邏輯基礎問題（下）

上篇中漏掉了這兩張圖

圖一

圖二

邏輯基礎問題(下)

[美]G．謝爾 文 劉新文 譯

提要：第三部分首先回應那些對在第二部分中所闡述的形式性／邏輯性標準的批評，然後為邏輯與數學之間的關係提出一個新的解釋，以替換傳統的邏輯主義解釋。邏輯主義企圖把數學歸約到邏輯，但是它的缺陷之一在於無法為邏輯提供一個基礎。通過把邏輯與數學都建基於形式之中，以及對二者的勞動分工與合作的解釋，新基礎解決了這個問題。本文進一步證明，新基礎保證了邏輯的必然性、普遍性、主題中立性、強大規範性以及其他種種特性，並在最後討論了邏輯中的錯誤和修正。

關鍵詞：塔爾斯基～謝爾論題；邏輯一數學結構主義；邏輯中的錯誤和修正

二、基礎大綱(下)

(三)紅鯡魚和真正的問題

對邏輯性作為充分必要條件的批評集中於邏輯常項在自然語言中的使用上。這些批評的焦點是，自然語言中存在一些據說滿足邏輯性的兩個部分但直觀上似乎仍是非邏輯常項的表達式。我們目前的基礎性計劃的中心是理論性的，它所關tl,的問題是認識上的，而其旨趣則在於構造一個邏輯系統以滿足某些理論認知作用，根據這個觀點，這些批評在很大程度上都是不相干的。

其他一些批評所關注的問題與目前的研究更為相關，對此我們必須在這裡認真考慮。這些批評的豐富素材參見費弗曼的論文。(cf．Feferman，1999；2010)費弗曼為他命名的「塔爾斯基一謝爾論題」提出了三個異議：

A．這個論題把邏輯吸收到了數學、更具體地說是集合論當中。

B．解釋(這個論題)所涉及到的集合論概念不是魯棒的。

C．對於是什麼構成了任意基本域上同樣的邏輯運算，這個論題沒有給出自然的解釋。(Feferman，1999：37)

當然，從其他角度來看，它們可能也有點相關。對於語言學直觀起重要作用的那些批評，可以參見如漢森的論文(Hanson，1997)和戈麥斯一杜蘭特的論文(G6mez—Torrente，2002)。對此所作的回應可以參見謝爾的論文(Sher，2001；2003)。一些關於邏輯性的部分(ii)的問題在這些回應中起了重要作用，但正如上面提到的，它們無需用到目前的討論當中。

就A而言，費弗曼把它作為一個「直覺」問題提出來：

就這一[異議]是否合理這一點來說，這明顯依賴於對邏輯本質的直覺。(Feferman，1999：37)

他特別受到以下事實的干擾：我們可以用純邏輯辭彙表達實質性的數學命題，而這個論題的數學版本又為邏輯添加了實質性的本體論承諾：

根據塔爾斯基一謝爾論題，我們可以把連續統假設以及其他許多實質性的數學命題表達為邏輯上確定的命題。??這一論題的某個版本要求一種特殊的集合論實體的存在性、或者至少是它們確定的性質的存在性，就此範圍而言，很明顯的是，我們在這裡已經超出了邏輯作為獨立於「何物存在」的普遍概念的舞台。(Feferman，1999：38)

我的回應如下：

(a)直覺。從目前把邏輯基礎問題處理成一個理論問題的角度來看，直覺在接受或拒絕這一論題時都不能起主要作用。邏輯和數學之間的關係確實需要解釋，但這在本質上不能是理論的。我將在隨後的第(四)小節提供一個解釋。

(b)連續統假設和本體論承諾。首先，邏輯必須避免牽涉到世界的任何承諾這個觀點，是一個與邏輯的基礎主義方案攜手並進的「純粹論」觀點，但在我的基礎整體主義方案中卻沒有地位。其次，正如費弗曼似乎已經注意到的(上述最後一個引文)，他的批評並不能應用到塔爾斯基一謝爾論題的一般形式，至少在我的說明——即前面的第一步、第二步——中是如此。論題的這一形式並沒有躺在任何特殊的數學理論之中，所以也沒有承諾連續統的可表達性或集合論實體的存在性。連續統的可表達性僅僅是選擇一個特殊數學理論作為形式結構的背景理論的人工製品，因此是對集合存在性的承諾。我們還不知道連續統假設究竟為真還是為假，有人也許會被這一事實所困擾，但在我們看來這並不是問題：知識的匱乏既是暫時的又是長久的，這是所有知識領域中都無法改變的事實，邏輯沒有理由成為例外。

就B而言，費弗曼承認，「集合論概念的『魯棒性』這個概念是模糊的」，但他的基本想法是，「如果邏輯概念需要從集合論上解釋清楚，那麼它們一定具有同樣的、獨立於集合論論域的精確範圍的意義」(Feferman，1999：38)。可以用來刻畫這一思想的一個數學條件是絕對性：給定(標準集合論語言中的)公理集合T，一個「公式??被定義為是關於T絕對的，僅當在T的模型的終端擴展(end—extension)下是不變的」(Feferman，2010：13)。費弗曼要求所有邏輯常項都是由「魯棒的」概念可定義的，其動機在於處理以下思想：邏輯「不應該包含任何成問題的集合論內容」、邏輯常項的意義「不應該依賴於任何特殊的、超出最基本的集合構造而存在的集合論假設」(Feferman，2010：17)。在這一絕對性條件之下，諸如滿足邏輯性的「量詞『存在不可數多個X」』這樣的常項「不應該是邏輯常項」(Feferman，1999：38)。

為了保持本文編號系統的一致性，我把費弗曼的「1」、「2」、「3」換成了「A」、「B」、「C」。

我們可以這樣做的一種方式是使用量詞「存在2。個」、「存在個」。

實際上正如我們將在第(四)小節中所看到的那樣，這是尚未解決的問題：作為一個關於形式的理論，集合論本身是否承諾了像集合這樣的形式個體的存在性。

這一批評同樣至多只能應用到特殊版本的塔爾斯基一謝爾論題。就這一版本來講，我的回應是，如果可以證明絕對性這樣一類背景辭彙的特徵是與邏輯基礎問題密切相關的，那麼可以合理地要求在此基礎上對邏輯性標準進行修正；但是就我所知，它們從未被證明直接與此問題相關。此外，費弗曼也承認，「絕對性概念本身是相對的、是對作為背景的集合論敏感的，因此仍然是對什麼實體存在這一問題敏感的」(Feferman，1999：38)。這就引出了一個問題：如果在邏輯基礎的某個地方必須迴避非魯棒的概念，那麼為什麼它們不應該在其他地方也被迴避?為什麼像絕對性這樣的非魯棒概念必須被允許在表述邏輯性標準甚或在其表述的限制中充當核心角色?

