數學——因抽象而升華

黃森 編譯

為什麼數學如此的深奧難懂？許多學生在解決特別複雜的微積分問題時都會提出疑問。

其實數學並非生來如此。在確定基本規則和概念之前，數學的許多領域都是從現實世界問題的研究中發展而來。這些規則和概念被定義為抽象結構。例如，代數是數學的一個分支，使用字母和其它通用符號表示公式和方程中的數和量部分，是為解決算數問題而誕生的。當人們試圖解決現實世界中的距離和面積問題時，幾何便應運而生。

從具體事物到抽象場景轉移的過程，足以被理解為抽象。通過抽象，抽取出數學的本質屬性，人們不再需要依靠現實世界中的物體來解決數學難題。這種演變對數學的發展是必要的，對其它科學學科也非常重要。

為什麼說這種演變非常重要呢？因為抽象在數學中的發展，賦予了化學、物理學、天文學、地質學、氣象學等學科解釋自然界中發生的各種複雜的物理現象的能力。如果你掌握了數學抽象的過程，你便能更好的解釋譬如物理學、化學等科學學科中發生的抽象問題。

從現實世界到抽象世界

最早有關抽象的例子是人們在符號存在之前的計數方式。例如，在沒有類似於數字的符號系統時，一個牧民要跟蹤他的羊群數量，應該通過什麼方式來保證自己的綿羊沒有走失或被偷走？

辦法是找到一大堆石頭。然後他把羊一隻只的趕到羊圈裡,每進去一隻羊，他便將一個石頭堆放在一邊。當所有的羊都進入羊圈後，他扔掉剩餘的所有石頭，並留下那堆能夠代表羊群綿羊數量的石頭。每當他需要清點綿羊數量時，他便拿出石頭和每隻羊進行核對。如果石頭有剩餘，這意味著一些羊可能丟失或者被人偷走。這種一一對應的方式能夠幫助牧羊人追蹤他的羊群。而現在，人們可以使用阿拉伯數字0、1、2、3、4、5、6、7、8、9來表示任何數。

這是一個關於抽象的強大案例。我們已經從真實世界的物體石頭和綿羊轉移到了抽象世界。抽象揭示了數學的不同領域更深層次的聯繫。一個領域的結果可以作為概念和想法在相關領域進行探索。偶爾一個領域開發的方法和技術可以直接應用到另一個領域來創建相似的結果。

強化抽象，重在教學

當然，抽象也存在許多缺點。許多大學級別的數學科目，如微積分、實分析、線性代數、拓撲學、範疇論、泛函分析、集合論等都是非常先進的抽象例子。這些概念可能非常晦澀難懂，往往很難形象化，規則極不直觀，很難操縱或推理。這意味著學生需要一定程度的數學功底來消化從具體到抽象的轉變。

許多高中學生，特別是來自發展中國家的高中生，在智力成熟度不高的情況下進入大學，接觸抽象世界。因為高中時代的數學教學方法，許多學生在苦苦掙扎，甚至萌生了放棄學習數學的想法。其實僅僅是因為在高中沒有正確的學習方法，這些學生便認為自己不適合學習數學。

老師和講師們需要意識到學科中的抽象問題，並通過具體實例來演示抽象概念，從而提高學生的抽象思維。同時，實驗也有助於提高和鞏固學生的抽象概念。

這種教學原理在很多學校的教學系統中已經得到應用，以幫助兒童提高自身的抽象思維。同樣，這種方法也可以用於其它科學。

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