傅里葉變換就是這麼簡單，你學會了嗎?

不用任何數學公式

來解釋傅里葉變換

學習傅里葉變換需要面對大量的數學公式，數學功底較差的同學聽到傅里葉變換就頭疼。事實上，許多數學功底好的數字信號處理專業的同學也不一定理解傅里葉變換的真實含義，不能做到學以致用!

事實上，傅里葉變換的相關運算已經非常成熟，有現成函數可以調用。對於絕大部分只需用好傅里葉變換的同學，重要的不是去記那些枯燥的公式，而是解傅里葉變換的含義及意義。

本文試圖不用一個數學公式，採用較為通俗的語言深入淺出的闡述傅里葉變換的含義、意義及方法，希望大家可以更加親近傅里葉變換，用好傅里葉變換。

1

偉大的傅里葉、偉大的爭議！

1807年，39歲的法國數學家傅里葉於法國科學學會上展示了一篇論文(此時不能算髮表，該論文要到21年之後發表)，論文中有個在當時極具爭議的論斷：「任何連續周期信號可以由一組適當的正弦曲線組合而成」。

這篇論文，引起了法國另外兩位著名數學家拉普拉斯和拉格朗日的極度關注!

58歲的拉普拉斯贊成傅里葉的觀點。

71歲的拉格朗日(貌似現在的院士，不用退休)則反對，反對的理由是「正弦曲線無法組合成一個帶有稜角的信號」 。屈服於朗格朗日的威望，該論文直到朗格朗日去世後的第15年才得以發表。

之後的科學家證明：傅里葉和拉格朗日都是對的!

有限數量的正弦曲線的確無法組合成一個帶有稜角的信號，然而，無限數量的正弦曲線的組合從能量的角度可以非常無限逼近帶有稜角的信號。

2

傅里葉變換的定義

後人將傅里葉的論斷進行了擴展：滿足一定條件的函數可以表示成三角函數(正弦和/或餘弦函數)或者它們的積分的線性組合。如何得到這個線性組合呢?這就需要傅里葉變換。

一定條件是什麼呢?

這是數學家研究的問題，對於大多數搞電參量測量的工程師而言，不必關注這個問題，因為，電參量測量中遇到的周期信號，都滿足這個條件。

這樣，在電參量測量分析中，我們可以用更通俗的話來描述傅里葉變換：

任意周期信號可以分解為直流分量和一組不同幅值、頻率、相位的正弦波。分解的方法就是傅里葉變換。

並且，這些正弦波的頻率符合一個規律：是某個頻率的整數倍。這個頻率，就稱為基波頻率，而其它頻率稱為諧波頻率。如果諧波的頻率是基波頻率的N倍，就稱為N次諧波。直流分量的頻率為零，是基波頻率的零倍，也可稱零次諧波。

3

傅里葉變換的意義

1、為什麼要進行傅里葉變換呢?

傅里葉變換是描述信號的需要。

只要能反映信號的特徵，描述方法越簡單越好!

信號特徵可以用特徵值進行量化。

所謂特徵值，是指可以定量描述一個波形的某種特徵的數值。全面描述一個波形，可能需要多個特徵值。

比如說：正弦波可以用幅值和頻率兩個特徵值全面描述;方波可以用幅值、頻率和占空比三個特徵值全面描述(單個周期信號不考慮相位)。

上述特徵值，我們可以通過示波器觀測實時波形獲取，稱為時域分析法。事實上，許多人都習慣於時域分析法，想要了解一個信號時，一定會說：「讓我看看波形!」

可是，除了一些常見的規則信號，許多時候，給你波形看，你也看不明白!

複雜的不講，看看下面這個波形，能看出道道嗎?

我們能看到的僅僅是一個類似正弦波的波形，其幅值在按照一定的規律變化。

如何記載這個波形的信息呢?尤其是量化的記載!

很難!

事實上，上述波形採用傅里葉變換後，就是一個50Hz的正弦波上疊加一個40Hz的正弦波，兩者幅度不同，40Hz的幅度越大，波動幅度就越大，而波動的頻率就是兩者的差頻10Hz(三相非同步電動機疊頻溫升試驗時的電流波形)。

再看一個看似簡單的波形：

這個波形有點像正弦波，但是，比正弦波尖，俗稱「尖頂波」，多見於變壓器空載電流輸入波形。

我們很難準確定量其與正弦波的區別。

採用傅里葉變換後，得到下述頻譜(幅值譜)：

主要包括3、5、7、9次諧波，一目了然!

傅里葉變換是一種信號分析方法，讓我們對信號的構成和特點進行深入的、定量的研究。把信號通過頻譜的方式(包括幅值譜、相位譜和功率譜)進行準確的、定量的描述。

這就是傅里葉變換的主要目的。

現在，我們知道傅里葉變換的目的了， 剩下的問題是：

2、為什麼傅里葉變換要把信號分解為正弦波的組合，而不是方波或三角波?

其實，如果張三能夠證明， 任意信號可以分解為方波的組合，其分解的方法不妨稱為張三變換;李四能夠證明，任意信號可以分解為三角波的組合，其分解的方法也可以稱為李四變換。

傅里葉變換是一種信號分析的方法。既然是分析方法，其目的應該是把問題變得更簡單，而不是變得更複雜。傅里葉選擇了正弦波，沒有選擇方波或其它波形，正好是其偉大之處!