更一般地談論標準集合論本身那些「成問題的」特徵及其許多概念的「非魯棒性」的時候，我認為對兩種類型的問題作出區分是很重要的：(i)涉及到集合論基本思想的問題；(ii)用於表述集合論的邏輯框架的具體特徵中產生的問題。在很大程度上，許多集合論概念的非魯棒性起因於標準一階邏輯在表達能力上的局限，這些局限引起了樓文漢姆一司寇侖一塔爾斯基(LST)現象、非標準模型、集合論概念的不穩定性等後果。例如，「不可數多」在非標準模型中被可數集合所滿足，這導致了它非常地不穩定。但是，通過引入新的邏輯常項而加強邏輯框架的表達能力，這個問題在原則上是可以解決的，因此，它們對於目前的研究來說意義不大。(「不可數多個」作為一個邏輯常項，其意義是跨模型固定的，與其非邏輯相關者相比，它更具魯棒性，因為它並沒有可數模型。)就像在紐拉特之船比喻中分兩步修補一個漏洞那樣(首先是臨時地、然後是更為持久地使用這個臨時的修補處創造新的工具，以生產更為持久的替代物)，在原則上，為邏輯性構造標準這個過程也可以包含兩個或多個階段。從先於邏輯性標準的採用而被選出的、受LST等不穩定現象支配的邏輯框架中進行表述的集合論背景理論出發，我們在不太理想的條件下產生出邏輯性。然後，使用邏輯性為集合論構造一個更強的邏輯框架，我們就加強了這一理論，並且我們的邏輯性標準與它一起從更魯棒的角度重新定義了它所許可的邏輯常項。

費弗曼對C的批評是：

在我看來，存在著這樣一種意義，根據它，一階謂詞演算通常的運算獨立於它們所應用於其上的個體域而具有相同的意義。這一特徵並沒有被雙射不變性所涵蓋。正如麥吉所說，「塔爾斯基一謝爾論題並不要求邏輯運算對不同大小的論域起作用的各種方式之間存在任何聯繫。所以，它會允許在論域大小為偶後繼基數的時候像析取詞那樣起作用、在論域大小為奇後繼基數的時候像合取詞那樣起作用、而在極限處卻像雙條件句那樣起作用的邏輯聯結詞」。(McGee，1996：577)??我??相信，如果在語義上對一個邏輯運算的概念有一個說明，那麼這個說明一定是這樣的，它表明了一個運算在應用到一個論域M。時起作用的方式如何自然地與它在任何其他論域M。上起作用的方式聯繫起來。(Feferman，1999：38-39)

我對這一批評的回應是，在對一個理論進行系統化的時候，我們常常被迫接受一些從該理論外部看來奇怪的、缺乏內在統一性、沒有規則或理由的實體。但是，這樣的實體在該理論內部意義很大，它們的自然性、內部統一性和存在的理由均依賴於該理論的原理。所有數學家都知道這一點，費弗曼自己也指出，許多正統的數學對象，用他的詞來說，都是「怪異的」或「病態的」。(Feferman，2000)確實，即使對於邏輯來說，費弗曼也接受直觀上缺乏意義統一性的運算元。例如，考慮135元真值函項聯結詞，它剛好在2、101、103、104或120—13O個T(即2、101、??個句子變元指派為「真」)的那些行之中表現得像合取詞，在3、4、5、6和7O一1o0個T的那些行之中表現得像析取詞，而在所有其他行之中表現得像是某個極其不規則的聯結詞。這個聯結詞在其真值表(模型的相關物)的所有行之中具有「相同的意義」嗎?對於有100個、101個和102個T的那些行，它在三者中各自的表現方式之間存在著自然的聯繫嗎?但這個邏輯運算元卻是費弗曼支持的，而且具有很好的理由。使得它成為「在所有行之中是相同的運算元」的，正是句子運算元的邏輯性標準，即事實上它是真值函項型運算元或稱布爾型運算元。

還必須注意的是，上述費弗曼引文中的句子聯結詞在我的塔爾斯基一謝爾論題意義上並不是句子邏輯的邏輯聯結詞。這是因為我關於句子邏輯的邏輯性標準是通常的布爾型或真值函項型標準，而這個標準並不支持考慮到主目真值以外的東西的運算元；特別是，它並不支持考慮到論域及其特徵這類東西的運算元。

就謂詞邏輯來說，這裡的句子聯結詞有兩種許可方式：句子運算元的邏輯性標準和謂述運算元的邏輯性標準。通過前者引入的時候，由於上述原因，它們不能表現得像費弗曼聯結詞那樣。[根據謂詞邏輯的真的塔爾斯基定義，用於開公式的時候，這個定義決定了它們只能與不考慮它們主目結構的論域的基數的謂述運算元相一致。例如，在「Bx&cx」或「Bx&cy」等語境中，「&」分別與所有論域中的交(intersection．in—all—universes)或所有論域中的卡氏積(Cartesian．product—in—al1．universes)的客觀運算元相一致。]通過後一個標準引入的時候，它們被作為客觀的邏輯運算元引人而在閉句子語境中變成句子邏輯運算元。這樣的運算元由其形式性而成為邏輯運算元，它們從其只區分它們主目結構(包括它們的論域)的形式特徵這一特性中獲得內部統一性。並不是主目結構的論域的所有特徵都是形式的，但是其基數是形式的，所以，邏輯運算元原則上對這一特徵是敏感的。費弗曼邏輯聯結詞的謂述相關物初看起來可能是「怪異的」，但實際上它在理論上是可靠的。

雖然費弗曼的具體異議是沒有根據的，但問題仍然會出現：假定邏輯性的部分(ii)被滿足，那麼形式性對邏輯常項來說究竟是充分必要條件或者僅僅是必要條件?經過深思熟慮之後，我的觀點是，如果這個問題是這樣問，「我們必須把哪些邏輯常項包括在我們所使用的邏輯系統之中?」那麼這個問題有多重維度，而且在不同的時間我們需要作出不同的決定，這取決於哪些維度對我們來說最重要、我們在那個時候的目標是什麼。邏輯性標準本身並不足以決定我們的選擇，其他需要考慮的事項如實用考慮等也會起到重要作用，致使我們把邏輯性許可的邏輯常項限制到標準邏輯常項等等。但是，如果這個問題是這樣問，「邏輯常項的哪個選擇所產生的邏輯系統其後承將在所有知識領域中以一種特彆強大的模態力量把真從前提轉換到結論?」那麼我相信答案是，滿足邏輯性的邏輯常項的任何選擇都將做到這一點。從這個角度來看，我們的標準在形式性這個統一的主題下區分出了一個極大論(maximalist)邏輯性觀念，它是一族邏輯系統的觀念，每一個系統都以部分方式滿足為邏輯所指派的任務。就這一觀念而言，我們的標準為邏輯性建立了一個充分必要條件。這個標準的一個重要憑據是，它在實質性的、統一的邏輯基礎中充當了意義重大的角色(而不是作為特設標準，或者是整合在關於邏輯的零碎平庸說明中的標準)。

