SENSE重建演算法簡介
SENSE（Sensitivity Encoding）【1】技術在核磁共振並行成像中佔有重要的地位，經過20多年不斷的打磨，SENSE技術的應用逐步至臻完善，在全身各部位掃描中都有應用。Pruessman 在1999年的文章中，對SENSE重建的理論推導有著精妙的論述。站在大師的肩膀上回頭來看這一技術，其實現方法還是相當簡單的，在這裡麥先生就對此技術敘上一敘。
本講主要內容：
1． k-空間和圖像
2． k-空間的欠採樣和卷褶
3． 多通道採集對卷褶的解析
4． g-factor
5． 實例
6． 討論
▌k-空間和圖像
在對k-空間數據滿採的情況下，我們可以得到一幅完整的圖像，所謂完整就是圖像的視野（FOV）比圖像內物體的尺寸大，如下圖的水模圖像作為示例。
圖1.1 在k-空間滿採的情況下（左圖），我們得到一幅完整的圖像（右圖）。?k是相位編碼方向的採樣間隔，它和圖像的FOV是互為倒數的關係。k-空間和圖像之間是傅立葉變換的關係。
為了在後文中說明欠採樣帶來的卷褶效應，這裡先介紹一下圖像的周期性，即我們看到的一幅MRI圖像其實是以FOV為周期無窮無盡排列的（圖1.2），這是由離散傅里葉變換的特性決定的。但因為內容是重複的，我們存儲和顯示它的一個周期就足夠了。
圖1.2 圖像信號的周期性。
▌k-空間的欠採樣和卷褶
MRI領域的技術發展就是在生理和物理的極限允許條件下，追求更短的掃描時間和更好的圖像質量。為了縮短掃描時間，通常的做法是減少k-空間的採樣行數，即欠採樣。本節以k-空間隔行掃描為例來解釋k空間欠採樣後圖像上出現的卷褶現象，在後面的小節中再引出SENSE技術背後的原理。
隔行掃描可以將掃描時間縮短為原來的一半。但是由於k-空間間隔增大到兩倍，圖像視野就縮小為原來的1/2（圖2.1）。
圖2.1 隔行採樣的k-空間（左），和減半的FOV（右）。虛線為省略的行，k-空間行間隔增大到2?k，視野縮小為FOV/2。視野外的部分卷褶進了減小的視野並和視野內的內容疊加在一起。在卷褶圖上某像素值v = v1+v2，卷褶的規律很簡單，即相距FOV/2的像素將會疊加在一起。
回顧前面所說，圖像是以視野為周期重複排列的，當視野（即FOV/2）比物體（即橢圓）尺寸小時，圖像當中就會產生卷褶現象，即物體超出視野的部分又從視野的另一邊出現了，併疊加到其它區域上（圖2.1右，圖2.2）。
圖2.2 圖像信號的周期性。當成像視野小於物體尺寸時出現卷褶現象。
▌多通道對卷褶的解析
假設我們用兩個線圈通道用於信號接收，分別記為通道1和2（圖3.1）。
圖3.1 兩個接收通道並行採樣示意圖。
k空間滿采時兩個接收通道得到的圖像分別如下圖（圖3.2）所示。像素灰度的不均勻性是由通道的靈敏度分布（Coil Sensitivity Map，CSM）造成的。即對任意像素ρ ，設待求真實像素值為v(ρ)，通道1和2在像素ρ處的靈敏度分別為s1(ρ)和s2(ρ)；則通道1和2在像素ρ處測得的像素值分別為u1(ρ)=s1(ρ)v(ρ)和u2(ρ)=s2(ρ)v(ρ)。
圖3.2 k-空間滿采時各接收通道所獲取的圖像。注意圖像的均勻性和接收單元的靈敏度分布有關。
K空間欠採樣時兩個接收通道得到的圖像分別如下圖（圖3.3）所示。對任意像素ρ ，它和像素ρ+FOV/2疊加在一起，這對每個通道都一樣；設通道1和2在像素ρ處的值分別為a1(ρ)和a2(ρ)，則：
a1(ρ)=u1(ρ)+ u1(ρ+FOV/2)；
a2(ρ)=u2(ρ)+ u2(ρ+FOV/2)。
圖3.3 k-空間欠採樣時，像素ρ和ρ+FOV/2卷褶在一起，這在通道1和2上是一樣的。
根據上面的分析，我們利用圖3.4來觀察圖像的卷褶並推導出利用多通道信號解析出真實像素值的辦法。圖3.4從下往上分析，考察欠採樣後縮小的視野內（FOV/2）任意一點ρ處的像素值a(ρ)。
圖3.4 利用多通道信號解析出真實像素值。詳見後面文字描述。
1）欠采時：
通道1在ρ上的像素值記為a1(ρ)；
通道2在ρ上的像素值記為a2(ρ)。
