數學中的大統一理論

文史 03-22

作者：佐佑

授權轉自：原理

哲學園鳴謝

羅伯特·朗蘭茲被授予2018年度阿貝爾獎——數學界的最高榮譽之一，以表彰他提出了連接表示論和數論的極具遠見的綱領。他所提出來的「朗蘭茲綱領」試圖構建數學中的大統一理論，這是一代代數學家所追求的目標。（獲得2018年數學新視野獎的年輕中國數學家張偉和惲之瑋的工作也是受到朗蘭茲哲學的啟發。）

現年81歲的朗蘭茲是普林斯頓高等研究院的榮譽退休教授，他所提出的朗蘭茲綱領探討的是現代數學中的兩大支柱——數論與調和分析——之間的深層聯繫。數論研究的數字之間的演算法關係，被認為是「最純」的數學領域；調和分析也是數學的一個分支，微積分就是從中發展出來的。在他之前，這兩個領域被認為是毫無關聯的，而它們之間的聯繫其實有著深遠的影響，被數學家用來解答與質數性質有關的問題。

朗蘭茲在數論和調和分析的深刻洞見包括提出了自守形式和代數數論的一般性原則，引進了L-函數的一般類，構建了艾森斯坦級數的理論，提出了解決阿廷猜想的特定情況的技巧，引進了「內窺」（Endoscopy），以及發展了聯繫志村簇的ζ函數和自守L-函數的技巧。

2016年，羅伯特·朗蘭茲出席了普林斯頓高等研究院舉辦的一次關於「超越內窺」的會議。| 圖片來源：Dan Komoda/Institute for Advanced Study

1967年，朗蘭茲首次闡述了這一構想，當時年僅30歲的朗蘭茲在一封寫給著名數學家安德烈·韋伊（André Weil）的信中提到了這一計劃，這是一個思考數學的全新方式。在這封17頁長的信中，他謙和的寫道：「如果您願意把它看作是純粹的推測，我會很感激；如果不願意，我相信您身邊就有一個廢紙簍。」

從那時起，一代又一代的數學家開始接受並擴展了他的構想。現在，朗蘭茲綱領所涵蓋的領域非常多，因此通常被認為是數學界的「大統一理論」。就數學史而言，這可以說是革命性的。

數學家一直想要找尋質數的規律。質數就像是數論的原子元素，是演算法研究的基礎。它們的數量是無限的，但它們的分布卻似乎是隨機地散落在數字中。為了找到質數中的規律，比如它們出現的頻率（即著名的黎曼假設的主題），數學家必須將它們與其他事物聯繫起來。準確說來，質數就像一個密碼，當你找到正確的閱讀密鑰時，它就變成了令人愉悅的信息。

質數看起來非常隨機，但通過朗蘭茲綱領，就會發現它們有著一個非常複雜的結構，能夠與各種其他事物聯繫起來。有一個與質數結構相關的問題是——哪些質數能用兩個質數的平方和表示，例如：

質數5 = 22+12

質數13 = 32 + 22

質數29 = 52 + 22

在17世紀，數論學家發現，所有能用兩個質數的平方和表示的質數都有一個共同性質——當它們除以4時，餘1。這一發現揭示了質數的一種隱藏結構。到了18世紀末期，數學家高斯（Carl Friedrich Gauss）對這一奇妙的關聯進行了概括，它的「互反律」用公式將那些等於兩個質數的平方和的質數，與除以4餘1這個特徵聯繫了起來。

在朗蘭茲的信中，他在高斯發現的互反律基礎上，提出了更廣泛的延伸。高斯的定律適用於指數不高於2的二次方程。但朗蘭茲認為，在三次、四次等高階方程中產生的質數，應該與調和分析成互反關係。

調和分析被頻繁的運用於物理問題的解決。例如在19世紀，科學家驚奇地發現，當通過稜鏡觀察星光時，並沒有觀測到連續的光譜。相反，光譜會被出現在各處的黑線所中斷，我們現在稱這些黑線為吸收光譜。後來科學家們終於意識到，失蹤的光線是被恆星中的元素所吸收。於是這一發現為證明恆星與地球是由相同的材料構成提供了強有力的證據。

與此同時，光譜線也成為具有數學意義的存在。缺失的那些光波給出了一系列失蹤光頻的數字。數學家可以通過分析來研究這些數字；或者，他們還可以用從物理學問題中得到的啟發，但又純粹源自於分析和幾何學中發展出的全新方程式來進行研究。基於這些新的方程，他們可以研究吸收光譜的一種並行概念。

朗蘭茲綱領就將多項式方程的質數值與分析和幾何學中研究的微分方程的譜相聯繫到一起，並認為這兩者之間應該存在互反關係。因此，我們應該能通過了解哪些數字出現在相應的光譜中，來表示哪些質數出現在特定的情況中。

不過這兩組數字不能被直接比較，它們必須都通過不同的數學對象進行翻譯。具體而言，基於質數的伽羅瓦表示法應該與包含相關光譜的自守形式配對。

如今，研究朗蘭茲綱領的數學家正試圖證明這種關係以及其他許多相關的猜想。與此同時，他們正在用朗蘭茲型的聯繫來解決那些本看似遙不可及的問題。其中最著名的成果是數學家安德魯·懷爾斯（Andrew Wiles）在上世紀90年代初對費馬大定理的證明。懷爾斯的證明部分取決於朗蘭茲早在幾十年前就預言過的數論和分析之間的關係。