必須注意的是，運用形式性標準來擴展邏輯、尤其是一階邏輯所帶來的優勢不在本文的討論範圍之內。例如，ISOM[同構不變性標準或邏輯性的形式性標準，見第二(二)節]已經被證明在數學和語言學中得出了極其豐富和有趣的結果，包括「廣義」量詞。廣義量詞是與標準一階量詞很像的如「大多數」、「可數無窮多的」等這種量詞，表示第二層次的形式運算元，與一階(個體)變元連起來使用。廣義的邏輯框架中的工作在模型論和抽象邏輯中得到了重要的結果，包括林斯特龍(LindstrSm，1974)對標準一階邏輯所作的影響深遠的刻畫、標準一階邏輯並不是最強的完備邏輯的證明(Keisler，1970)、有窮模型和無窮模型中廣義量詞的研究(cf．BarwiseandFeferman，1985；V萏苴nanen，1997；2004)。它在語言學和語義學中也有重要的結果(cf．PetersandWesterstgthl，2006)。

我們制訂邏輯基礎的下一步將要考慮的是形式的實在性、用來研究它的那個學科以及邏輯和數學在它之中的共同基礎。

(四)邏輯的結構主義基礎及其與數學的聯繫

如果我們的理論是對的，那麼邏輯就建基在那些支配對象(性質、關係、函數、事件或情境狀態)行為的形式法則之中，不管這些對象是實際的還是形式上可能的。基於這些原則之上的恰當的邏輯理論需要形式結構的背景理論的資源。這個理論將確定對象的全體形式上可能的結構(結構／模型的基礎)、對象的全體形式特徵(邏輯常項的基礎)以及支配對象的形式特徵和形式上可能的結構的普遍法則(邏輯法則的基礎和邏輯後承的基礎)。具有基礎主義傾向從而禁止任何循環的傳統哲學並不允許邏輯以這種方式和其他理論聯繫起來，基礎整體主義則不然。問題出來了：我們知識系統中的哪個理論充任了或至少可以充任邏輯的形式結構的背景理論這個角色?

不過，在回答這個問題之前，我們需要考慮一個更為基本的問題。對於任何一個理論來說，為了研究支配(實際的和潛在的)對象的形式特徵的法則，對象(包括實際對象)必須具有形式特徵。所以，我們的第一個問題關係到形式的實在性。有的哲學家、尤其是極端唯名論者，質疑形式的實在性，而且這個問題在數學哲學文獻中也被廣泛爭議。我在這裡無法對這個問題的各種觀點進行研究，而是為形式的實在性提供一個基本的、相當常識性的論證。我的工作比其他哲學家(在客觀意義上)對形式的實在性所作的辯護更為簡單，其中一個方面是我不必對形式個體的存在性進行辯護。它可以從我們對形式性所作的刻畫(的一般性表述以及數學表述)中作為推論得到：

(FI)不存在形式個體。

為了明白其原因，我們嘗試把形式性應用到個體。首先，我們知道形式性並不能直接應用到個體。因為個體沒有主目，它們不能根據它們考慮(和不考慮)的主目的什麼特徵而被區分開來。所以，形式性標準並不支持任何個體的形式性。其次，我們通過驗證個體的相等是否是同構不變的、從而間接地使用這一標準來驗證個體的形式性的時候，這個標準給出了一個否定性結果：給定任意的個體c和結構，存在一個結構使得但C』≠c。

根據如下意義：如果帶有某個個體的結構同構於另外一個結構，那麼這個相同的個體出現在二者之中。

(i)看待這個間接驗證的另外一個方式是當作驗證一元的第一層次性質「等於C」是否是形式的，其中c是固定的個體。很明顯，它不是。(ii)注意，(FI)也可以從我們對形式性的非技術性刻畫中得出。(iii)就形式性的數學標準而言，這個結果並不依賴於它在本文中的特殊表述。(c￡Lindstrtim，1966；Tarski，1986)

所以，為了把邏輯建基於(我們意義上的)形式之中，需要確立的是形式特徵的實在性而不是形式個體的存在性。下面我們會看到，這把我們推到了一個有趣的、與唯名論者面對面的位置：關於個體的唯名論者可以接受我們把邏輯基礎解釋成是建基於實在的形式特徵或支配這些特徵的法則之中。

至此為止，我們只是假設了實在具有形式特徵。但是，它真的具有這些特徵嗎?為了對形式特徵的實在性進行辯護，假設它們不是實在的。那麼這個假設是什麼意思呢?考慮到我們對形式性的理解[第二(二)節]，它意味著世界中的對象既不與它們自身相等也不與任何其他對象有所不同、對象的聚合沒有大小、對象的性質並不構成並和交、對象的關係並不顯示出形式模式(如沒有關係是自反的、對稱的或傳遞的)，如此等等。但是這些斷言非常不合理。以我最近組織的研究生討論班中的學生為例。很難否認：學生和我都是實在的，每個學生都相等於他／她自身並且不等於我，學生和我構成了一個具有確定基數的個體聚合，作為學生和作為教授的這些性質具有一個並和一個交，學生都處於「x與y參加同一個討論班」這一自反、對稱和非傳遞的關係之中，如此等等。所以，如果我的學生和我都是實在的，並且如果我們具有上面提到的第一層次的性質和關係，而這些性質和關係又都具有上面提到的第二層次的性質，那麼世界中的對象確實具有形式特徵並且這些性質都是實在的。

但是，如果形式特徵都是實在的，那麼它們和對象的其他性質一樣都潛在地顯示了規律性且由法則所支配。人們有充分的理由相信，相等、基數、交、並、自反性、傳遞性、對稱性等等並不是不規則的或無規律的。所以，對於個體，即使你一開始是一個唯名論者，你也很難否定說：你所支持的個體具有形式特徵(自我相等)，它們的性質和關係具有形式品質(基數性)且處於形式布局(並)之中，這些形式品質和布局顯示了某些規律性且被某些法則(同一律、基數法則、並的法則)所支配，如此等等。形式(theforma1)的理論研究的正是這些形式法則。

