《費馬大定理》之解謎的人

[英] 西蒙?辛格 著

三、《費馬大定理》之解謎的人（本文）

「從我孩提時第一次遇到費馬大定理以後，它就一直是我最大的興趣所在。」安德魯·懷爾斯回憶道，語調顯得有些躊躇，透露出他對這個問題的激情。

儘管他充滿熱情，每一次的計算卻總以失敗告終。經受了1年的失敗之後，他改變了策略：「在18世紀和19世紀中，許多數學家用過如此多的不同方法試圖解決它，作為一個十幾歲的少年，我應該先研究那些方法。」

數學的獨眼巨人

創建數學是一個充滿痛苦且極為神秘的歷程。通常證明的目標是清楚的，但是道路卻隱沒在濃霧之中。這樣的數學家中最著名的代表也許就是18世紀的天才萊昂哈德·歐拉，正是他首先對證明費馬大定理做出了突破性的工作。

歐拉最重要的成就之一是對理論計算方法的發展。歐拉的計算方法適合於處理那些看上去不可能解決的問題，這類問題之一是高精度地預報月球在未來長時間中的位相——這些資料可用於擬訂極其重要的航海表。牛頓已經證明，預測一個星球圍繞另一個星球運行的軌道是比較容易的，但月球繞地球運行，還有第三個星球——太陽，它會使地球的位置發生攝動。18世紀的數學家們還不能夠在他們的計算中對第三個星球的影響加以考慮。即使到今天，仍然不可能得到這個所謂的「三體問題」的精確解。

一個更為實在的、也適合歐拉異想天開的本性的問題與普魯士城市柯尼斯堡有關，這個城市建立在普雷格爾河邊上，由4個分離的、被7座橋連接起來的地區組成。有些好奇的居民想：是否可能設計一次旅行，穿越所有的7座橋卻無須重複走過任何一座橋？他們試了各種各樣的路線，但每一次都失敗了。歐拉成功地解釋了為什麼這樣的旅行是不可能的。

柯尼斯堡橋遊戲是應用數學中所謂的網路問題，歐拉發展了一個簡單但管用的策略，他證明這個公式對最基本的網路即單點網路是對的，然後他證明任何使這個網路複雜起來的操作將繼續保持這個公式的正確性。於是，這個公式對一切可能的網路都是對的。

當歐拉第一次碰到費馬大定理時，想必他曾希望過能採用類似的策略來解決它。費馬大定理和網路公式來自於數學中不同的領域，但是它們有一點是相同的，即它們敘述的都是關於無窮多個對象成立的某件事。

我們回想一下，費馬說下列方程沒有任何整數解：

x^n+y^n=z^n，其中n是任何大於2的整數。

這個方程代表了無窮多個方程：

歐拉想知道，是否他能先證明其中一個方程沒有解，然後再對其餘的方程推斷這個結果，就像他對所有的網路證明網路公式時從最簡單的情形（即單點網路）推廣到其餘情形那樣。

歐拉的計劃已經有一個良好的開端，因為他發現了隱藏在費馬草草寫下的註記中的一條線索。雖然費馬從未寫下過大定理的證明，但是他在那本《算術》書中別的地方描述了對特殊情況n=4的一個證明。

1753年8月4日，歐拉採用費馬的無窮遞降法成功地證明了n=3的情形。100多年來，這是第一次有人針對費馬的挑戰成功地取得了進展。

這是一個巨大的成就，但是很不走運，歐拉使其適用於其餘情形的努力以失敗告終。

假冒的「勒布朗先生」

到19世紀初，費馬大定理已經成為數論中最著名的問題。自從歐拉的突破性工作以來，還沒有進一步的進展，但是一個年輕的法國女性的激動人心的聲明又使尋找費馬的遺失的證明這件事再度活躍起來。

索菲·熱爾曼生活在一個充滿偏見和大男子主義的時代，為了從事她的研究工作，她不得不採用假身份，在與學術界隔絕的情形下工作。

在1794年，綜合工科學校在巴黎誕生了。它是作為為國家培養數學家和科學家的一所優秀學校而建立的。這本是熱爾曼發展她的數學才能的理想所在，可是它卻是一所只接受男性的學院。於是，她就冒名為一個男學生安托尼奧古斯特·勒布朗先生偷偷摸摸地在學校里學習。

