從2張牌中取出0、1和2張的方式各為1、2和1，分別對應2-0、1-1和2-0分布——也就是說，2-0分布和1-1分布的概率皆為2/4=50%. 很遺憾，這個結論是不正確的，原因在於它是一個獨立事件概率理論，並沒有考慮到2張牌之間的相關。

正確的分析方法應該如下：兩家暗手一共有26張牌，在零信息的條件下它們為這套花色餘下的2張牌提供了26個位置。第1張牌（這種表達方式並沒有人為帶來2張牌「地位」上的區別，證明很簡單，就是把連乘式兩個因子的分子交換一下位置而已）在某一家的概率是顯而易見的：13/26. 這時分析第2張牌——這時一共餘下25個位置：

2-0分布對應的情況是第2張牌也在第1張牌所在的一家，一共有12種可能，其概率為12/25；

1-1分布對應的情況是第2張牌在另一家，一共有13種可能，其概率為13/25. 可見1-1分布的概率比2-2分布大。

具體的數字計算如下（對非嚴格等式，單獨概率保留三位有效數字，總概率保留到小數點後第三位）：

2-0分布一共有2種情況（根據獨立事件組合理論，下同），各自對應概率13/26 * 12/25 = 0.24, 總概率為 2*0.24=0.48；

1-1分布一共也有2種情況，各自對應概率13/26* 13/25 = 0.26, 總概率為 2*0.26=0.52.

3張牌的情況如下：

3-0分布一共有2種情況，各自對應概率13/26* 12/25 * 11/24 = 0.11, 總概率為 2*0.11=0.22；

2-1分布一共有6種情況，各自對應概率13/26* 13/25 * 12/24 = 0.13, 總概率為 6*0.13=0.78.

4張牌的情況如下：

4-0分布一共有2種情況，各自對應概率13/26* 12/25 * 11/24 * 10/23 = 0.0478, 總概率為 2*0.0478=0.096；

3-1分布一共有8種情況，各自對應概率13/26* 13/25 * 12/24 * 11/23 = 0.0622, 總概率為 8*0.0622=0.497；

2-2分布一共有6種情況，各自對應概率13/26* 13/25 * 12/24 * 12/23 = 0.0678，總概率為 6*0.0678=0.407.

5張牌的情況如下：

5-0分布一共有2種情況，各自對應概率13/26* 12/25 * 11/24 * 10/23 * 9/22 = 0.0196, 總概率為2*0.0196=0.039；

4-1分布一共有10種情況，各自對應概率13/26* 13/25 * 12/24 * 11/23 *10/22 = 0.0283, 總概率為 10*0.0283=0.283；

3-2分布一共有20種情況，各自對應概率13/26* 13/25 * 12/24 * 12/23 * 11/22 = 0.0339，總概率為20*0.0229=0.678.

6張牌的情況如下：

6-0分布一共有2種情況，各自對應概率13/26* 12/25 * 11/24 * 10/23 * 9/22 * 8/21 = 0.00745, 總概率為2*0.00745=0.015；

5-1分布一共有12種情況，各自對應概率13/26* 13/25 * 12/24 * 11/23 *10/22 * 9/21 = 0.0121, 總概率為12*0.0121=0.145；

4-2分布一共有30種情況，各自對應概率13/26* 13/25 * 12/24 * 12/23 * 11/22 * 10/21 = 0.0161，總概率為30*0.0161=0.484；

3-3分布一共有20種情況，各自對應概率13/26* 13/25 * 12/24 * 12/23 * 11/22 * 11/21 = 0.0178，總概率為20*0.0178=0.355.

等等等等。

以上的計算都是建立在「第1張牌有26個位置可供放置」這個條件上的，如果這個條件本身不成立，這些數字就沒有了意義。

舉一個簡單的例子：東家曾經作過1黑桃5張高花開叫，最後北家主打方塊，莊家手裡有6張將牌，東家作長4首攻黑桃3後庄家明手有3張方塊，此外莊家和明手黑桃一共5張，也就是說西家有3張黑桃（這裡暫且排除東家在首攻時欺詐的情況——如果東家作出長5首攻而並未事先聲明ta們的首攻不是長4，也就是說東家違反了約定，但是如果這個首攻能把同伴也騙倒，那就不犯規的）。在這一瞬間，一個優秀的莊家應該先規劃好做莊路線然後再命令同伴——ta也許在為大家削蘋果——出牌。莊家應怎麼分析外面4張將牌的分布概率呢？

目前為止全部已知信息如下：東家有5張黑桃，西家有3張。

東4-西0的概率：8/18 * 7/17* 6/16 * 5/15 = 0.0229，可能性為1，總概率為0.023；

東3-西1的概率：8/18 * 10/17* 7/16 * 6/15 = 0.0458，可能性為4，總概率為0.183；

東2-西2的概率：8/18 * 10/17* 7/16 * 9/15 = 0.0686，可能性為6，總概率為0.412；

東1-西3的概率：8/18 * 10/17* 9/16 * 8/15 = 0.0784，可能性為4，總概率為0.314；

東0-西4的概率：10/18 * 9/17* 8/16 * 7/15 = 0.0686，可能性為1，總概率為0.069.

如果東家首攻不是黑桃，而是一門看起來像雙張的花色，情況又不一樣。總而言之，在計算外手將牌分布概率時一定要考慮這個問題「我已經知道這兩家分別已經有什麼牌」？而不是機械地去套書上寫的「3-2分布概率」諸如此類的數字。

當然，真正打牌的時候沒有那麼多時間去算得那麼精確，但是作出一個大致的判斷是沒有問題的。就拿上面那個例子來說，我們知道在零條件下4張牌的分布概率為0.096 (4-0)，0.497 (3-1) 和0.407 (2-2). 現在已知東家手裡比西家多2張黑桃，那麼認為ta手裡將牌更可能比西家少是非常合理的。這時候東3-西1和東1-西3分布不再是各有0.249的概率——東3-西1要低一些，西3-東1要高一些。因此清將的時候主要應考慮2-2分布和西家有3張的情況，而不是機械地按照3-1分布來打。

這些概率分析都屬於「靜態概率分析」，但隨著出牌的進行，牌手們在不斷地獲取信息，這時剩餘牌的分布概率就會不斷發生變化，同樣牌手也會調整自己的打牌策略。正因如此，橋牌才會有場上的千變萬化，橋牌歷久彌新的魅力也在於此。

參考文獻：

https://bbs.hupu.com/2216705.html

編輯：Gemini

來源：航天愛好者

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