那麼，哪個理論研究形式?最自然的回答是：數學。當然，有人可能會拒絕這一回答。他們可能會說，數學純粹是規約的，或者說，它太普遍太抽象從而無法與世界銜接，或者說，只有應用數學才和世界(或其他類似的東西)有關。

首先我要說的是，問題並不在於是否所有的數學都從事於形式研究，甚或是否有的數學理論專門地從事於這一研究。數學是一個範圍寬廣的、多樣化的學科，具有多種多樣的目標和興趣。問題在於，數學所做的重要事情之一是否是(在我們的意義上)為形式提供一個理論。對這個問題所作的否定性回答毫無意義。如果世界中的事物及其性質都具有形式特徵，比如說如果對象的性質具有基數性特徵並且這些特徵由某些法則所支配，而數學家卻依然專門研究其他那些由完全不同於支配實在的基數的法則所支配的「不實在的」基數，這將是非常奇怪的事情。

這裡依然無需承諾有爭議的實體就可能表達這一點。

接下來，我們來看前面提到的異議中的最後兩個。(由於普遍認為數學規約主義與邏輯規約主義一樣都是不恰當的，這裡不再對其進行討論。)一旦認可了實在的形式層面的存在性並且意識到它的法則的強大模態力量和極大普遍性，我們就會明白，數學並不是太普遍或太抽象從而無法與這些法則銜接，另外，「純」數學也一定關注它們，而不僅僅是應用數學才一定如此。這是因為，以精確的方式、完全普遍性地對具有高度必然性的普遍法則作出解釋，需要一個高度抽象的普遍理論——針對形式法則的、近似於「純」數學的東西。例如，為了完全普遍性地陳述有窮基數的法則，我們需要與無窮集合類似的東西。而一旦無窮集合被引入，為了完全普遍性地陳述支配集合和冪集之間的基數關係(或它表示的性質和冪性質之間的關係)的法則，我們需要像完整的康托爾定理那樣普遍、抽象的東西。

現在，給定研究這些法則的數學理論的存在性，可以合理地認為，不管是原來就為這一目的而建造好的還是刻意追求的，它們都能夠充當邏輯的形式結構的背景理論。

確定了邏輯與數學之間的基本關係——邏輯建基於形式之中而形式由數學研究，隨後我們便可以考慮費弗曼的斷言：我們關於邏輯性的標準等於「把邏輯吸收到了數學中」。細查我們關於邏輯性的一般描述及其精確表述就可以證明，如果費弗曼說的「吸收」指的是「等同」，那麼這個斷言是錯誤的：根據我們的解釋，邏輯和數學處於一種系統的和富有成效的相互關係之中，而不是相互等同於對方。它們至少在兩個重要事情上是不同的：(i)主題；(ii)它們對象的形式性。第一個區別是直截了當的：雖然邏輯也涉及到世界，但是它通過語言來處理它。它的直接主題是語言學上的(句子、推演、理論)，而數學的直接主題是客觀的(對象和對象結構)。第二個區別更為微妙：邏輯性的不變性標準的一個重要結果是[如塔爾斯基(Tarski，1986)提到的]，經典數學概念解釋為較高層次概念的時候都是邏輯概念，解釋為較低層次概念的時候都是非邏輯概念。尤其是，數學個體及其許多第一層次的數學性質並不滿足這個標準的形式性部分，但是它們的較高層次的相關者卻滿足。所以，作為個體基數，2和N都不是形式的(邏輯的)，但作為量詞基數(第二層次實體)它們又都是形式的；作為個體之間的關係，屬於關係(∈)不是形式的，但作為較低層次實體和較高層次實體之間的關係(例如在「a屬於B」中，其中a是第0層次對象、B是第一層次對象)，它又是形式的。塔爾斯基斷定說，我們是否把數學當做邏輯，這是一件隨意的事情，但是我認為他錯了。邏輯和數學之間存在一個系統的工作分工，數學個體及其較高層次相關者之間在形式性方面的不同是這一分工的一部分：數學(很大程度上)通過數學個體及其性質(嚴格地說它們不是形式的)來研究形式，而邏輯使用形式運算元(很大程度上它們都是較低層次數學對象的較高層次相關者)來為有效的推理和推演開發方法。

現在，有人或許會問，在研究形式的時候，為什麼數學通常使用較低層級的(或一階)理論。如果形式(主要地)駐留在性質的性質這個層次，那麼為什麼數學卻在個體及其性質這個層次上研究它?例如，基數作為第二層次的性質，為什麼數學卻是通過皮亞諾算術、ZFC等一階理論(這些理論把基數解釋為個體)來研究它們?這樣的理論可以為形式提供精確的知識嗎?

最後一個問題的回答是肯定的：雖然一階數學理論不能直接為形式提供精確知識，它們卻可以間接地做到這一點。至於那個「為什麼」的問題，回答它的關鍵之處在於以下觀察：理論之為理論乃是心靈的創造物，心靈越是複雜精細，它就越適合於(也能夠)對實在提出間接但富有成效的正確解釋。就功能方面來說，也很容易看到這種間接研究可能具有什麼樣的優勢。假設我們人類對個體系統比對較高層次對象的系統能更好地操控，也就是說，出於各種原因，與較低層次概念打交道的時候，我們更能勝任於規律的發現並把它們系統化。那麼，在那一層次研究形式對我們是有利的。通過為實在或者我們希望研究的部5Y／方面(在「模型」通常的意義下)構造一個第一層次的模型，我們就可以做到這一點。例如，我們可以創建一個一階算術理論，它將通過(較高層次的)基數法則的第一層次相關者來研究這些法則，從而為這些法則提供一個間接的說明。一階算術(如果正確的話)由此就以一種系統的方式與實在聯繫起來，但是它與實在的聯繫是間接的。在適用於實在方面，與第一層次現象的準確的一階理論相比，較高層次現象的準確的一階數學理論反而沒有那麼直接，但是它們對實在的適用卻是一樣的。

我們可以通過直接和間接(或簡單和複合)指稱來形象地表示出與實在的直接聯繫和間接聯繫之間的區別(使用數字上標是為了區分語言學的／本體論的元素類型，不同種類的箭頭是為了區分不同的指稱關係和這些關係的組成成分)：

在我們的數學真理觀和有些虛構主義者(of．Field，1989)的數學真理觀之間，可以辨識出一些相似之處，尤其是二者都把數學個體看成是(某種)虛構物。當然也存在著非常顯著的區別：根據虛構主義者的解釋，實在沒有真正形式的特徵，而根據我們現在的解釋則不然；對虛構主義者來說，一階算術定理都是假的，而對我們來說則為真；在虛構主義者看來，應用算術的定理都是物理真理的保守擴張，而我們則認為它們是形式真理的應用。我們可以說，如果你知道如何把它們與實在聯繫起來，一階數學的法則都沒有說謊......