75年以前，歐拉發表了他對n=3的情形的證明。此後，數學家們徒勞地試圖證明其他的一個個情形。然而，熱爾曼採用了一種新的策略，她向高斯描述了所謂的對這個問題的一般處理方法。

1825年，兩位年齡相差一代的數學家古斯塔夫·勒瑞納狄利克雷和阿德利昂瑪利埃·勒讓德的工作，使熱爾曼的方法第一次獲得完滿的成功。他們倆獨立地證明了n=5的情形不存在解，他們的證明是在索菲·熱爾曼的基礎上完成的，因而他們的成功要歸功於索菲·熱爾曼。

14年後，法國人做出了另一個突破性工作。加布里爾·拉梅對熱爾曼的方法作了一些進一步的、巧妙的補充，並證明了n=7的情形。

熱爾曼已經告訴數論家們怎樣去攻克完整的一批質數，現在，繼續一次證明費馬大定理的一個情形的任務則留給她的同行們去共同努力了。

要不是拿破崙，熱爾曼的貢獻可能被永遠歸之於神秘的勒布朗先生了。1806年拿破崙入侵普魯士，熱爾曼擔心落在阿基米德身上的命運也會奪走她的另一個崇拜對象高斯的生命，因此她寫了封信給她的朋友約瑟夫瑪利埃·帕尼提將軍，請求他保證高斯的安全，結果將軍對這位德國數學家給予了特別的照顧，並向他解釋是熱爾曼小姐挽救了他的生命，從而使熱爾曼的真實身份曝光。

野蠻的力迫法

隨著計算機的出現，費馬大定理的許多棘手的問題很快就被解決。二戰後，一組組的計算機科學家和數學家對於500以內，然後是1000以內，再是10000以內的n的值證明了費馬大定理。在20世紀80年代，伊利諾伊大學的薩繆爾·S.瓦格斯塔夫將範圍提高到25000，而最近數學家們已可以斷定費馬大定理對直到400萬為止的n的一切值都是對的。

雖然圈外人以為現代技術終於要戰勝費馬大定理了，可是數學界知道他們的成功僅僅是表面的，即使超級計算機花幾十年工夫對n的值一個接一個地加以證明，他們也永不能證明完直到無窮的每一個n的值，因而他們永遠不能宣稱證明了整個定理。單靠計算機的蠻力嘎吱嘎吱地碾過一個一個的數是不可能到達無窮的。

谷山志村猜想

1954年1月，東京大學的一位極具才智的年輕數學家像往常一樣走進圖書館，志村五郎是為了找一本《數學年刊》而來的。

使他驚愕和失望的是，這一卷已經被人借走了。借書者是谷山豐，志村的一個不太熟悉的校友。志村寫信給谷山解釋說他迫切地需要這本雜誌以完成那個難處理的計算，並客氣地問他什麼時候可以歸還這本雜誌。

幾天以後，谷山回信說他正在進行同一個計算，並且在邏輯上也在同一處卡住了。他建議他們互相交流一下想法，或許還可以在這個問題上合作。一本圖書館的書引發了他們的合作關係，這個合作將改變數學歷史發展的進程。

哈佛大學的巴里·梅休爾教授目睹了谷山志村猜想的產生。「這是一個神奇的猜想——推測每個橢圓方程伴隨著一個模形式——但是一開始它就被忽視了，因為它太超前於它的時代。一方面是橢圓世界，另一方面是模世界，這兩個數學分支都已被集中地但分別研究過。研究橢圓方程的數學家可能並不精通模世界中的知識，反過來也是這樣。谷山志村猜想出現了，這個重大的推測說，在這兩個完全不同的世界之間存在著一座橋。數學家們喜歡建造橋樑。」

認為每個橢圓方程相關於一個模形式的想法如此地異乎尋常，以致看過谷山的問題的人都認為它們只不過是想入非非而已。儘管谷山證明了幾個橢圓方程，但是按照持懷疑觀點的人的說法，谷山關於這兩者之間有更一般的和普遍的關係的主張似乎是很不現實的。

