如何理解KL散度的不對稱性

眾所周知，多被用於量化分布間的差異的 KL 散度是不對稱的。今天我們來聊一聊，兩個分布的一對 KL 散度之間究竟有什麼不同。

為了討論這個知識點，我們需要掌握（或者暫且當做已知）的先決知識點有：

1 自信息：符合分布 P 的某一事件 x 出現，傳達這條信息所需的最少信息長度為自信息，表達為

2 熵：從分布 P 中隨機抽選一個事件，傳達這條信息所需的最優平均信息長度為香農熵，表達為

3 交叉熵：用分布 P 的最佳信息傳遞方式來傳達分布 Q 中隨機抽選的一個事件，所需的平均信息長度為交叉熵，表達為

4 KL 散度：用分布 P 的最佳信息傳遞方式來傳達分布 Q，比用分布 Q 自己的最佳信息傳遞方式來傳達分布 Q，平均多耗費的信息長度為 KL 散度，表達為 D_p(Q) 或 D_KL(Q||P)，KL 散度衡量了兩個分布之間的差異。

注意，如果表達成 D_p(Q) 形式，要傳達的信息所屬的分布在括弧內；如果表達成 D_KL(Q||P) 形式，要傳達的信息所屬的分布在前。

新增知識點：D_P(Q)與 D_Q(P) 有什麼不一樣？

公式 D_P(Q) 里一共涉及了兩個分布：

• 要傳達的信息來自哪個分布，答案是 Q

• 信息傳遞的方式由哪個分布決定，答案是 P

由 KL 散度的公式可知，分布 Q 里可能性越大的事件，對 D_P(Q) 影響力越大。如果想讓D_P(Q) 盡量小，就要優先關注分布 Q 里的常見事件（假設為 x），確保它們在分布 P 里不是特別罕見。

因為一旦事件 x 在分布 P 里罕見，意味著在設計分布 P 的信息傳遞方式時，沒有著重優化傳遞 x 的成本，傳達事件 x 所需的成本，log(1/P(x)) 會特別大。所以，當這一套傳遞方式被用於傳達分布 Q 的時候，我們會發現，傳達常見事件需要的成本特別大，整體成本也就特別大。

類似地，想讓 D_P(Q) 特別小，就要優先考慮分布 P 里那些常見的事件們了。這時，分布 Q 里的常見事件，就不再是我們的關注重點。

下面讓我們舉一個實際的例子，來自《Deep Learning》一書第 3 章。

假設存在一個真實分布 P，由兩個高斯分布混合而成，用藍線表示。

現在，在不知道分布 P 的信息的情況下，我們做出了一個常見的假設：假設數據符合高斯分布。

當我們嘗試用一個普通的高斯分布 Q 來近似分布 P，換言之，嘗試讓 Q 盡量「貼近」P 的時候，可以選擇的目標函數有：

選擇不同的目標函數，會產生完全不同的 Q。

如果我們選擇目標函數 1，結果會像左圖一樣。在優化過程中，重要的是分布 P 中的*常見事件*，也就是藍線的兩峰，我們要優先確保它們在分布 Q 里不是特別罕見（信息長度不是特別長）。由於分布 P 里有兩個峰值區域，分布 Q 無法偏向任何一個峰值，拉鋸的結果是，Q 選擇了橫亘在分布 P 兩個峰值中間。

如果我們選擇目標函數 2，結果會像右圖一樣，重要的是分布 P 中的*罕見事件*（信息長度特別長的那些事件），也就是藍線的谷底，我們優先確保它們在分布 Q 里不是特別常見。左圖裡那種，分布 Q 橫亘在分布 P 兩個峰值中間，是我們最不希望發生的、KL 散度格外大的情況。相反，只有一個峰值的分布 Q 最終會選擇貼合分布 P 兩個峰值區域中的任意一個。

最後，直覺上，因為 D_Q(P)=H_Q(P)-H(P)，其中多項式的第二項 H(P) 與分布 Q 完全無關，所以這時候，arg min D_Q(P) 等價於 arg min H_Q(P)。即，優化 KL 散度與優化交叉熵是等價的。但是，反過來的 D_P(Q)=H_P(Q)-H(Q) 就沒有這等好事了。

以上，就是，KL 散度如何衡量分布間的差異，以及不對稱的 KL 散度在衡量差異的時候會有什麼不同了。

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