但是，如果數學是通過一階理論間接地研究形式，那麼問題就出來了：精確地說，形式在哪裡進入到了(一階)數學理論?我的回答是：憑藉結構。一階數學理論通過研究數學結構來研究形式。數字個體不是形式的，但數字結構即數字個體的結構是形式的。這對集合論結構同樣成立：集合作為個體不是形式的，但集合論結構是形式的。數學結構的形式性的標誌與邏輯運算元的形式性的標誌是一樣的：同構不變性。數學結構在同構下保持其數學上的相等。在數學結構和形式運算元這兩種情形之中，我們都可以說，相等是不計同構的相等。不管它們的論域是否由同樣一些個體組成，自然數的兩個同構系統(作為自然數系統)是相等的。在這種意義上，數學系統和邏輯運算元一樣都不能辨別個體的相等。數學通過結構的一個本體來研究形式，其中，結構中的個體通過它們在結構中的作用來表徵對象的形式特徵，支配這些結構的法則是支配對象的形式特徵的法則的數學表徵。

霍茲是這一解釋的先導。(Hodes，1984)感謝S．夏皮羅(StewartShapiro)為我指出這一點。

很容易看到，根據我們的解釋，數學的形式性與其結構主義數學哲學意義上的結構性具有某些明顯的相似性。這一相似性反映在諸如同構對於二者的核心性。它在數學結構主義中的核心性可以在以下引自夏皮羅的論述中清楚地看到：

不管如何表述，結構主義都依賴於兩個系統例示了「相同」結構這個概念。這就是關鍵所在。......我們需要明確地表述出系統之間相當於「具有相同結構」這樣一個關係。

有幾個關係可以做到這一點。......第一個是同構，一個普通的(和值得尊敬的)數學概念。兩個系統是同構的，僅當存在一個一一對應把一個系統的對象和關係對應到另外一個系統的對象和關係並且保持這些關係。??直觀地說，這就是有時候會說的同構「保持結構」。(Shapiro，1997：9O__91)

甚至那些並不認為同構等同於結構相等的人也認為它對結構主義來說是非常核心的。例如，雷斯尼克(Resnik，1997)認為，數學結構表徵了具有各種性質且處於各種關係之中的事物的模式，同構則表徵了結構的全等，而在所有「出現於模式之間的等價關係」中「全等是最強的」(Resnik，209)。根據我們的解釋，形式和結構之間的密切聯繫還是邏輯和數學之間聯繫的另外一個方面。數學個體通過它們在結構中的作用而表徵了(第二層次的)形式性質，在這些結構中支配它們的法則表徵了構成邏輯基礎的形式法則。

19世紀末2O世紀初那些偉大的基礎性系統描繪出了邏輯和數學之間緊密的聯繫。為了給數學尋找一個(堅實的)基礎，邏輯主義把數學建基於邏輯之中，直覺主義把數學和邏輯都建基於心智構造之中，(證明論的)形式主義則旨在把二者建基於句法之中。當前的方案在兩個方面有別於這些傳統進路：(i)把焦點轉移到了邏輯的基礎；(ii)把傳統的基礎主義方法論換成了新的、整體主義(但仍是基礎性的)方法論。但是，我們並沒有放棄舊有的邏輯一數學聯繫，而是把我們拉回到了這一聯繫，只不過現在有了新的理解。

在方法論上，邏輯和數學的共同解釋比各自獨立的解釋具有明顯的優勢：它把兩個哲學謎團——邏輯的本質和數學的本質歸約為一個，我們需要負擔的只有一個基礎任務而不是兩個。共同解釋可以有幾種形式，其中的三種為：(i)邏輯主義：把數學歸約為邏輯；(ii)數學主義：把邏輯歸約為數學；(iii)第三種成分：把邏輯和數學都建基於一個第三種成分——在我們的情況中稱為結構或形式——之中(我們可以稱此為「邏輯一數學結構主義」)。我們可以扼要地比較這三種選項：

邏輯主義：邏輯主義家世顯赫、家喻戶曉、文獻眾多、革新不斷，但是，即使具有這些優勢，從適合作為邏輯的基礎這個觀點來看，它還是非常成問題的。邏輯主義用邏輯來解釋數學並以之為數學的基礎，但是它卻未對邏輯本身進行解釋和提供基礎。有的哲學家試圖把數學的邏輯主義基礎與邏輯的規約主義基礎配成一對，但我們在前面已經看到，邏輯規約主義也是非常成問題的。就我所知，到目前為止，邏輯在邏輯主義內部還沒有恰當的基礎。

句子各部分的順序有所調整。

數學主義：數學主義具有邏輯主義同樣的方法論優勢(雖然沒有顯赫的家世和眾多的文獻)，而且因為對數學所作的幾種實質性說明(如數學柏拉圖主義、數學自然主義和數學結構主義)都沒有把主要解釋擔子壓在邏輯肩上，對於共同基礎可能具有更好的前景。但是我也不知道對共同的數學主義基礎有任何成熟的(更不必說成功的)嘗試。在對數學的非邏輯主義解釋中，我認為結構主義最有希望，但是我更願意把它歸人到「第三種成分」這個範疇之中。

邏輯一數學結構主義：第三種方案為了給邏輯和數學塑造一個共同的基礎而立足於第三種事物，它以相互聯繫但又與眾不同的多種方式為二者提供基礎。我們的方案就屬於這一範疇，把數學和邏輯都建基於同樣的事物之中：(客觀意義上的)形式或結構。根據這個說明，邏輯和數學的結構性在於它們只辨別形式模式：數學中對象的形式模式和邏輯中語言表達式的形式模式。後者構成邏輯真理和邏輯推演的基礎，其本身又(以一種複合方式)建基於支配前者的法則之中。

除了形式性和結構性之間的聯繫之外，我們對邏輯所作的「形式主義」解釋和數學的結構主義解釋之間還有其他一些相似點，其中三個如下：(i)實在論傾向[如雷斯尼克(Resnik，1997)和夏皮羅(Shapiro，1997)]；(ii)拒絕基礎主義、認可整體主義(如雷斯尼克和夏皮羅)；(iii)把強大的模態力量歸因於數學／邏輯法則[如赫爾曼(Hellman，1989)]。然而，把數學結構主義擴展到邏輯、或者說邏輯和數學擁有共同的結構主義基礎，這個想法並沒有得到數學結構主義者的徹底審視。出於這個原因，也出於數學結構主義者之間的觀點存在相當大的變化的原因，我們此時此刻暫不考慮(我們的)「邏輯形式主義」和數學結構主義之間的聯繫，而是繼續討論邏輯與數學之間與這一聯繫無關的相互關係。