正弦波有個其它任何波形(恆定的直流波形除外)所不具備的特點：正弦波輸入至任何線性系統，出來的還是正弦波，改變的僅僅是幅值和相位，即：正弦波輸入至線性系統，不會產生新的頻率成分(非線性系統如變頻器，就會產生新的頻率成分，稱為諧波)。用單位幅值的不同頻率的正弦波輸入至某線性系統，記錄其輸出正弦波的幅值和頻率的關係，就得到該系統的幅頻特性，記錄輸出正弦波的相位和頻率的關係，就得到該系統的相頻特性。

線性系統是自動控制研究的主要對象，線性系統具備一個特點，多個正弦波疊加後輸入至一個系統，輸出是所有正弦波獨立輸入時對應輸出的疊加。

也就是說，我們只要研究正弦波的輸入輸出關係，就可以知道該系統對任意輸入信號的響應。

這就是傅里葉變換的最主要的意義!

4

如何求傅里葉變換?

文章開始就說了，具體求傅里葉變換，有成熟的函數可供調用。本文只講述如何理解傅里葉變換的思想。如果你掌握了這個思想，不用再記公式，也不用去調用什麼函數，自己編個簡單程序就可實現。就算你不會編程，只要你學過三角函數，至少可以理解傅里葉變換的過程。

傅里葉的偉大之處不在於如何進行傅里葉變換，而是在於給出了「任何連續周期信號可以由一組適當的正弦曲線組合而成」這一偉大的論斷。

知道了這一論斷，只要知道正弦函數的基本特性，變換並不難，不要記公式，你也能實現傅里葉變換!

正弦函數有一個特點，叫做正交性，所謂正交性，是指任意兩個不同頻率的正弦波的乘積，在兩者的公共周期內的積分等於零。

這是一個非常有用的特性，我們可以利用這個特性設計一個如下的檢波器(下稱檢波器A)：

檢波器A由一個乘法器和一個積分器構成，乘法器的一個輸入為已知頻率f的單位幅值正弦波(下稱標準正弦信號f)，另一個輸入為待變換的信號。檢波器A的輸出只與待變換信號中的頻率為f的正弦分量的幅值和相位有關。

待變換信號可能包含頻率為f的分量(下稱f分量)，也可能不包含f分量，總之，可能包含各種頻率分量。一句話，待變換信號是未知的，並且可能很複雜!

沒關係，我們先看看，待變換信號是否包含f分量。

因為其它頻率分量與標準正弦信號f的乘積的積分都等於零，檢波器A可以當它們不存在!經過檢波器A，輸出就只剩下與f分量有關的一個量，這個量等於待變換信號中f分量與標準正弦信號f的乘積的積分。

很容易得到的結論是：

如果輸出不等於零，就說明輸入信號包含f分量!

這個輸出是否就是f分量呢?

答案：不一定!

正弦波還有下述的特性：

相同頻率的正弦波，當相位差為90°時(正交)，在一個周期內的乘積的積分值等於零;當相位相同時，積分值達到最大，等於兩者的有效值的乘積，當相位相反時，積分值達到最小，等於兩者的有效值的乘積取反。

我們知道標準正弦信號f的初始相位為零，但是，我們不知道f分量的初始相位!如果f分量與標準正弦信號f的相位剛好差90°(或270°)，檢波器A輸出也等於零!為此，我們再設計一個檢波器B：

檢波器B與檢波器A的不同之處在於檢波器B用一個標準餘弦信號f(與標準正弦信號A相位差90°)替代濾波器A中的標準正弦信號f。如果待變換信號中包含f分量，檢波器A和檢波器B至少有一個輸出不等於零。

利用三角函數的基礎知識可以證明，不論f分量的初始相位如何，檢波器A和檢波器B輸出信號的幅值的方和根就等於f分量的幅值；而檢波器B和檢波器A的幅值的比值等於f分量初始相位的正切，如此如此……即可求出f分量的相位。

我們再把標準正弦信號f和標準餘弦信號f的頻率替換成我們關心的任意頻率，就可以得到輸入信號的各種頻率成分。如果知道輸入信號的頻率，把這個頻率作為基波頻率f0，用f0、2f0、3f0依次替代標準正弦信號f和標準餘弦信號f的頻率，就可以得到輸入信號的基波、2次諧波和3次諧波。

這就是傅里葉變換!

什麼?不會積分?

沒有關係，實際上，在諧波檢測儀、電能質量分析儀等各類電參量測量儀器中，現在用的都是基於交流採樣的離散傅里葉變換，在離散信號處理中，累加就是積分!

傅里葉變換就是這麼簡單，你學會了嗎?

-end-

本文由超級數學建模編輯整理

本文來源於電子工程專輯

https://mp.weixin.qq.com/s/u9mbQyi3DPnUEE9aVVZv5g

轉載請在公眾號中，回復「轉載」

-----這裡是數學思維的聚集地------

「超級數學建模」（微信號supermodeling），每天學一點小知識，輕鬆了解各種思維，做個好玩的理性派。50萬數學精英都在關注！

喜歡這篇文章嗎？立刻分享出去讓更多人知道吧！