這個數學有點美

最新 03-13

新

學

期

2018一個新的開始，春風三月我們迎來了一個新的學期，在新的學期里讓我們好好體會數學之美！

鐵線上的珠子

現在我們來看一下這次節目我們要探討的問題：如果 AB兩點是在空間中垂直放置的，那麼這兩點之間的最快路徑是什麼？

舉幾個圖，如果我們將兩點之間用鐵線連接，上面穿一顆圓潤的珠子，那麼一下哪種姿勢的路徑可以讓珠子以最快的速度從 A點滑降到 B點？

注意！！！！此問題中要加上重力加速度(但是不考慮摩擦力和空氣阻力)的情況下，考察那條鐵線上的珠子最快降落到 B點，給你兩分鐘時間……

會不會是第一種直線的方式呢？無論如何，我們都知道這是兩點之間最短的路徑。所以珠子需要移動的距離是最短的，而且珠子不需要改變運行方向跑偏，嚴格按照起始的方向埋頭滑到底。

會不會是第二種拋物線形式的路徑最快？拋物線是種水平位移與垂直運動成平方關係的運動路徑，更符合物體在自然界重力作用下的墜落軌跡(事實上，那些訛你錢讓你吐一地的「失重體驗」飛行，飛的就是這種路徑。)

還有第三種跳台滑雪式的路徑，它會是最快的一個么？走這種路徑有個優勢，就是在一開始會獲得較高的加速度，當加速度達到最大的時候，把這種優勢轉化為較短的時間滑過後半程的水平位移上。

是不是還有種可能，實際上對於下墜來說，其實路徑根本就無所謂？你看，反正是能量守恆的事情，同等高度的情況下，珠子具有的勢能也是一樣的，那麼最後獲得的動能也是一樣的，那麼我們能不能說其實路徑的選擇對速度是沒有影響的？

最後，會不會這些路徑都不是最快的？其實還有其他的可能？比如一個完美的圓弧？

牛頓、貝努里、惠更斯、萊布尼茨、欽豪申、羅比達(反正都是些遠古學霸)在 17世紀末，扎堆出現了一大批傑出的數學家：牛頓、貝努里、惠更斯、萊布尼茨、欽豪申、羅比達……他們都在做這道題，出題的人是雅各布·伯努利他弟，約翰·伯努利：「我，約翰·伯努利，想找到世界上最棒的數學家。沒有比出道難題為難人更能公平公正地爽到我了，能解決這個問題的人必能揚名立萬，千古流芳。成為能與帕斯卡，費馬等牛人齊名的大 V。請允許我代表整個數學界提出這個尤其能在今天考研大家的數學技巧和思維耐力的問題。如果有人能把答案遞交與我，我會將其公開，並授予其應得的獎賞。」這個約翰·伯努利是誰？好像口氣很吊的樣子，反正你們就當他是知乎的黃繼新就行了，要不是他，牛頓的萬有引力還能早些獲得承認，他們一家人都是大學霸，兄弟，父子之間還互相瞧不上眼。史載是牛頓第一個找到了正確解法和答案。比伽利略早了幾十年，伽利略由於手裡沒有微積分，得出了錯誤的答案，所以咱也別自慚愧，不知道也很正常。