根據我們的解釋，邏輯和數學之間的相互作用是一個連續的過程，對兩個學科都是不可或缺的：數學為邏輯提供關於形式結構的背景理論，邏輯為數學提供(形式結構以及其他可能事物的)理論發展的推演框架。功能上，我們可以把這個過程描述為分階段進行：從研究補、並、交、包含等非常基本的形式運算的基本邏輯一數學開始，我們為發展一個簡單的(類似於句子邏輯或三段論的)邏輯系統創建資源。這個邏輯幫助我們建立起一個更為成熟的數學。然後，受這個數學中出現的方法論問題(如公理化問題)的促進以及對其資源(如集合論資源)的某些運用，我們發展出一個更為強大而系統的(類似於帶標準邏輯常項的公理化的一階邏輯的)邏輯系統。接著，把這個系統用作數學的框架，我們為數學理論建立起嚴密的公理系統(如算術和歐氏幾何)、為形式結構建立起嚴密的普遍理論(如公理集合論)。運用這個成熟的理論，我們可以進一步建立起一個系統的邏輯後承定義(如塔爾斯基定義或模型論定義)和系統的邏輯性標準(如同構不變性標準)，以此為基礎，我們建立一個擴展的一階邏輯框架，如「廣義」一階邏輯(Mostowski，1957；Lindstrtim，1966；Keisler，1970)那樣的東西。這個擴展的邏輯可以使我們在將來發展出更為成熟的數學，如此等等。

除了提到的以外，知名的還有帕森斯(Parsons，2008)、千原(Chihara，1990)、雷克(Reck，2003)以及其他人。

我們即將完成我們的基礎大綱。我們已經詳細解釋了邏輯建基於實在這個論題，解釋了邏輯和數學之間與之一致的關係。最後我們簡單地討論三個相關的問題：邏輯的規範性、邏輯的特質以及邏輯中的錯誤和修正。

規範性。按照我們的解釋，邏輯的規範性源自於邏輯的真。有一種解釋認為，真不僅僅是一種陳述／理論的性質，還是一種認知價值，相當於實踐領域中的道義價值。按照威廉姆斯(Williams，2002)的說法，我們稱這種價值為「真實性(truthfulness)」；這裡，我們主要感興趣於認知真實性。認知真實性是倫理學和認識論交叉處的核心價值，每門維護這一價值的學科都是規範學科。由於與其他大多數學科一樣，邏輯的目的也在於真(反映在我們基礎研究中強調其正確性的東西)，所以它是一門規範學科。

真是認知規範性的核心來源、並且所有正確性學科因此在認知上都是規範的，這一觀點可以追溯到弗雷格：

任何斷定何物存在的法則都可以視為規定著人們的思考應該與之一致，因此，它在這一意義上是思維的法則。這對幾何學法則和物理學法則也同樣成立，正如對邏輯法則那樣。(Frege，1893：12)

麥克法蘭把這一觀點闡明如下：

在弗雷格看來，......它是所有[作為規範法則的]描述性法則的特徵。??考慮關於物理世界的「遊戲」(不僅僅是理解思想，還要對它們進行評價並決定支持哪一個)。??這個遊戲中的「運動」——判斷——可以評價為正確的還是不正確的。關於物理世界的判斷，如果它們與物理事實匹配，那麼，在此意義上它們就是正確的。所以，雖然物理定律是描述性定律——它們告訴我們的是這些物理事實(中的一些)——它們對從事于思考物理世界的「遊戲」的任何人都具有規範性後果：這樣的思考者不應該作出與它們不相容的判斷。的確，只要一個人的行為被認為是對物理世界作出判斷，它的正確性根據物理定律必須是可評估的。在這種意義上，物理定律為關於物理世界的思考行為提供了基本的(constitutive)規範。(MacFarlane，2002：367)

就邏輯來說，它的法則關心的是一種特殊類型的、出現在所有知識領域中的後承(真、一致性)，所以它的規範性力量包含了所有領域中的推導、斷定和理論化行為。用弗雷格的話說：

從[邏輯]（11）的法則[一般]可以推出關於斷定、思維、判斷、推演的規定。(Frege，1918：1)

弗雷格(和我們)對認知規範性的解釋中，一個與眾不同的方面是描述(thedescriptive)與規範(theprescriptive)之間的聯繫。麥克法蘭對此也有清楚的解釋：

（11）弗雷格說的是「從真之法則」，但對他來講，邏輯的法則都是真之法則。

弗雷格......說，邏輯和倫理學一樣可以稱為「規範科學」(Frege，1979：128)。因為即使邏輯法則在其內容上都[是描述的而]不是規範的，它們卻蘊涵著規範。??例如，[它們蘊涵]人們不應該同時相信一個命題及其否定。那麼，邏輯法則具有兩面性：它們在內容上都是描述的但又蘊涵著思想的規範。(MacFarlane，2002：36)

現在，根據我們的解釋和弗雷格的說明，雖然邏輯的規範性的來源與其他學科是一樣的，但這並不意味著邏輯規範性在其他方面也與它們一樣。我們已經注意到，邏輯的規範性比物理學的規範性涵蓋著更廣的範圍。我們也已經看到，它的規範性建基在不同類型的真之中，這種真與物理學的真不同，是一種形式的真。最後，我們可以看到，邏輯的規範性在某種意義上比其他學科的規範性更為強大、更為深刻而且更為顯明。邏輯規範性的這種顯明性來自邏輯的主題：邏輯直接而非間接地通過斷言、理論和推演的對象來處理它們，在這樣做的時候，它就以明確、直接的方式顯示了它的規範性。至於邏輯規範性的力量，則是長期以來就與邏輯相聯繫的特質之一，因此最好還是把這些特質放在一起來討論。

特質。邏輯在傳統上被刻畫成是形式的、高度普遍的、主題中立的、基礎的、模態上強大的、高度規範的、先天的、高度確定的和分析的。作為一個基礎整體主義者、一個相信既要把邏輯建基於心靈(或語言)之中也要把邏輯建基於實在之中的人，我拒絕把邏輯刻畫為分析的。但是，除了這一點以及對它的先天性稍作修正之外，我們的解釋肯定了邏輯所有的傳統特質。

