數學和哲學——科學界相愛相殺的一對

文章來源於「科學大院」公眾號

作者：黃逸文

A：「我是數學家。」

B：「我是哲學家。」

C：「那你們兩個可以說是相愛相殺啊！」

數學和哲學，幾乎同時誕生於遙遠的古希臘，共同構成了那個時代文明的驕傲，

它們在歷史上有著千絲萬縷的聯繫，也一直寄託著彼時人們對生活和精神的嚮往。

曾經，它們唇齒相依

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古希臘時代：數學與哲學的第一次相遇

公元前三世紀，柏拉圖在他的學園入口處寫道：「不懂幾何者，禁止入內。」

柏拉圖學園

作為古希臘的哲學先賢，柏拉圖認為數學就是理性哲學的前提條件。數學和哲學，就這樣第一次攜手走進了柏拉圖的理性樂園，也奠定了西方兩千年理性文明的基礎。柏拉圖的影響波及後世無數傑出的數學家和哲學家，比如笛卡爾、斯賓諾莎、康德等等都是柏拉圖信念堅定的支持者。

柏拉圖之所以賦予數學如此重要的地位，將它視作理性主義的基石，其根源在於數學有著超越其他學科的先天優勢。

當時的人們認為，在數學的世界裡，任何一句斷言都可以得到肯定或者否定的論證，且這種論證不會隨著時間的推進而更改。每一個數學定理就是一座歷史的豐碑，一旦樹立，就千載不倒，成為後世數學家的標杆。數學定理中展現的嚴謹結論更是穿越時空的通行證，以至於伽利略曾經盛讚「宇宙是用數學的語言書寫而成「。這種絕對的真理觀為數學確立了堅不可摧的理性基礎，每一個數學證明從誕生起就經得起任何人的檢驗。

這和古代的神話與宗教截然不同。神靈的存在與否無法證明，它本身是一種超越理性的信仰。人們只能屈從於宣傳信仰的權威。數學恰恰相反，基於它的敘述只依賴於理性論證，完全獨立於客觀世界和精神家園，其原則可以接受任何的質疑和辯駁。那麼，哲學將前提建立在數學之上，也就有了形式上的保障。從此，數學和哲學就緊密地聯繫在了一起。

數學成了哲學的前提，但是它們又有本質的不同。哲學的基礎是數學，卻又高於數學。

柏拉圖（公元前427年 - 公元前347年）

柏拉圖將知識分為四個等級，人們在獲取知識的過程中需要經歷四個階段。

第一個階段是基於感覺和想像表達的結合，其對象是可感事物的影像，比如影子、水中的倒影等等。

第二個階段是信念。信念的對象是可感事物的影像原物，如找出影子的事物本身。

第三個階段是思想。思想所處理的對象處於感性世界和理念世界之間，思想處理的知識處於感性認識和理性認識之間，比如數學。

第四個階段就是理性。理性認知的對象是理念，理念就進入了純哲學的層次。只要還追求對事物的更完滿的解釋，我們就永不會滿足。但是擁有完善的知識將要求我們把握所有事物相互之間的關係——也就是看到實在之整體的統一性。有了完善的理智就能徹底地擺脫了感性事物的束縛。在這個層次上，我們直接和理念打交道。

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近代數學與哲學：共同成長的熱戀期

在哲學家的思想深處里，他們的理念往往是通過數學的圓滿來實現的，比如在哲學思辨中大名鼎鼎的反證法，就是一個源自數學創造的關鍵工具。

笛卡爾（1596年 - 1650年）

曾經提出「我思故我在」的法國大數學家笛卡爾，是現代哲學的奠基者。他同時也在現代數學史上有著自己獨一無二的坐標，以發明「解析幾何「而名垂青史。他基於悖謬推理的數學論證來逐步展開他的哲學藍圖。這種推理形式就是數學的本質。

斯賓諾莎（1632年 - 1677年）

17世紀的哲學家斯賓諾莎，認為哲學知識如果沒有數學的輔助，人們將無法抵達理性的境界。他的名著《倫理學》採用了類似歐幾里得的《幾何原本》的結構，賦予其哲學嚴謹的公理體系和推理證明。從斯賓諾莎開始，哲學開始具有某種幾何學的特徵，其論證方式因為自然和嚴謹深受理性主義哲學家的喜愛。以《利維坦》奠定現代政治學基礎的哲學家霍布斯也採用了相同的推理結構。他們的思想都受到牛頓通過數學建立自然哲學的啟發，這再一次將數學和哲學緊密地聯繫在一起。

一個世紀後，德國大哲學家康德在《純粹理性批判》里更是強調了數學的重要作用。一如當年牛頓對數學的高度評價「沒有數學，就不會有任何自然科學」一樣，康德指出批判哲學的存在完全依賴於數學的理性推導。

