經典證明：幾乎所有有理數都是無理數的無理數次方

一個無理數的無理數次方是否有可能是一個有理數？這是一個非常經典的老問題了。答案是肯定的，證明方法非常巧妙：考慮根號 2 的根號 2 次方。如果這個數是有理數，問題就已經解決了。如果這個數是無理數，那麼就有：

我們同樣會得到一個無理數的無理數次方是有理數的例子。

這是一個典型的非構造性證明的例子：我們證明了無理數的無理數次方有可能等於有理數，但卻並沒有給出一個確鑿的例子。畢竟我們也不知道，真實情況究竟是上述推理中的哪一種。那麼，真實情況究竟是上述推理中的哪一種呢？ Gelfond-Schneider 定理告訴我們，假設 α 和 β 都是代數數，如果 α 不等於 0 和 1 ，並且 β 不是有理數，那麼 α 的 β 次方一定是超越數。根據這一定理我們可以立即看出，根號 2 的根號 2 次方真的是一個無理數，實際情況應該是上述推理中的後者。

那麼，是否存在一個無理數 a ，使得 a 的 a 次方是有理數呢？最近， Stan Dolan 證明了這樣一個結論：事實上，幾乎所有 (1, ∞) 里的有理數都是某個無理數 a 的 a 次方。

注意到當 x 大於 1 時，函數 f(x) = x^x 是連續單調遞增的，因而對於所有 (1, ∞) 里的有理數 r ，一定存在唯一的 a ，使得 a^a = r 。不妨假設 a 是一個有理數，它的最簡分數形式是 n / m 。如果 m = 1 ，那麼我們會有平凡解 n^n = r 。下面我們證明， m 是不可能大於 1 的，否則會產生矛盾。

假設有理數 r 的最簡分數形式是 c / b ，於是我們有：

或者說：

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