按照我們的解釋，形式性是邏輯的關鍵特質，它的所有其他傳統特質都與此密切相關。塔爾斯基(Tarski，1986)指出了(我們意義上的)形式性和普遍性之間的聯繫。一個給定概念的不變性程度越高，它就越普遍；一個給定概念對其保持不變的那些轉換組成的類越大，它的不變性程度就越高。從這些原理可以得出，由於邏輯概念的不變性程度比物理學概念、生物學概念、心理學概念以及其他許多概念都更高，因而它們更為普遍。（12）現在考慮主題中立性：邏輯的形式性，即它比其他學科具有更高的不變性程度這個事實，確保它抽象化了(不關心、不注意)它們與眾不同的主題。所以，邏輯可以應用於其他學科而不管它們的「主題」：即邏輯是主題中立的。如果它在一門科學中起作用，那麼它就在所有科學中起作用。邏輯的形式性即強不變性也意味著邏輯並不區分物理上(普通地)可能的和物理上不可能但形式上可能的對象和情境，物理學則相反。所以，與物理法則相比，邏輯法則在更廣泛的可能空間中成立：邏輯法則在物理上不可能但形式上可能的事件狀態中成立，而物理法則卻不成立。這意味著邏輯具體特彆強大的模態力量。

此外，由於形式法則(並且因此邏輯法則)的範圍真包含普通法則的範圍，所以，自然科學和社會科學必須考慮到、而且確實遵從了邏輯法則，而不是反過來。在這種意義上，邏輯比這些學科更基礎。現在，這種基礎性反映在邏輯的強規範性力量之中。自然科學和社會科學服從邏輯的權威而不是相反，從這一事實可以得出，邏輯具有更強大的規範力量。考慮邏輯的可靠性之前，我們首先要注意的是，邏輯是在一種特定意義上高度可靠的。並不是人們在應用邏輯法則時不太可能出錯，而是與其他法則相比，邏輯法則最不可能被科學發現所駁倒。這裡並不是說，邏輯對發現完全免疫(想想羅素在弗雷格邏輯中對悖論的發現)、或者對其他學科(知識領域的相互關聯性)的發現完全免疫；這裡的意思是，邏輯比其他科學更不易受到新結果的衝擊。原因依然與它的形式性或強不變性有關。形式運算元、因此邏輯運算元對實在的大多數方面都漠不關心；所以，涉及那些方面的研究相對不太可能產生新的形式結構理論來破壞我們當前的邏輯。

（12）為簡明起見，我只比較了邏輯的特質與物理學的特質。

傳統上，邏輯都被刻畫成先天的，這一點常常由邏輯的強大模態力量和／或其分析性來解釋。我認同的是邏輯具有強大的模態力量這個觀點，但並不認為這需要絕對的先天性。絕對先天I生範疇在基礎主義框架中有意義，但在整體主義框架中卻沒有。傳統的先天論要求對經驗的絕對獨立性，但是基礎整體主義只容許相對獨立性(儘管它確實容許相當大的獨立性)。根據本文建立的基礎整體主義，邏輯對經驗內容在很大程度是免疫的，但並不是完全免疫的。這也與其形式性有關，在方式上則與(前面所說的)相當大的可靠性大致相同。邏輯所考慮的對象的特徵由於太抽象而不能直接用經驗方法進行研究；所以，在獲取邏輯知識(形式知識)的時候，關於感性知覺的理性是優先考慮的事情。但是，很大程度上以理性為基礎並不意味著唯一地以理性為基礎。所以，邏輯是准先天的而非絕對先天的。

邏輯中的錯誤和修正。我們已經討論了邏輯的傳統特質並解釋了它的強規範性。但是，我們認為邏輯是准先天的，並且沒有達到絕對地可靠，這個觀點需要我們處理另外一個問題：邏輯中的錯誤和修正。首先我要提起注意的是，認為邏輯是一門正確性學科和認為邏輯對錯誤免疫，這二者不是同一個事情。像其他任何理論一樣，邏輯理論可以是錯誤的(包含錯誤)，但這不能取消它們作為正確性理論的資格。一個理論是正確性的，僅當它(i)以真為目標(其中真需要與實在有一個系統的聯繫)，(ii)使用真作為其作出判斷的核心標準，(iii)為驗證其作出的判斷的真提供實質性工具。根據我們的說明，邏輯滿足所有這些要求。有人可能認為，作為其強大模態力量的結果，邏輯對錯誤是免疫的。他們可能這樣推理，由於邏輯真理都是必然的——即必然地為真——它們不能為假。但是，其斷言具有強大模態力量的理論都是絕無錯誤的這個觀點完全錯了。邏輯法則的形式必然性並不蘊涵邏輯是絕無錯誤的，正如物理法則的普通必然性並不蘊涵物理法則是絕無錯誤的。牛頓定律和愛因斯坦定律在模態地位上並沒有不同，但是(根據現代物理學)它們的真理性是不同的。我們在對於自然法則的模態地位不會出錯的情況下，對於它們究竟是什麼卻可能會出錯。這對邏輯同樣成立。

邏輯中的錯誤有哪些可能的來源?一個潛在的來源是其形式結構的背景理論。如果支配性質和情境的形式布局的法則不同於我們當前作為背景的形式理論所說的，那麼在我們的邏輯中就可能有錯誤。這樣一些錯誤可以證明修正的正當性。另外一個潛在的錯誤來源是邏輯常項的選擇。如果我們選擇「高於」或「是人的一個屬性」作為邏輯常項，我們就會把實質後承錯認成邏輯後承，如果我們取消選擇存在量詞和全稱量詞作為邏輯常項，我們就會把邏輯後承錯認成實質後承。錯誤的第三個來源在於我們系統的構造之中。如果我們把模型構造成物理上可能的對象結構(而不是形式上可能的對象結構)，我們就會把物理法則錯認成邏輯法則。所有這些種類的錯誤都為邏輯的修正提供了可靠的理由。

邏輯中的另外一個修正可能是實用方面的：假設沒有正確性考慮因素會偏愛一個邏輯理論而不是另外一個，但實用或方法論考慮因素卻有偏愛；由此，作為整體主義者，我們可以審慎地使用這些考慮因素來推動修正。現在來看經驗。如果起作用的話，經驗可以對發現邏輯中的錯誤和推動邏輯的修正起什麼作用?雖然抽象的理論考慮因素比經驗的考慮因素在邏輯的修正中起著更大的作用，我們還是無法排除經驗上對「一個非常基本的性質」的發現可能對邏輯產生重大影響。沿著那樣一些思路，塔爾斯基在給莫頓·懷特的一封信中提出過一些東西：

邏輯公理都具有如此普遍的性質以至於它們很少被??特殊領域中的經驗所影響。但是，??我可以設想，一個非常基本的性質的某些新經驗可能使我們傾向於改變某些邏輯公理。量子力學中的一些新發展似乎明顯地指出了這種可能性。(Tarski，1987：31—_321