志村是谷山唯一的同盟者，他和谷山一起研究，志村需要找到更多的證據來支持存在於模世界和橢圓世界之間的這種聯繫。但這已永遠不能實現，1958年11月17日，谷山自殺身亡。

時至今日，志村仍然想不通隱藏在谷山自殺背後的原因是什麼。志村五郎在對谷山的悼文中回顧了谷山自殺前的那幾個星期：

1958年11月17日早上，他的住房的主管人發現他死在房間里，一封遺書放在書桌上。遺書寫在他做學術研究時一直使用的那種筆記本的三頁紙上。第一頁上寫著：

「直到昨天，我還沒有決心自殺。但是很多人想必注意到近來我無論在體力方面還是心智方面都十分疲乏。至於我自殺的原因，我自己都不十分清楚，但它絕不是由某件小事引起的，也不是出於特別的原因。我只能說，我陷入了對我的未來失去信心的心境之中。我的自殺可能會使某個人苦惱，甚至對其是某種程度的打擊。我衷心地希望這件小事不會使那個人的將來蒙上任何陰影。無論如何，我不能否認這是一種背叛的行為，但是請原諒我這最後一次按自己的方式採取的行動，因為我在整個一生中一直是以自己的方式行事的。」

就這樣，一位那個時候最傑出和最具開拓性的學者按照自己的意願結束了他的生命，就在五天前他剛滿31歲。

幾個星期後，又一個悲劇發生。他的未婚妻鈴木美佐子也結束了自己的生命，她留下一張紙條寫道：「我們曾彼此允諾，不管我們到哪裡我們將永不分開。既然他去了，我也必須和他在一起。」

遺失的鏈環

1984年秋，一群優秀的數論家聚集在一起參加在德國黑森林州的討論會，其中一位演說者——來自薩爾布呂肯的格哈德·弗賴雖然沒有對如何解決谷山志村猜想提供任何新的想法，但是他提出了引人注目的論斷，即如果能證明谷山志村猜想，那麼也能證明費馬大定理。

通過將費馬方程轉變為一個橢圓方程，弗賴將費馬大定理和谷山志村猜想聯繫了起來。弗賴的推理如下：

另一種選擇，也是更重要的，弗賴能夠反方向進行他的推理：

幾百年來第一次，世界上最堅硬的數學問題看起來變得脆弱了。

秘密的計算

起初，希望重又燃起，但接著事情的真相逐漸明朗。30年來數學家們一直試圖證明谷山志村猜想，但都失敗了。

安德魯·懷爾斯回憶說：「那是1986年夏末的一個傍晚，當時我正在一個朋友的家中啜飲著冰茶。談話問他隨意地告訴我，肯·里貝特已經證明了谷山志村猜想與費馬大定理之間的聯繫。我感到極大的震動。它意味著我童年的夢想現在成了體面的值得去做的事。」

懷爾斯放棄了所有的與證明費馬大定理沒有直接關係的工作，經過1年的仔細思考，懷爾斯決定採用稱為歸納法的一般方法作為他證明的基礎。歸納法證明基本上是一個兩步過程：

經過3年不間斷的努力，懷爾斯做出了一系列的突破性工作。他將伽羅瓦群應用於橢圓方程，他將橢圓方程拆解成無限多個項，然後他證明了每一個橢圓方程的第一項必定是模形式的第一項。他已經推倒了第一塊多米諾骨牌，現在正在鑽研可能會引起所有的多米諾骨牌倒塌的技巧。

懷爾斯描述了他怎樣試圖完成證明的最後一步：「5月末的一個早晨，內達和孩子們一起出去了，我坐在書桌旁思考著這剩下的一族橢圓方程。我隨意地看一下巴里·梅休爾的一篇論文，恰好其中有一句話引起了我的注意。它提到一個19世紀的構造，我突然意識到我應該能夠使用這個結構來使科利瓦金弗萊切方法也適用於這最後的一族橢圓方程。我一直工作到下午，忘記了吃午飯。到了下午三四點鐘的時候，我真正地確信這將解決最後剩下的問題，我走下樓去，內達非常驚奇我來得這麼遲，我告訴她——我已經解決了費馬大定理。」

世紀演講

經過7年的專心努力，懷爾斯完成了谷山志村猜想的證明。作為一個結果，經歷了30年對它的夢想，他也證明了費馬大定理。現在是將它向全世界公布的時候了。

數論方面最傑出的人物開始一個接一個地來到了牛頓研究所，經過7年的努力，懷爾斯準備向世界宣布他的證明了。

懷爾斯已經無法詳細地回憶起演講的最後時刻的情景，只能回想起當時的氣氛：「當我宣讀證明時，會場上保持著特別莊重的寂靜，然後當我寫完費馬大定理這個命題時，我說：『我想我就在這裡結束。』接著會場上爆發出一陣持久的鼓掌聲。」

一點小麻煩......

