數學界到底是如何確認公理的？

知識 03-02

很多人，包括很多搞數學的人，都說數學的基礎是公理。平面幾何的基礎是歐幾里德的公理，定義自然數的是皮亞諾的五條公理，而現代數學的基礎則是策梅洛-弗蘭克公理體系加上選擇公理，起碼很多人是這樣說的。

但這種說法對么？

打個比方，要建一幢大樓，先要由設計師繪畫這幢大樓的設計圖，註明每一根柱子每一個窗戶的大小位置和材料，然後由建築工人一梁一柱慢慢建立起來，最後由裝修工人完成裝修。當大樓建好之後，我們能說大樓的基礎就是設計圖嗎？

對，也不對。的確，沒有設計圖建不起大樓，但要建一座教學樓，很多設計圖其實都能用。設計圖告訴我們樓應該怎麼建，但我們是根據要建什麼樓來選擇設計圖，而不是隨便抓一張設計圖，就說我們需要的就是這幢樓。

數學也是如此。

圖片來自pixabay

我們建立公理體系，不是因為某個公理天然就是對的，而是因為我們需要用公理去刻畫某些東西。我們要研究自然數，我們覺得自然數應該擁有某些性質，所以我們將這些性質以邏輯的語言化為一個個命題，從中抽取那些我們認為刻畫了最本質特點的那些命題，將它們作為公理。

先有我們要研究的東西，再有公理。而不是先有公理，再研究它的延伸。沒有天然正確的公理，只有適合研究某個東西的公理。畢竟，我們研究數學，是研究抽象結構之間的關係，這些結構很多都從實際生活中抽象而來，或者是因應數學研究的需要而發展出來。我們研究的是這些結構本身，而公理只是我們刻畫這些結構的一種手段。如果反過來，認為公理才是對的，這反而是倒果為因，被單一的系統蒙蔽了雙眼。

是的，數學可以有很多種。公理只是我們刻畫數學結構的方法，理解了這一點之後，你看到的數學世界會變得更寬廣。不同的公理體系可以存在，只是它們刻畫的東西不一定相同。同一個東西，可以用不同的公理體系來刻畫。要推廣某個數學概念，只要稍稍放鬆刻畫它的公理體系，就可以了。公理體系並不是什麼不可動搖的基礎，而是我們編織數學詩篇時寫下的提綱，根據這個提綱，故事會根據邏輯自行發展，最終通過人的邏輯思維，導出公理體系指向的圖景。

公理體系並非不可動搖，所以我們當然可以選擇採用什麼公理體系。對於數學家來說，只要公理體系足以刻畫他們研究的數學對象，那就足夠了，採用哪一個其實無所謂。我們說平面幾何就是歐幾里德的公理，其實把一些公理換成等價的命題也未嘗不可，只是因為我們習慣了歐幾里德的提法。我們說定義自然數的是皮亞諾公理，同樣因為是皮亞諾第一個正確用公理刻畫了自然數，那就這樣用了。至於現代數學的基礎為什麼選取了策梅洛-弗蘭克公理體系加上選擇公理，純粹是因為這套公理足以讓大部分數學家能完成他們的工作，能在這套公理內表達他們研究的數學，所以就這樣了。

這就是數學研究的運作方式。選擇公理的歷史很好地說明了這一點。一開始，巴拿赫和塔斯基證明了，如果承認選擇公理的話，就可以將一個球切成幾塊非常奇怪的形狀（實際上是一堆很勉強才說得上連起來的點），然後重新拼合，得到兩個跟原來一模一樣的球。這又叫巴拿赫-塔斯基分球定理。但後來人們發現，如果不承認選擇公理，得到的結論會更奇怪，比如一個空間可以有兩個維度之類的，而且有很多之前的數學，不承認選擇公理的話根本表達不出來。所以人們還是接受了選擇公理。至於分球定理，實際上因為切成的形狀太奇怪，根本不能定義它的容積，所以現代數學家並不認為這是什麼大問題。

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你可能會覺得，選擇公理既然引起過這麼大的爭議，它一定是個很複雜很麻煩的公理吧？但其實它非常簡單，無非就是說，一堆非空集合，必定可以各自選出一個湊在一起，組成一個集合。僅此而已。但即使是這樣「明顯」的公理，數學家也要爭論一番，正是因為他們一開始不清楚，自己所做的數學是否被這個公理刻畫。

再說現代數學的基礎。實際上除了策梅洛-弗蘭克公理體系之外，還有幾個不同的公理體系，它們定義的東西有著確實的差異。但對於大部分數學家來說，他們研究的數學無論建基在哪個公理體系上都可以，所以很多數學家並不關心邏輯根基到底是什麼，他們只需要知道有一個穩固的根基，那就可以了。

荃者所以在魚，得魚而忘荃；蹄者所以在兔，得兔而忘蹄；言者所以在意，得意而忘言。

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