什麼是龐加萊猜想？它有何魅力能讓四位數學家獲得菲爾茨獎

首先，大家一起來試想一個場景：每個人手裡都拿著一個蘋果，假如我們在這個蘋果表面圍繞一個可以伸縮的橡皮帶，要求既不扯斷它，也不能讓它離開蘋果的表面，最終我們發現這個橡皮帶可以慢慢移動收縮成一個點。

你能想像到這個場景嗎？

如果大家覺得很難理解，非常抽象的話，我們再換一個場景試試。

把我們居住的房間想像成一個球形體，一個球形的房間。同時，要求這個球形房子沒有窗戶、沒有門，有足夠的多空氣供大家呼吸。現在每個人手裡都拿著一個氣球，來到這個球形的房間里，我們把這個氣球吹大（假設氣球非常結實，氣球的「皮」是無限薄，且不能被吹破）。

假如我們一直吹這個氣球，吹到最後會怎麼樣呢？一位法國數學家龐加萊猜想，氣球吹到最後，一定是氣球表面和整個球形房子的牆壁表面緊緊地貼住，中間沒有縫隙。

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這樣理解起來是不是相對容易很多？

換句話說，我們把一個等同球形房間大小的氣球，可以慢慢收縮成一個「點」，這就是數學史上非常著名的龐加萊猜想。

了解什麼是龐加萊猜想，我們先簡單了解一下什麼是拓撲學。

拓撲學是研究幾何圖形或空間在連續改變形狀後還能保持不變的一些性質的學科。

拓撲學只考慮物體間的位置關係，而不考慮它們的形狀和大小。

在拓撲學裡，最重要的拓撲性質包括連通性與緊緻性。

因此，無論是圍繞蘋果表面橡皮帶，還是可以「填充」整個球形房間的氣球，在這個伸縮過程中，保證了連通性與緊緻性。

居於這些假設，在1904年，法國數學家亨利?龐加萊提出了一個看似簡單的拓撲學猜想：在一個三維空間中，假如每一條封閉的曲線都能收縮到一點，那麼這個空間一定是一個三維的圓球。

在1905年，龐加萊發現其中的錯誤，從而修改為：「任何與n維球面同倫的n維封閉流形必定同胚於n維球面。」

任何一個單連通的，閉的三維流形一定同胚於一個三維的球面。

更直觀地講：

一個閉的三維流形就是一個有邊界的三維空間；

單連通就是這個空間中每條封閉的曲線都可以連續的收縮成一點，或者說在一個封閉的三維空間，假如每條封閉的曲線都能收縮成一點，這個空間就一定是一個三維圓球 。

後來，這個猜想被推廣至三維以上空間，被稱為「高維龐加萊猜想」。

龐加萊

誰是龐加萊？

龐加萊全名是亨利?龐加萊（1854年~1912年），他是一名法國數學家、天體力學家、數學物理學家、科學哲學家。

龐加萊的研究涉及數論、代數學、幾何學、拓撲學、天體力學、數學物理、多複變函數論、科學哲學等許多領域。

龐加萊在數學方面的傑出成就對20世紀和當今數學的發展具有極其深遠的影響，他在天體力學方面的研究被譽為是牛頓之後的一座里程碑，他因為對電子理論的研究被公認為相對論的理論先驅。

因此，龐加萊被公認是19世紀後四分之一和二十世紀初的領袖數學家。

跟哥德巴赫猜想一樣，龐加萊猜想的出現也讓無數的數學家陷入瘋狂，為了能證明這個猜想，很多數學家絞盡腦汁，傾其一生，前後長達一個多世紀才完成此猜想的證明，更是讓三位數學家陸續獲得了菲爾茨獎。

其實，龐加萊本人提出這個猜想之後，一度認為自己能夠證明它，經過無數次努力，發現有生之年無法證明這個猜想。之後，一些數學家，特別是拓撲學家們開始了證明這個猜想的征途。

龐加萊

在龐加萊猜想提出到19世紀60年代之間，很多數學家進行大量的證明工作，雖取得一些成就（如發展出低維拓撲學這門學科），但離完全證明猜想還很遙遠，這也讓龐加萊猜想成為出了名難證的數學問題之一。

美國數學家斯梅爾在60年代初想到了一個「捨近求遠」辦法：如果三維的龐加萊猜想難以解決，那就先證明高維的加萊猜想。

在1961年的夏天，在基輔的非線性振動會議上，斯梅爾公布了自己對龐加萊猜想的五維空間以及五維以上的證明，一下子就引起數學界的轟動。

因此，斯梅爾獲得1966年菲爾茨獎。

在1983年，美國數學家福里德曼又將證明向前推動了一步，他證出了四維空間中的龐加萊猜想，並因此獲得菲爾茨獎。

雖然數學家都證明高維的龐加萊猜想，但總是無法踏入三維的龐加萊猜想。

如數學家瑟斯頓應用其他的工具，引入了幾何結構的方法對三維流形進行切割，並因此獲得了1983年的菲爾茨獎。

菲爾茨獎

至此，雖然還沒有證明三維的龐加萊猜想，但人們已經看到了希望。為了鼓勵數學界能更快證明這一猜想，美國克雷數學研究所在2000年5月24日，把龐加萊猜想列為七個「千禧年大獎難題」之一，只要能解答成功，就能拿走百萬美元大獎。

俄羅斯數學家格里戈里?佩雷爾曼在前人的基礎之上，花費8年的時間去研究和證明三維的龐加萊猜想。在2002年11月和2003年7月之間，佩雷爾曼將3份關鍵論文的手稿粘貼到一個專門刊登數學和物理預印本論文的網站上，並用電郵通知了幾位數學家，聲稱自己證明了龐加萊猜想。

2006年，數學界最終確認佩雷爾曼的證明解決了龐加萊猜想。

雖然佩雷爾曼證明龐加萊猜想，但他一生淡泊名利，拒絕很多獎項，如直接菲爾茨獎。因此，從某種角度來說，龐加萊猜想讓四名數學家獲得了有「數學諾貝爾獎」之稱的菲爾茨獎。

佩雷爾曼

從龐加萊提出猜想，到佩雷爾曼完成證明，前後經歷長達一個世紀的時間，中間有許多數學家為了能證明這個定理，耗盡一生的精力。

有人會問，花那麼多時間和精力去證明一個猜想有什麼意義呢？數學符號或數字看起來或許沒有什麼意義，但它是推動人類發展的工具，更是靈魂。人類在這個證明過程中，不要說對數學發展的意義，更是讓人類的思維方式、思維的廣度和深度、邏輯能力、哲學等等，都得到前所未有的發展。

同時這也體現數學的嚴謹性，數學的公式或定理不是靠猜測，需要有嚴謹的邏輯證明推理過程，這也讓數學成為一個解決本學科或其他學科問題的重要工具。

就像龐加萊猜想作為拓撲學中一個具有基本意義的命題，將有助於人類更好地研究三維空間，加深人們對流形性質的認識，更好的去探索未知世界。

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