10個讓你燒腦讓你暈的數學悖論！

我的腦子啊

轉呀轉

悖論是一種很有意思的邏輯遊戲，看完這10個經典悖論，你腦子還轉的過來嗎？

①二分法悖論

概述：運動是不可能的。你要到達終點，必須先到達全程的1/2處；要到達1/2處，必須先到1/4處……每當你想到達一個點，總有一個中點需要先到，因此你是永遠也到不了終點的。

古希臘哲學家芝諾（Zeno）提出了一系列關於運動不可分性的哲學悖論，二分法悖論就是其中之一。直到19世紀末，數學家們才為無限過程的問題給出了形式化的描述，類似於0.999……等於1的情境。

那麼我們究竟是如何到達目的地的呢？二分法悖論只是空谷傳音般放大了問題。若想妥善解決這個問題，還得靠物質、時間和空間是否無限可分等等這些20世紀的衍生理論。

腦洞：無限二分16寸芝士乳酪蛋糕卻不能吃的快感，你值得擁有。

②飛矢不動

概述：一根箭是不可能移動的。飛行過程中的任何瞬間，它都有一個暫時的位置，由此可知一枝動的箭是所有不動的集合。

芝諾又一著名悖論，他認為時間的單位是瞬間。事實上，運動不會發生在任何特定時刻，並不意味著運動不會發生。戰國時期的詭辯學代表人物惠施也曾說：「飛鳥之影，未嘗動也。」

「飛矢不動」實際上暗示了量子力學的觀點。以狹義相對論為背景，物體在靜止與運動時是不同的。根據相對論，對於以不同速度移動的物體，觀察者會產生不同感受，對周圍的世界也會持有不同看法。

腦洞：看到漂亮妞心動3秒，上去要電話慘遭拒絕。咳咳，飛矢不動，我沒心動。

③忒修斯之船

概述：如果忒修斯的船上的木頭被逐漸替換，直到所有的木頭都不是原來的木頭，這艘船還是原來的那艘船嗎？

基於同一性的古希臘著名悖論，引發了赫拉克利特、蘇格拉斯、柏拉圖等的各種討論。近代啟蒙運動中，英國的兩位大哲學家托馬斯·霍布斯（Thomas Hobbes）、約翰·洛克（John Locke）也曾嘗試解答這個問題。答案始終是是非非，難以一錘定音。

腦洞：人體細胞每七年更新一次，七年後，鏡子里是另一個你。

④托里拆利小號

概述：體積有限的物體，表面積卻可以無限。

17世紀的幾何悖論。義大利數學家托里拆利（Evangelista Torricelli）將y=1/x中x≥1的部分繞著x軸旋轉了一圈，得到了上面的小號狀圖形（註：上圖只顯示了一部分圖形）。然後他得出：這個小號的表面積無窮大，可體積卻是 π。

腦洞：原來也有平胸不一定能為國家省布料的時候。

⑤有趣數悖論

概述：1是非零的自然數，2是最小的質數，3是第一個奇質數，4是最小的合數等等；如果你找不到這個數字有趣的特徵，那它就是第一個不有趣的數字，這也很有趣。

於是，量子計算領域的研究猿納撒尼爾·約翰斯（Nathaniel

Johnston）把這些有趣的整數定義為一個整體，並將這些整體排成序列，像是質數、斐波那契數列、畢達哥拉斯數等。基於這個定義，約翰斯在2009年6月的博客里提出，第一個沒有出現在序列里的數字是11630。2013年11月序列更新之後，他表示14228是最小的無趣數。

腦洞：n只青蛙n張嘴，2n隻眼睛4n條腿，撲通n聲跳下水……你想起數列是個什麼鬼了嗎？

⑥球與花瓶

概述：假設無限個球和一個花瓶，現在要進行一系列操作，且每次操作都一樣：往花瓶里放10個球，然後取出1個球。那麼，無窮多次這樣的操作之後，花瓶里有多少個球呢？

答案千奇百怪。最直接的是無限個，也有數學家認為，每個球都會被取出來。邏輯學家詹姆斯·亨勒（James M. Henle）和托馬斯·泰馬祖科（Thomas Tymoczko）提出花瓶里的球最終可以是任意數目，甚至有具體的構造方法。

1976 年謝爾登·羅斯（Sheldon Ross）在他的《概率論第一課》（A First Course in Probability）介紹了這個問題，所以它被稱為「羅斯·利特爾伍德悖論」（Ross-Littlewood Paradox）。

腦洞：小學奧林匹克暗袋摸球概率題終極版。

⑦土豆悖論

概述：100克土豆含有99%的水，如果它被榨出了2%，還剩98%的水分，它將只重50克。即100克的土豆含有1克干物質（dry material），當還剩98%的水分時，1克將對應2%的含量，因此含98%水分的土豆重50克。

腦洞：理科生們笑到內傷。

⑧飲酒悖論

概述：酒吧里會發生這種情況：如果有人在喝酒，那麼每個人都在喝酒。乍看起來是一個人喝酒導致了所有人喝酒。實際上，如果酒吧里至少有一個人沒在喝酒，那麼按照數學中的實質條件（material
conditional），對那些沒喝酒的人來說，有些人在喝酒，這些人中的每個人都在喝酒，情況依然成立。

實質條件的示意圖如下：

「飲酒悖論」由於雷蒙德·斯穆里安（Raymond Smullyan）的書而出名，這本書的名字就叫《這本書叫什麼名字》（What Is the Name of this Book?）。

⑨理髮師悖論

概述：小城的理髮師放出豪言：「我只幫城裡所有不自己刮臉的人刮臉。」那麼問題來了，理髮師給自己刮臉么？如果他給自己刮臉，就違反了只幫不自己刮臉的人刮臉的承諾；如果他不給自己刮臉，就必須給自己刮臉，因為他的承諾說他只幫不自己刮臉的人刮臉。兩種假設都說不通。

赫赫有名的羅素悖論，由英國數學家勃蘭特·羅素教授於20世紀初提出。這條悖論證明了19世紀的集合論是有漏洞的，幾乎改變了數學界20世紀的研究方向。

腦洞：對於不刮鬍子的女理髮師不成立。

⑩祖父悖論

概述：如果你乘坐哆啦A夢的時光機，回到你爺爺奶奶相遇之前，殺死你的爺爺會發生什麼？如果殺死了你的爺爺，那麼你就從未誕生；如果你從未誕生，如何回到以前殺死你的爺爺？

祖父悖論看似杜絕了人為操縱命運的可能，過去無法改變，爺爺一定會在孫子的謀殺中倖存下來；還有種可能是，你進入了另一個平行宇宙，這是你從未生活過的世界，但你的爺爺奶奶卻也在這裡。

這個關於時間旅行的悖論源自羅伯特·海因萊因的短篇小說，近來又出現在諾蘭導演的《星際穿越》中。

腦洞：如果你重返二戰前，殺死希特勒，成功阻止了二戰的爆發。然而，如果沒有發生二戰，回去刺殺希特勒的理由是什麼？時間旅行本身就消除了旅行的目的，本身就在質疑本身。

本文由超級數學建模編輯整理

本文來源於數據與演算法之美

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