「國王的遺囑」為何無法實施？

從某書上看到一個題目，是以故事或傳說的形式呈現的，叫「國王的遺囑」。這讓我聯想到數學上的德?摩爾根定理。我打算今天用數學方法證明德?摩爾根定理，從而論證「國王的遺囑」是不可能實施的。

老國王訂立了遺囑，要把他的一大片土地分給他的五個兒子。每個兒子分多少由他們自行決定，但每兩人分得的土地必須相鄰，即五塊土地中的每塊土地都必須與其他四塊有邊界接壤。請問能夠做得到嗎？

建議您在紙上畫一畫看。所謂相鄰，是指兩者有一段公共的邊界。比如下圖中A與B是相鄰區域，而C和D就不是相鄰區域（只有一點相接觸不算相鄰），E和F更不是相鄰區域。

這個問題可以概括為：在平面上是否存在這樣的五塊區域（每塊區域自身都應該是連通的），它們每兩塊之間都相鄰？

這就引出了德?摩爾根定理。

德?摩爾根定理：平面上不存在這樣的五塊區域，它們每兩塊之間都相鄰。

這個定理很好證明。但我們需要做一些準備工作。

如果兩個區域有公共邊界，則我們總可以畫出一條連續的曲線段，使得曲線段的兩端分別位於這兩個區域中，曲線段本身穿過公共邊界，但不允許經過兩個區域以外的其他區域。這樣一來，我們就可以把多個區域構成的地圖（特彆強調：本文中所說的地圖只是數學中為了說明問題方便而使用的名稱，與真實的地圖沒有任何聯繫，更不涉及政治）用一個網路圖來代替，我們稱其為地圖的鄰網路。比如下圖所示。

上圖中，藍色網路為原來由區域構成的地圖。在每個區域中選取一點（可以代表這個區域），在每兩個有邊界接壤的區域之間都連接一條連續的曲線段，這條曲線段必須穿越這兩個區域的邊界而不能經過其他的區域（這是當然可以做到的）。上圖畫出了全部可能的曲線段（圖中紅色），這就是我們所要的區域的鄰網路。

經過上面的轉化，德?摩爾根定理就轉化為：不存在五個點，其中每兩個點之間都有一條連續曲線段相連接。（注意，我們所說的網路圖的線與線之間是不能有交叉的。）於是，我們下面證明德?摩爾根定理的轉化形式即可。

證明如下：

用反證法。假設存在這樣的五個點。不失一般性，設這五個點都位於一個球面上。那麼，因為五個點每個點都與其他四個點相連，就是說從每個點發出四條邊，而每條邊又都是連接著兩個點，所以，一共有5×4÷2=10條邊。即E=10。而頂點V=5是已知的，所以由閉曲面（球是閉曲面）的歐拉公式V-E+F=2，得5-10+F=2，即F=7。即這個網路有7個面（類似多面體的面）。（特別要注意，這裡請不要再想著區域或地圖，我們已經把地圖問題轉化為網路問題。它們是等價的。否則容易把區域與面混淆。網路圖中才有面的概念。）

我們知道，一個面的周圍至少有三條邊，而每條邊都與兩個面相連，所以7個面至少有7×3÷2=10.5條邊。而邊數只能是整數，所以應該是至少有11條邊。但這與E=10矛盾。所以這反證出不可能有這樣的五個點存在，使得每兩個點都有邊相連接。

於是，我們間接地證明了德?摩爾根定理：不存在五個區域，每兩個區域都相鄰。

我們也可以畫一畫看，直觀地感受一下。比如下圖中，五個點都位於一個球面上。從點A發出的四條曲線段分別與點B、C、D、E相連。相連的曲線段還有BC、CD、DE、EA和CE。這一共是9條了。應該在B和D之間還有一條，但是，從點B發出的曲線段卻是到達不了點D的。這是因為，假設您從點B出發，必定會進入三個球面三角形BCA、BCE、BAE當中的一個。而點D卻在這三個球面三角形之外，所以，不管進入那三個球面三角形中的哪一個，如果不穿越邊界AC或CE或AE，是不可能到達點D的。 再仔細觀察一下，下圖中只有六個面，怎麼也出不來第七個面。

可以引伸到城市交通上面來。城市類似平面圖，如果有五個城市，在它們每兩座之間都想修建一條公路，為了快捷，想盡量不讓公路之間產生交叉。但是，不管怎麼設計，總會有至少某兩座城市，它們之間的公路不穿過其他公路是不可能的，除非建造立交橋。

但是，在環面上的五個點，每兩個點之間有一條連接線是完全可能的。因為環面的歐拉示性數V-E+F=0，把V=5和E=10代入，得F=5。這個F=5不會像前面我們用反證法證明德德?摩爾根定理時那樣產生矛盾，因為同樣地，一個面至少有三條邊，一條邊兩側有兩個面，則至少有5×3÷2=7.5條邊。這個與E=10不矛盾。我們可以找來一個圓環形的物品，比如麵包圈，或者用橡皮泥捏出一個。然後在上面任意取五個點，試著給每兩個點連線。經過嘗試，總是可以做到使每兩點之間有一條連線（互相不交叉）。這時，您再試著把每個面塗色，一個面塗一種顏色，您會發現，用五種顏色就把環面塗滿了，這說明F=5。原高中數學課標和新高中數學課標（2017版）中都有對歐拉公式與閉曲面的探究性學習任務（選修內容），這可以培訓學生的深索精神。

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