從√2 談起

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摘自院士數學講座專輯《從√2 談起》第一章，張景中著，中國少年兒童出版社。

√2 是人類最早發現的無理數之一。早在公元前500年左右，人們就會證明√2是無理數了。

邊長為1的正方形，它的對角線的長是多少？

如果你已經學過勾股定理，馬上就能算出它的長度是（圖1-1）。

不用勾股定理，也能算出這個對角線的長。如圖1-2所示，正方形ABCD邊長為1，面積為1；而正方形BEFD的面積是ABCD面積的兩倍，也就是說BD2=2，於是BD=√2。

顯然，若正方形邊長為a，則對角線長為√2a，即對角線長是邊長的√2倍。

我們知道，記號√2代表這樣一個正數：x的平方等於2。換句話說，√2是二次方程式x2-2=0的正根，通常把它叫做2的算術平方根。

很明顯，√2不是整數。因為1的平方比2小，2的平方又比2大，所以√2應當在1和2之間。

在1和2之間，分數多的很，要多少有多少，而且是密密麻麻的擠在一起。那麼，其中有沒有這樣一個分數，它自乘之後恰巧等於2呢？看來似乎應當有。真的有嗎？那你找幾個試試看，你一定找不到——不是太大，就是太小。儘管能找到平方很接近2的分數，但要想恰巧等於2，是不可能的。

也許你會說，1和2之間既然有無窮多個分數，那就不可能一個一個地試。既然不能一個一個地試，又怎能斷定沒有一個分數，它的平方等於2呢？

這個問題，早在2000多年前就解決了。請看：

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【命題1】√2不是有理數。

證法一用反證法證明。先假設√2是有理數，如果從這一假設出發推出矛盾，便說明這個假設錯了，即√2不是有理數。

若√2是有理數。由於有理數只包含正負整數、正負分數和0，而√2>0，故必然有兩個正整數n，m，使

且n和m互質，即沒有大於1的公約數。

根據√2的定義，有

也就是

這個式子右端是偶數，故左端的n2 也是偶數，因而n是偶數。於是可設n=2k，代入(2)式得4k2=2m2，即2k2=m2。這推出m是偶數，說明n和m有大於1的公約數，與假設矛盾。

這個證明還可以說得更簡單些：不必假定n和m沒有大於1的公約數，直接觀察(2)式，它的右端所含2的因數有奇數個，而左端含2的因數又為偶數個，這就有了矛盾。

證法二仍用反證法證明。設，n和m都是正整數，且n和m沒有大於1的公約數。由(2)式

而在十進位下，整數的平方的個位數只能是0，1，4，5，6，9中之一，2倍之後只能是0，2，8之一。所以，(2)式左端的個位數字是0，1，4，5，6，9中之一，而右端個位數字是0，2，8中之一。也就是說，兩端的個位都是0，這說明n和m有公因數5，於是推出了矛盾。

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在數學中，反證法很有用，尤其是要證明一個數是無理數時，更少不了反證法。上面介紹的第一個證法，曾出現在2000多年前希臘幾何學家歐幾里得（公元前300年左右）所寫的《幾何原本》一書中。這說明早在2000多年前，人們就知道√2不是有理數，而且會用反證法來進行邏輯推理了。

《幾何原本》這部名著，是歐幾里得總結、整理了當時他所收集到的資料寫成的，並非他一人的研究成果。就拿「√2不是有理數」來說，這個事實是比歐幾里得更早一些的畢達哥拉斯（公元前500年左右）學派的人發現的。

畢達哥拉斯學派有一個基本觀點，叫做「萬物皆數」。在他們心目中，數就只有正整數，而且正整數也就是組成物質的基本粒子——原子。因此他們認為，一切量都可以用整數或整數的比來表示。他們覺得，一條線段就好比一串珍珠，這珍珠就是一個一個的點，不過又小又多罷了。按這種看法，兩條線段長度之比，就應當是它們各自包含的小「珍珠」的個數之比，當然應當是可以用整數之比來表示的了。

據說，畢達哥拉斯學派一個名叫希帕索斯的年輕人，第一個發現了正方形的邊和對角線之比不能用整數之比來表示。用現在的話說就是「√2不是有理數」。這個發現直接和畢達哥拉斯學派的錯誤信條「萬物皆數」相抵觸，使這個學派的許多人大為惶恐和惱怒。據說，希帕索斯在海船上向學派的其他成員講述這個發現時，遭到激烈反對。由於它堅持自己發現的真理，竟被拋入海中淹死了。

但是，真理是不會被永遠淹沒的。隨著數學的向前發展，無理數終於在人們心目中取得了合法地位，被廣泛應用於科學研究、技術推廣和人們的社會生活中。

順便提一下，用「√」來表示平方根，是解析幾何的創始人笛卡爾（1596年~1650年）於16世紀首先採用的。那時，√2已被發現了近2000年，不少數學家已開始承認像√2這類不能用分數表示的數了。

至於把整數和分數叫做「有理數」，據考證，倒是由於一開始翻譯時的訛誤。原來，「有理數」中的「有理」一詞，英文是Rational。這個詞本來有兩個含義：其一是「比」，其二是「合理」。照數學上的原意，分數可以表示成兩整數之比，把「有理數」叫做「比數」是很確切的。可是，日本學者在19世紀翻譯西方的數學書時，把這個詞譯成了「有理數」。日本語言中本來就有很多漢字。後來，在中日文化交流中，中國又從日本引進了「有理數」和「無理數」這兩個詞，一直用到現在，沒法改，也不必改了。

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