後世很多傑出的數學家，也同樣是偉大的哲學家，比如19世紀的大數學家戴德金、康托，以及龐加萊，他們都是從對數學的思考中綻放出哲學理性主義的光輝。

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蜜月期的結束：巨大的分歧

儘管數學對哲學產生巨大的推動，人們在數學的概念上卻產生了分歧，這一分歧導致了後世對數學於哲學的重要意義有了不同的解讀。

第一種觀點繼承了柏拉圖的實在論，人們認為數學是獨立於我們而存在的對象。這也是自古希臘時代就被人們認可的理念。

維特根斯坦（1889年 - 1951年）

另外一種觀點則將數學歸於形式論的範疇，這一派認為數學僅僅是一種純粹的人為創造，尤其是形式語言的創造。典型的代表人物如維特根斯坦，他將數學視為眾多語言遊戲中的一種，並不具備真正的普遍性，人們不能把數學絕對化。這場思辨源於19世紀非歐幾何的誕生。統治幾何學兩千多年的歐幾里得公理一度被顛覆，給彼時的人們帶來巨大的思想震撼。一時間，「公理都會改變「的事實動搖了人們對數學的信仰。這引起了一些人對數學普遍性更為深入的思考。基於此，維特根斯坦認定哲學並不依從於數學，數學中也並沒有揭示人類存在的真理。

在維特根斯坦之前，持同樣觀點的哲學家黑格爾甚至更加激烈，走向了一個極端。黑格爾以極其冷漠的態度批判了數學中尚待澄清的概念，比如對嚴格無限概念的理解，一度走到了科學的對立面。隨後，西方哲學的主流開始拋棄了柏拉圖的實在哲學，不再將數學推理納入其思考的體系。從黑格爾到尼采，直至薩特的存在主義，哲學上的浪漫主義遠離了分析證明的理性。

康德（1724年－1804年）

與此同時，很多哲學大家仍然支持數學對哲學不可替代的作用。康德儘管相信數學是某種先驗的形式論，但他認為數學的普遍性毋庸置疑。他和笛卡爾、斯賓諾莎一樣，堅持認為數學的出現為科學鋪平了道路。

後來，它們分道揚鑣

時至今日，數學和哲學漸行漸遠，構成了人們對生活認知的兩級。

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高冷的數學

大眾對數學的態度是愛恨交織。人們發現它無所不在，卻又對它一無所知。

它是每個人成長過程中投入時間和精力最多的學科。數學成績的好壞不僅影響著一個人的信心和選擇，還關乎著前途和命運。數學成了個人鯉魚跳龍門的工具。但大多數人會在完成大學的課程之後，最終和數學分道揚鑣。

同時，很多真正以數學為職業的精英數學家，卻刻意保持了和大眾的距離。他們擁有極富創造力的數學知識，以自己獨有的方式進行著極其艱澀的研究，卻並不屑於向世人詮釋其精妙的意義。數學家的世界，儼然和公眾完全隔離，人們無法了解他們的工作方式，更遑論他們的研究成果。雙方的對立導致了公眾對數學工作者的誤解以及數學工作者的集體排外。

隨著研究的深入，當代數學已經建立起超過一百個分支的專業領域。不僅外人對數學家的研究成果無法理解，彼此不同領域的專家也逐漸有了深度的隔閡。極度的複雜性讓數學成了一個遙不可及的領域。數學研究，也成了少部分精英的樂園，從而和大眾漸行漸遠。

進入21世紀，每年的年度科技進展成了科學界的一件盛事。物理、化學、生物、信息等等學科都是其中最耀眼的明星。歷史最為悠久、理論源遠流長的數學，卻常常淪為冷板凳上的看客，孤獨地目睹科技盛宴上眾星捧月的熱鬧。

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尷尬的哲學

對於哲學，問題卻變得複雜起來。

那些艱深的哲學研究在今天也處於極為尷尬的位置。屬於西方哲學史的黃金時代也已經落幕，原本哲學關注的核心問題漸漸融入到其他學科的範疇。比如研究「宇宙的本源」的重擔轉移到了物理學的前沿，研究「我們從哪裡來」的問題被生物和遺傳學家接手。甚至那些偏向文科的哲學內容，也逐漸被邏輯學、政治學和心理學瓜分。哲學的生命，注入到了新興學科的血管里。

與此同時，哲學在人們的生活中更多地融入了功利主義的考量。這樣的哲學逐漸和倫理學並軌，進入了人們的生活。沒有人會自稱是數學家，但是每個人卻可以被視為哲學家。隨著民主化和個性化的社會風潮，每個人都擁有了一套個體的生存哲學，並且對彼此不同的觀點要麼針鋒相對，要麼保留沉默。這一套觀念和昔日哲學先驅們的思想大相徑庭，而後者在當代已經被束之高閣，成為極少數人的思想陣地。

數學家和哲學家 究竟哪個更怪一點？

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孤獨的數學家

數學家在媒體上出現的形象，往往以天才和怪異著稱。

俄羅斯的天才數學家佩雷爾曼就是最近的典型。他解決了世界七大數學難題之一的龐加萊猜想，卻拒絕了隨之而來的菲爾茲獎和100萬美元的獎金。他性格孤傲，選擇了退隱山林，過上了與世隔絕的生活。