懷爾斯將他的手稿投交《數學發明》雜誌，該雜誌立即組織審稿工作。第三章的審查人尼克·凱茲對不清楚的地方隨時與安德魯交流，這些問題一直都是比較容易解決的，直到碰到一個似乎僅僅是又一個小問題的東西。

懷爾斯認為這個錯誤就像所有別的錯誤一樣淺顯簡單：「我無法立即解答這個看上去非常幼稚的問題。初看之下，它似乎與別的問題屬於同一級別的難度，但是後來我開始認識到這是一個重大的缺陷。它是如此地微妙，以致在這之前我完全忽略了它。這個錯誤很抽象，無法用簡單的術語真實地描述它，即使是向一個數學家作解釋，也需要這個數學家花兩三個月時間詳細地研究那部分原稿。」

只不過幾個星期以前，全球的報刊把懷爾斯譽為世界上最傑出的數學家，現在懷爾斯面對必須承認他犯了個錯誤的羞辱。懷爾斯的妻子目睹了他長達7年的已經貫注於原來的證明之中的努力，現在又得看著她丈夫與一個可能會毀壞一切的錯誤苦鬥。懷爾斯忘不了她的樂觀態度：「在9月份內達對我說，她唯一想要的生日禮物是一個正確的證明，她的生日在10月6日。要交出這個證明我只有2個星期的時間，我失敗了。」

差不多6個月過去了，而錯誤仍未改正，也沒有任何理由可以認為在未來的6個月中事情會有什麼變化。

在鬱悶中度過了1年之後，懷爾斯在1991年夏天發現了科利瓦金和弗萊切的方法。他放棄了岩沢理論而採用這個新的技術。第二年他在劍橋宣布了他的證明，他被稱頌為一位英雄。不到2個月，科利瓦金弗萊切方法又被發現是有缺陷的，此後情況只是變得更壞，任何修改科利瓦金弗萊切方法的企圖都失敗了。

遲到的生日禮物

單靠岩沢理論不足以解決問題，單靠科利瓦金弗萊切方法也不足以解決問題，它們結合在一起卻可以完美地互相補足。這是懷爾斯永遠不會忘記的充滿靈感的瞬間，當他詳細敘述這些時刻時，記憶如潮澎湃，激動得淚水奪眶而出：「它真是無法形容地美，它又是多麼簡單和明確。我無法理解我怎麼會沒有發現它，足足有20多分鐘我呆望著它不敢相信。我無法控制自己，我太興奮了。這是我工作經歷中最重要的時刻。」

在下一個月里，懷爾斯已經能補償他去年未能兌現的允諾：「當時，內達的生日又快來臨，我記得上次我未能送給她她想要的禮物。這一次，在她生日晚宴後一會兒，我把完成了的手稿送給了她。我想她對那份禮物比我曾送給她的任何別的禮物更為喜歡。」

在懷爾斯經受嚴峻考驗的8年中，他實際上彙集了20世紀數論中所有的突破性工作，並把它們融合成一個萬能的證明。隨意翻到某一頁，上面可能是對德利涅的某個基本定理的簡明描述；再翻到另一頁，也許是赫勒古阿切的一個定理——所有這些內容都只被短暫地使用一下就繼續轉向下一個環節。」

通過谷山志村猜想，懷爾斯將橢圓曲線和模形式統一了起來，這種做法為數學提供了實現許多別的證明的捷徑——一個領域中的問題可以通過並行領域中的對應問題來解決。一直追溯到古希臘時代的經典的、未解決的橢圓問題，現在可以利用模形式中一切可利用的工具和技巧來重新探索。

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