2）a1(ρ)是通道1滿采時的像素值u1(ρ)和u1(ρ+FOV/2)疊加在一起形成的；
a2(ρ)是通道2滿采時的像素值u2(ρ)和u2(ρ+FOV/2)疊加在一起形成的。即：
a1(ρ)=u1(ρ)+u1(ρ+FOV/2)；
a2(ρ)=u2(ρ)+u2(ρ+FOV/2)。
3）像素值u1(ρ)和通道1的靈敏分布有關，即u1(ρ)= s1(ρ)v(ρ)，且u1(ρ+FOV/2)= s1(ρ+FOV/2)v(ρ+FOV/2)；
4）像素值u2(ρ)和通道2的靈敏分布有關，即u2(ρ)= s2(ρ)v(ρ)，且u2(ρ+FOV/2)= s2(ρ+FOV/2)v(ρ+FOV/2)。
5）綜上：
a1(ρ) = u1(ρ)+u1(ρ+FOV/2) = s1(ρ)v(ρ) + s1(ρ+FOV/2)v(ρ+FOV/2)
a2(ρ) = u2(ρ)+u2(ρ+FOV/2) = s2(ρ)v(ρ) + s2(ρ+FOV/2)v(ρ+FOV/2)
或者寫成矩陣的形式：
由於ρ是任意點，上式中可以去掉不寫以顯示一般性：
其中a是已知的列向量，它的維數等於通道數，它的值來自於數字採樣。S是線圈靈敏矩陣，它的行數等於通道數，列數等於摺疊在一起的點的個數。S也是已知的，它的原始數據通過預掃描（Sense Ref Scan）獲得，然後在重建時通過任意平面重建（Multi-Planar Reconstruction，MPR）得到幾何坐標與所求圖像（即v）一致的靈敏度分布矩陣。v是未知的，是我們要重建的圖像。
根據以上線性方程，我們可以通過最小二乘方法求解v：
(1)
在實際應用中，各接收通道之間存在一定的耦合。通道之間的耦合用雜訊相關矩陣表示，記為Ψ，它是一個共軛對稱複數矩陣。取決於線圈的設計，相關係數通常在0到0.4之間(圖3.5)，通道之間的耦合會影響到重建圖像的均勻性和雜訊分布。
圖3.5 雜訊相關矩陣Ψ示例，對角線值為1.0，其它單元顯示接受單元之間的相關係數。左圖共13個通道，相鄰通道之間的相關係數稍高，提示耦合的存在。右圖共8個通道，通道之間耦合係數較小。
為了消除通道耦合對圖像質量的影響，式（1）變成了：
（2）
上式中引入的矩陣Ψ是接收通道之間的相關矩陣，維數為n×n，n為通道數。大家可以簡單的將Ψ的逆理解為去相關操作，它在式中出現過兩次，一次是對線圈靈敏矩陣S去相關，另一次是對接收信號a去相關。注意上式中a前面的係數（也就是下面的F）是維數m×n的矩陣，m是疊加在一起的像素的個數，而a的維數是n，於是v是維數m的矢量。這樣，一個多通道的採樣點a就被變換成了通道合併後的多個像素值，這些像素之間的空間間隔就是欠採樣時的視野大小。由於上述矩陣的通道合併作用，
也被稱為多通道信號的合併矩陣（combination matrix）。
▌g-factor
SENSE重建可以理解為一個線性系統，即
通過這一線性系統後圖像域的摺疊點之間的雜訊相關矩陣為（推導見附錄）：
在k-空間不欠採的情況下，S是一個n維列向量，而Φ是一個標量，反應了在滿采情況下利用式（2）做通道合併時的像素雜訊情況。
在加速欠採樣的情況下，S是m×n矩陣，Φ是一個m×m矩陣，這個矩陣的對角線反應了解開卷褶後的像素上的雜訊方差。欠採樣時的雜訊除以滿采時的雜訊，即：
表徵了SENSE重建過程中雜訊放大的倍數，稱之為g-factor。其中根號下分子部分是欠採樣時圖像雜訊相關矩陣的對角線變數，反映像素ρ上的方差；而分母部分反映滿采時像素ρ上的方差。g是geometry的首字母，因為g-factor是和線圈的幾何設計以及圖像的幾何坐標有關。g-factor是一個大於1.0的數，但是越小越好，是可以用來評價線圈設計的一個客觀指標。
並行成像信噪比（SNR）降低的一方面的原因是採樣次數減少，造成SNR下降為原來的1?√R倍，其中R是加速因子。結合兩方面的原因，和滿采相比，總的SNR下降的比例為：
（3）
▌實例
本小節給出水模和大腦MRI成像的SENSE重建數據，讓大家有一個感性認識。
水模SENSE重建示例