另外一位法國大數學家，被譽為代數幾何教皇的格羅騰迪克，也選擇了在年富力強的時候歸隱田園。

約翰·納什（1928年 - 2015年）

2001年上映的電影《美麗心靈》講述了數學家納什的故事，他罹患精神分裂，卻做出了舉世無雙的貢獻，他和妻子阿麗莎的一生跌宕起伏，幾度分離別合，在晚年領獎回家的途中遭遇車禍，一起魂歸天國。

陳景潤（1933年 - 1996年）

1978年因為徐遲的報告文學《哥德巴赫猜想》而馳名大江南北的數學家陳景潤，也給人留下了不食人間煙火的傳奇。

歷史上這樣的故事不斷在數學家這個群體重複。大抵數學的創造是孤獨的，每一個偉大的靈感都需要數學家離群索居的獨立思考，並且長期處於孤僻的狀態。

對數學家而言，一個問題常常久思不得其解是家常便飯。沒有人能許諾數學家：經歷過風雨，就能見彩虹。尋找數學問題的答案好像探索未知的迷宮，只有他們自己在孤獨地尋找那條通往中心的道路，卻全然不知等待他們的，是餡餅還是陷阱。經歷了絕望、希望，再絕望、再希望，每個人的神經都會處於緊張和鬆弛的反覆交替中。探索的過程如果受到外界的干擾，則更容易迷途難返。

因此，數學家的路是註定是一條孤獨的小徑，數學家也在尋找真理的路途中形成了自己獨特的性格。這種性格，在大眾看來，就是無法理喻的古怪。

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憂鬱的哲學家

反觀哲學家，他們則大多具有詩人的憂鬱氣質。

從古希臘的源頭看，哲學的本質就是追求超脫和愛智求真。哲學家的問題往往具有全世界的普適性。他們追問人生的根本問題，通過自己對人生困境的觀察來反思這個世界。哲學家在尋求解決途徑的同時，付出過痛苦而又百折不撓的努力。他們帶著淚水和歡笑去感受和思考人生，最終提煉出充滿人生智慧的哲學思想。這樣的哲學也閃耀著人性的光輝。這和詩人的氣質不謀而合。

梁漱溟（1893年－1988年）

好的詩人，能寫出獨具眼光和深度的文字；好的哲學家，能留下遍灑激情和靈性的思想。在這個意義上來看，哲學家與詩人往往心靈相通，他們在尋求一個謎底的同時，承受著相同的煎熬。

那些流傳了千百年的詩詞，無數次走進過人們的內心。被人們世代傳頌後，每個人或多或少都有詩人的衝動，這也構成了人們理解哲學的基礎。哲學家用理性勾畫的藍圖，其實深藏在每個人的基因里。人們即便無法訴說，卻能感同身受。這也構成了人們能夠獨立表達個體哲學的基礎。

只不過，那些被用於解構人性本源、世界本質的哲學辭彙和推理，太過深奧，它們和艱深的數學定理一樣，成了人們無法逾越的思想鴻溝。慶幸的是，哲學的詩人氣質被人們繼承了下來，從而形成了個體哲學的百花齊放。

數學家&哲學家 我們都需要

人們害怕數學，因為它過於複雜，也不能指出明確的生存意義，更不能帶來明顯的幸福感。這就給哲學留出了空間。而柏拉圖曾經認為任何獻身於積極生活、參與到真理過程中的人，一定比那些尋歡作樂的人更加幸福。數學就提供了這樣一種可能。

數學的單純性和純粹性，杜絕了語言中的欺騙和模稜兩可，不受客觀世界和人為的干擾，成為了清晰無誤的自由表達。任何人都可以在其中體驗到追求真理的幸福。昔日的人們痛恨數學帶來的痛苦，卻忽視了數學最重要的不是知識，而是思想。數學的理性推理和思考方式為人們提供了科學解決問題的思路。

哲學則應擔負起精神啟迪和鼓舞的重責。在商業至上的社會裡，個人的幸福往往和物質的多寡緊密相連。失去了哲學引導的人生，就好像在黑夜裡獨自尋找人生的歸宿。物質的豐盈只能成為個人當下安全的保障，卻不能帶人看清前進的道路。哲學就好像遠方照射的一束光，指引著我們人生行動的方向。

數學和哲學，應該再度攜起手來，為世人共同帶來更多理性的光芒，更多靈魂的護航。讓我們再回頭看看柏拉圖的學園入口，「不懂幾何者，禁止入內」。其實，柏拉圖想告訴人們的，不懂數學的人不能進入的，不是他的學園，而是哲學的殿堂。

參考文獻：

[1]嚴春友 著《西方哲學新論》上卷 （中國社會科學出版社 2001）

[2]洪漢鼎 陳治國·主編《知識論讀本》 （中國人民大學出版社 2010）

[3]泰勒·主編 《從開端到柏拉圖》 韓東暉 聶敏里 馮俊 程鑫·譯 （中國人民大學出版社 2003）

[4]撒母耳·伊諾克·斯通普夫 詹姆斯·菲澤著 《西方哲學史》 匡宏 鄧曉芒等譯 鄧曉芒翻譯策劃 何兆武作序 （世界圖書出版公司 修訂第八版 2009）

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