數學界到底是如何確認公理的?
很多人,包括很多搞數學的人,都說數學的基礎是公理。平面幾何的基礎是歐幾里德的公理,定義自然數的是皮亞諾的五條公理,而現代數學的基礎則是策梅洛-弗蘭克公理體系加上選擇公理,起碼很多人是這樣說的。
但這種說法對么?
打個比方,要建一幢大樓,先要由設計師繪畫這幢大樓的設計圖,註明每一根柱子每一個窗戶的大小位置和材料,然後由建築工人一梁一柱慢慢建立起來,最後由裝修工人完成裝修。當大樓建好之後,我們能說大樓的基礎就是設計圖嗎?
對,也不對。的確,沒有設計圖建不起大樓,但要建一座教學樓,很多設計圖其實都能用。設計圖告訴我們樓應該怎麼建,但我們是根據要建什麼樓來選擇設計圖,而不是隨便抓一張設計圖,就說我們需要的就是這幢樓。
數學也是如此。
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我們建立公理體系,不是因為某個公理天然就是對的,而是因為我們需要用公理去刻畫某些東西。我們要研究自然數,我們覺得自然數應該擁有某些性質,所以我們將這些性質以邏輯的語言化為一個個命題,從中抽取那些我們認為刻畫了最本質特點的那些命題,將它們作為公理。
先有我們要研究的東西,再有公理。而不是先有公理,再研究它的延伸。沒有天然正確的公理,只有適合研究某個東西的公理。畢竟,我們研究數學,是研究抽象結構之間的關係,這些結構很多都從實際生活中抽象而來,或者是因應數學研究的需要而發展出來。我們研究的是這些結構本身,而公理只是我們刻畫這些結構的一種手段。如果反過來,認為公理才是對的,這反而是倒果為因,被單一的系統蒙蔽了雙眼。
是的,數學可以有很多種。公理只是我們刻畫數學結構的方法,理解了這一點之後,你看到的數學世界會變得更寬廣。不同的公理體系可以存在,只是它們刻畫的東西不一定相同。同一個東西,可以用不同的公理體系來刻畫。要推廣某個數學概念,只要稍稍放鬆刻畫它的公理體系,就可以了。公理體系並不是什麼不可動搖的基礎,而是我們編織數學詩篇時寫下的提綱,根據這個提綱,故事會根據邏輯自行發展,最終通過人的邏輯思維,導出公理體系指向的圖景。
公理體系並非不可動搖,所以我們當然可以選擇採用什麼公理體系。對於數學家來說,只要公理體系足以刻畫他們研究的數學對象,那就足夠了,採用哪一個其實無所謂。我們說平面幾何就是歐幾里德的公理,其實把一些公理換成等價的命題也未嘗不可,只是因為我們習慣了歐幾里德的提法。我們說定義自然數的是皮亞諾公理,同樣因為是皮亞諾第一個正確用公理刻畫了自然數,那就這樣用了。至於現代數學的基礎為什麼選取了策梅洛-弗蘭克公理體系加上選擇公理,純粹是因為這套公理足以讓大部分數學家能完成他們的工作,能在這套公理內表達他們研究的數學,所以就這樣了。
這就是數學研究的運作方式。選擇公理的歷史很好地說明了這一點。一開始,巴拿赫和塔斯基證明了,如果承認選擇公理的話,就可以將一個球切成幾塊非常奇怪的形狀(實際上是一堆很勉強才說得上連起來的點),然後重新拼合,得到兩個跟原來一模一樣的球。這又叫巴拿赫-塔斯基分球定理。但後來人們發現,如果不承認選擇公理,得到的結論會更奇怪,比如一個空間可以有兩個維度之類的,而且有很多之前的數學,不承認選擇公理的話根本表達不出來。所以人們還是接受了選擇公理。至於分球定理,實際上因為切成的形狀太奇怪,根本不能定義它的容積,所以現代數學家並不認為這是什麼大問題。
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你可能會覺得,選擇公理既然引起過這麼大的爭議,它一定是個很複雜很麻煩的公理吧?但其實它非常簡單,無非就是說,一堆非空集合,必定可以各自選出一個湊在一起,組成一個集合。僅此而已。但即使是這樣「明顯」的公理,數學家也要爭論一番,正是因為他們一開始不清楚,自己所做的數學是否被這個公理刻畫。
再說現代數學的基礎。實際上除了策梅洛-弗蘭克公理體系之外,還有幾個不同的公理體系,它們定義的東西有著確實的差異。但對於大部分數學家來說,他們研究的數學無論建基在哪個公理體系上都可以,所以很多數學家並不關心邏輯根基到底是什麼,他們只需要知道有一個穩固的根基,那就可以了。
荃者所以在魚,得魚而忘荃;蹄者所以在兔,得兔而忘蹄;言者所以在意,得意而忘言。
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