把私人信件中非正式地表述的觀點歸於一個作者需要非常小心；所以我只談我自己的想法。由於形式的強不變性，形式法則不是經驗方法直接可發現的。但是，經驗考慮因素和理論考慮因素的某些組合可能會顯示，有的形式結構理論優於另外一個，從而通過這一點顯示一個邏輯優於另外一個邏輯，這種可能性不能排除。由於邏輯的特殊本質，理論考慮因素總是比經驗考慮因素更有分量，但是我們也允許這樣一種可能性，即物理學中的問發現可能會超出它們本身而指向更為抽象的東西。尤其是，我們允許一個物理學中的問題指向物理學某個背景理論(包括它的形式背景理論和邏輯背景理論)中的問題這樣一種可能性。最後，我們不要忘記，不成功的實例、包括不成功的經驗實例，可以為抽象的法則造成挑戰(即使是一個可廢止的挑戰)。

但是，允許經驗在邏輯的修正中起著有限的作用並不能(像自然科學、社會科學中那樣)單獨地致使邏輯成為偶然的，強調這一點很重要。它也不會妨礙到它的強不變性。無論是出於純理論考慮因素還是部分地出於經驗的考慮因素，我們都可以把我們的邏輯理論替換為另外一個具有同樣強大的模態力量和同樣地不變的概念的邏輯理論。

邏輯的可修正性可以延伸到邏輯哲學，包括我們自己的基礎性解釋，這一點無須再說。已經接受修正方案的一個具體特徵是我們關於邏輯性的不變性標準。例如，費弗曼(Feferman，1999)提出把同構不變性替換成同態不變性；博奈(Bonnay，2008)和其他人則提出了其他的備選者。當然，這些提議需要進行嚴肅的討論，但是，我們的研究對這樣的修正所設置的哲學標杆具有相當的高度。特別是，並不是每一個邏輯性標準都有助於一個統一的、實質性的、理論的邏輯基礎。

至此結束了我們關於邏輯基礎的一個大綱。我希望，本文為設計出一個基礎方法論並用它為邏輯建立一個(即使還不完整的)實質性基礎所做的努力，將會鼓勵大家加人到這一研究當中來並把它拓展到數理邏輯之外。

參考文獻

Barwise，J．and S．Feferman eds．，1985，Model—Theoretic Logics，Springer-Verlag．

Bonnay，D．，2008，「Logicality and Invariance」，The Bulletin of Symbolic Logic，vo1．14

Chihara，C．，1990，Constructibility and Mathematical Existence，Oxford University Press．

我也許應該說明的是，在最近關於邏輯常項的研討會(ESSLLI 2011)上，費弗曼說他不再希望對其備

選的提議進行辯護，儘管他仍然堅守他對同構的異議。(費弗曼教授已於2016年7月26日去世。——譯者)

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2017年第6期

Feferman，S．，1999，「Logic，Logics，and Logicism」，Notre Dame Journal ofFormal Logic，vo1．40．

Feferman， S．．2000， 「Mathematical Intuition VS．Mathematical Monsters」，Synthese， vo1．125．

Feferman，S．，2010， 「Set—theoretical Invariance Criteria for Logicality」， Notre Dame Journal of Formal

Logic， vo1．51．

Field， H，， 1989， Realism ，Mathematics and Modality， Basil Blackwel1．

Frege，G．，1893， e Basic Laws of Arithmetic：Exposition of the System，T}1e University of California

Press，1964．

Frege，G．， 1918， Though~，Lo gical Investigations， Basil Blackwell， 1977．

Frege，G．， 1979， Posthumous Writings： Gottlob Frege， The University of Chicago Press．

G6mez—Torrente，M．，2002，「The Problem of Logical Constants」，The Bulletin ofSymbolic Logic，vo1．8．

Hanson， W ．H．， 1997， 「The Concept of Logical Consequence」，Philosophical Review，vo1．106．

Hellman， G．，1989，Mathematics without Numbers， Oxford University Press．

Hodes，H_，1984，「Logicism and the Ontological Commitments of Arithmetic」，Journal ofPhilosophy，vo1．81．

Keisler，H．J．，1970，「Logic with the Quantifier『There Exist Uncountably Many? ，Annals of Mathematical

Logic，vo1．1．

LindstrSm，P．，1966，「First Order Predicate Logic with Generalized Quantifiers」，Theoria，vo1．32．

LindstrSm ， P．， 1974， 「On Characterizing Elementary Lo gic」，Lo gical Theory and Semantic Analysis，D．Reidel，

Dordrecht．

MacFarlane，J．，2002， 「Frege，Kant，and the Logic in Logicism」，The Philosophical Review，vo1．1 1 1．

McGee，V．，1996，「Logical Operations」，Journal of Philosophical Logic，vo1．25．

Mostowski，A．，1957，「On a Generalization of Quantifiers」，Fundamenta Mathematicae，vo1．44．

Parsons，C．，2008，Mathematical Thought and Its Objects，Cambridge University Press．

Peters，S．and D．Westerstgthl，2006，Quantifiers in Language and Log／c，Oxford University Press．

Reck．，H ，20O3，「Structures and Structuralism in Contemporary Philosophy of Mathematics」，Synthese，vo1．137．

Resnik，D．，1997，Mathematics as a Science ofPatterns，Oxford University Press．

Shapiro，S．，1997，Philosophy of Mathematics，Oxford University Press．

Sher，G，，2001， 「The Formal—Structural View of Logical Consequence」，Philosophical Review，vol，l10．

Sher，G．，2003， 「A Characterization of Logical Constants／S Possible」，Theoria，vo1．1 8．

Tarski，A．，1986，「What Are Logical Notions"7．」，History and Philosophy ofLogic，vo1．7．

Tarski，A．，1987， 「A Philosophical Letter of Al~ed Tarski」，presented by M．White，Journal of

Philosophy，vo1．84．

Vaan~nen，J．，1997，「Generalized Quantifiers」，Bulletin of the European Association for Theoretical Computer

Scienc e，vo1．62．

Vaananen，J．，2004， 「Barwise：Abstract Model Theory and Generalized Quantifiers」， e Bulletin of Symbolic

Logic，vo1．10．

Williams，B．，2002，Truth and Truthfulness，Princeton University Press．

(Gila Sher， 「The Foundational Problem of Logic」，in The Bulletin ofSymbolic Logic，vo1．19，no．2，June 2013

譯者單位：中國社會科學院哲學研究所 責任編輯：魯旭東)

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