鞋帶怎麼系最好？物理學家也許有答案

知識 03-09

(譯/紅豬 )系鞋帶時，最常見的錯誤就是沒打成平結，而是不小心打了一個死結。現在有了物理學家的幫忙，你就能打出無論如何都不會鬆開的結了。

大家都知道繩結的強度取決於它的構造，但是沒有人理解這究竟是什麼原因。《物理學評論快報》(Physical Review Letters)刊登了一篇論文：一組物理學家向著解決這個謎團跨出了重要的一步。他們將這個問題歸納成了一條簡單的公式，並用它來預測一個簡單繩結的強度和形狀。

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繩結與物理學家之戰

繩結一向是數學家進行抽象研究的對象，但是在真實的世界裡模擬它們的物理性質，卻是出了名的困難，就算用計算機也不例外。麻省理工學院的機械工程專家哈利德·賈韋德（Khalid Jawed）向我們解釋說：「如果在打結後用肉眼觀察，你會發現繩子的扭曲和轉向（twists and turns）十分複雜。」其中有許多力在互相作用。一個數學模型必須解釋所有的扭曲和轉向，它要包含的變數有張力、摩擦力和材料強度，這材料可以是鞋帶、繩索、耳機線、尼龍繩、手術線，甚至是摺疊的蛋白質和DNA。

早在2008年，巴黎索邦大學的數學家巴西爾·奧多利（Basil Audoly）就自認為找到了這個問題的答案。他的模型能較好地描述只有一兩個「轉向」的簡單繩結。比如三葉結（trefoil knot），打結時先用繩子做一個圈，然後將一頭伸進圈裡扎牢。奧多利認為，把這個基本的模型擴展到超過兩個轉向的複雜繩結上，會是一件很簡單的事。

左邊一個普通單結（overhand knot）的末端連起來，就變成了右圖的三葉結。圖片來源：維基百科

但賈韋德和他在麻省理工的同事還是決定做幾個實驗、測試一下奧多利的理論。他們在實驗室的桌子上固定了一根鎳鈦絲，再用一條機械臂打結，同時測量轉向數目增加時拉緊結所需的力。結果很意外！他們發現隨著轉向的增加，打結所需要的力也大大增加了。

你或許以為，繩結每增加一個轉向，收緊繩結所需要的力只要增加一點點就行了；換句話說，繩結的轉向數目和強度之間是線性關係。但是麻省理工的團體卻發現，這個線性關係並不成立。如果你已經有了1個轉向，再想加上1個，你用來收緊繩結的力量就要增加4到8倍，也就是原來的平方或者立方。要打一個有10個轉向的複雜繩結，所需的力比打只有1個簡單扭曲的繩結要多出1000倍。

（a）中的「雙單結」（double overhand knot）有著2個轉向（n=2）。（b）（c）（d）中的結分別有著3、4、5個轉向。圖片來源：M. K. Jawed et al., Phys. Rev. Lett. (2015)

這個現象用耳機線就能演示，」賈韋德說，「把耳機線轉一個圈再收緊，很容易打一個結、使繩圈變小。可是如果你轉了五、六個圈，打結就會越來越難，到最後，耳機線將再也無法收緊。」

為什麼會這樣？說到底還是因為摩擦力。在只有一、兩個轉向的簡單結里，最主要的變數是材料的強度，這時的摩擦力太小，可以忽略不計。然而，當轉向數目增加到3個或以上時，「繩子表面互相糾纏的區域就會增加，併產生很大的摩擦力。」賈韋德解釋道。這時我們就需要一個新的模型，它在強度和拓撲結構（即形狀）之外，還要計算繩索的摩擦。

系鞋帶是個科學問題

受到MIT團隊發現的吸引，奧多利也加入了他們的研究，他希望能找到一個更好的理論來解釋這些意料之外的實驗結果。兩個團隊共同提出了一條公式，用來精確描述在一個繩結中發揮作用的各個因素（包括張力、摩擦力和強度）和繩子的轉向數目（即繩結的拓撲結構）之間的關係。

這個公式具有一定的預測效力，但還算不上是「繩結的大一統理論」。它沒有窮盡繩結的一切變化，所描述的也依然是最簡單的繩結。但這是一個良好的開端，因為簡單繩結是構造複雜繩結的基礎。幾位作者也很有信心，準備用計算機模擬將自己的方法推廣到更加複雜的繩結上去。到那時，人們就可以根據不同的目的設計出特定的繩結，比如外科醫生在縫合傷口時就能根據轉向的數目來「微調」繩結的強度。它還可以用來製作可調節的減震器，並幫助我們理解細胞分裂中纖維複雜的解結過程。

「人類對繩結的許多知識都是從經驗中得來的，」麻省理工研究組的組長佩德羅·萊斯（Pedro Reis）告訴《科學》雜誌，「而我們採用的是比較理性的方法，並提出了一個預測性的框架，這正是科學家界所缺乏的。」

編輯：游識猷

參考文獻：

1.Audoly, B., Clauvelin, N., and Neukirch, S. (2007) 「Elastic knots,」 Physical Review Letters 99: 164301

2.Bayman, Benjamin F. (1977) 「Theory of hitches,」 American Journal of Physics 45: 185.

3.Jawed, M.K. et al. (2015) 「Untangling the mechanics and topology in the frictional response of long overhand elastic knots,」 Physical Review Letters 115: 118302.

4.Walker, Jearl. (1983) 「In which simple equations show whether a knot will hold or slip,」 Scientific American 249(2): 120

編譯來源：

Gizmodo，What"s the Best Way to Tie Your Shoes? Physics May Have the Answer.

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