今天是霧霾，明天是什麼？馬爾可夫鏈告訴你

什麼是馬爾可夫鏈？什麼時候應該使用它們？它們是如何運作的？

馬爾可夫鏈是一個相當常見、相當簡單的對隨機過程進行統計建模的方式。它們被應用在很多領域，從文本生成到金融建模。一個比較流行的例子是 SubredditSimulator，它使用馬爾可夫鏈自動創建整個 subreddit 的內容。總之，馬爾可夫鏈在概念上是非常直觀，並且易於理解的，不使用任何高級的統計或者數學概念就可以實現。馬爾可夫鏈是入門概率建模和數據科學技術的很好的開端。

簡介

首先，我們用一個很常見的例子來描述它們：

試想有兩種可能的天氣狀態：晴天或者陰天。你總是可以直接地觀察當前的天氣狀態，而且保證是之前提及的兩者之一。現在，你決定預測明天的天氣。假設在這個過程中有一個潛在的轉移，因為當前的天氣會對第二天的天氣狀態有所影響。因此，作為一個敬業的人，你收集了幾年的天氣數據，然後計算得到陰天之後出現晴天的概率是 0.25。你還注意到，廣泛地講，陰天之後發生陰天的概率是 0.75，因為只有兩種可能的天氣狀態。你現在可以利用這個分布，根據當地目前的天氣狀態去預測未來幾天的天氣。

這個例子描述了馬爾可夫鏈的很多關鍵概念。馬爾可夫鏈本質上是由一系列滿足馬爾可夫性質的轉移組成，這些轉換服從某種概率分布。

我們來觀察一下在這個例子中，如何僅僅通過觀察從當天到第二天的轉換就得到概率分布。這其實說的就是馬爾可夫性，即馬爾可夫過程獨有的讓狀態轉移沒有記憶的性質。這通常使它們無法成功地生成會出現某些期望潛在趨勢的序列。例如，馬爾可夫鏈可能根據詞頻來模仿一個作者的寫作風格，但是它無法生成包含深層含義的文本或者蘊含某種主題意義的文本，因為這些文本都是基於更長的文本序列開發的。因此，它們缺乏生成語境相關內容的能力，因為它們無法考慮到之前的整條狀態鏈。

天氣預測例子的可視化

模型

形式上，馬爾可夫鏈是一個概率自動機。狀態轉移的概率分布通常表示為馬爾可夫鏈的轉移矩陣。如果馬爾可夫鏈有 N 個可能的狀態，那麼這個轉移矩陣就是 N*x*N 的矩陣，使得元素 (I, J) 代表從狀態 I 轉移到狀態 J 的概率。此外，狀態轉移矩陣必須是隨機矩陣，它的每一行元素之和必須是 1。這完全是能夠講得通的，因為每一行代表它自己的概率分布。

馬爾可夫鏈的一般視圖，圓圈代表狀態，邊代表轉移。

具有三個可能狀態的狀態轉移矩陣。

此外，馬爾可夫鏈也會有一個初始狀態向量，由一個 N x 1 的向量表示，用這個向量來描述從 N 個狀態中的某個狀態開始的概率分布。初始向量中的元素 I 代表該馬爾可夫鏈從 I 狀態開始的概率。

具有四個可能狀態的初始向量。

這兩個實體通常就是用來描述一個馬爾可夫鏈所需的全部內容了。

我們知道如何獲得從一個狀態轉移到另一個狀態的可能性，但是如何知道經過多個步驟後發生轉移的概率呢？為了將這個也形式化，我們現在要定義在 M 個步驟中從狀態 I 轉移到狀態 J 的概率。事實證明，這是很容易的。給定一個狀態轉移矩陣 P，這可以通過計算矩陣 P 的 M 次冪中的元素 (I, J) 來決定。然而，對於 M 值比較大的情況，如果您對簡單的線性代數比較熟悉，更有效的方法是先將矩陣對角化，然後再計算它的 M 次冪。

結論

既然你已經了解了馬爾可夫鏈的基本知識，現在就應該能夠用你選擇的語言輕鬆地實現它們。如果你不擅長編程，還有許多更高級的馬爾可夫鏈和馬爾可夫過程的屬性可以深入研究。在我看來，馬爾可夫鏈沿著理論路線的自然發展將是隱馬爾可夫過程或 MCMC（馬爾可夫鏈蒙特卡羅）。簡單的馬爾可夫鏈是其他更複雜的建模技術的基本組成，因此，掌握了這些知識，你現在可以去嘗試更多這種主題的技術，例如信念建模和採樣。

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