圖5.1.1-5 分別顯示滿采時的多通道圖像、加速掃描時的多通道圖像、通道靈敏度分布圖、SENSE重建結果和g-factor分布圖。
圖5.1.1 作為參照，本圖顯示k-空間滿采（無
欠採樣和加速掃描）時的多通道圖像，無卷褶現象出現。
圖5.1.2 k-空間隔行掃描，2倍加速，FOV縮小為一半，出現卷褶。
圖5.1.3 通道靈敏度分布圖（CSM）。注意CSM和圖（1）中的原圖很接近，這是因為ui(ρ)= si(ρ)v(ρ)，而原圖v(ρ)對於水模來講像素值幾乎是個常量，於是ui(ρ)和si(ρ)的亮度分布幾乎是一致的。
圖5.1.4 左圖： Sense加速因子=1，無摺疊圖像；右圖 Sense加速因子=2，Sense重建結果。在右圖中我們可以看到在卷褶區域通過Sense打開摺疊後留下的Sense偽影。Sense偽影的產生反應了Sense 重建系統對雜訊的放大作用（公式（3））。
圖5.1.5 g-factor 圖，在打開卷褶的區域，g-factor是一個大於1.0的數，其他區域g-factor為1。
腦部SENSE並行成像示例
本例展示頭部3D MRI SENSE重建的結果。所用序列為Multiva 1.5T上的3D T1W VISTA ，TR=400ms，TE=8.8ms，SENSE加速因子=4.3，重建解析度320x320x306，體素大小0.78×0.78x0.62 mm3，HST Head 8-通道接收線圈。
圖5.2.1-4 分別顯示加速掃描時其中一層的多通道圖像、通道靈敏度分布圖、SENSE重建結果和g-factor分布圖。
5.2.1 SENSE 加速因子=4.3， 相位編碼方向FOV縮小到72 mm，出現多重卷褶。
圖5.2.2 各通道靈敏度分布圖（CSM）。
圖5.2.3 SENSE重建結果。注意中間區域的雜訊分布稍高。這和下圖中的g-factor的分布是相對應的。
圖5.2.4 g-factor分布圖。注意中間區域g-factor值較高。
▌小結
本講主要回顧了SENSE重建的基本操作過程，第3小節是本講的主要內容，大家如果能夠耐心讀完，定會對SENSE的基本理論有所了解。
SENSE是在圖像域內逐像素求解線性方程（2）獲取最終圖像。SENSE每個像素分別打開摺疊，因此可以使用並行重建，重建速度快。雖然壓縮感知技術（Compressed Sensing，CS 【5】）在理論上可以進一步提高加速因子，但SENSE在2D、多層掃描、小視野成像等方面仍然有很多優勢。
CS總體上是一種全局優化演算法，SENSE的優勢之一就是根據待求像素周邊區域內的先驗知識來逼近最優解，這也是SENSE技術不斷優化的一個依據。多層面同時激發技術（Multi Band 【3】【4】）的重建和傳統的SENSE在演算法的框架上並無本質的不同，它只是通過序列控制了多層面之間摺疊的方式。另外，SENSE演算法的中間步驟在通道壓縮【2】、線圈模態選擇、線圈設計評估等方面有很多實際應用。
總之，雖然已經問世20年，SENSE的生命力在可預見的未來還是不容小覷的。
參考文獻：
【1】 Klaas P. Pruessmann, et al,1999, MRM, SENSE: Sensitivity Encoding for Fast MRI.
【2】 Martin Buehrer, et al, 2007, MRM, Array Compression for MRI With Large Coil Arrays.
【3】 Breuer FA, et al, MRM 2005, CAIPIRINHA.
【4】 Setsompop K, et al, MRM 2012, Bliped-CAIPI.
【5】 Lustig M, et al, MRM 2007, Sparse MRI: The application of Compressed Sensing.
附錄：
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