維度：數字漫步

人們總是喜歡用這樣一個類比：想像生活在三維空間中的一張二維平面畫中的扁片人，不管這幅畫多麼豐富多彩，其中的二維人只能看到周圍世界的側面，在他們眼中，周圍的人和事物都是一些長短不一的線段而已。只有當一個二維扁片人從畫中飄出來，進入三維空間，再回頭看那幅畫，才能看到畫的全貌。

這個類比，其實也只是進一步描述了四維感覺的不可描述。

高維空間的概念由19世紀數學家 路德維希·施萊夫利 (Schl?fli symbol)提出。四維空間不同於四維時空，四維時空指的是閔可夫斯基空間概念的一種誤解。人類作為三維物體可以理解四維時空（三個空間維度和一個時間維度）但卻無法認識以及存在於四維空間，因為人類屬於第三個空間維度生物。

我們知道線是一維空間的基本單位，如果一個二維生物要向一維生物解釋什麼是二維單位，它該怎麼說呢？它會說你把四條線兩兩交叉放在一起，就形成了四邊形。但是對於一維生物來說，它只能想像四條線頭尾相接的放在一起，卻不能想像它們交叉。如果非要讓一維生物理解二維的四邊形，只能跟它們描述：「把四條線以你們不能想像的方式排列」。

同理，如果要向二維生物解釋什麼是三維單位，我們可以說把六個正方形以你們無法理解的方式排列，就能得到正方體的表面，但我們要知道二維生物能想像的方式只有六個正方形同時畫在一張紙上。

所以，如果我們想要想像一個四維單位，那麼把n個正方形以特定的方式排列起來，就可以得到一個四維單位的表面。這裡n是一個有限的數，不是infinite, 也許是8，也許是10，是具體什麼不重要，而這些正方形排列的方式絕對不是碼積木那樣，而是以一種我們無法理解的方式延伸到了另一個維度。

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借用《三體-死神永生》對四維空間的描述——我們在三維空間中稱之為廣闊、浩渺的這類東西，會在第四個維度上被無限重複，在那個三維世界中不存在的方向上被無限複製。他們常常用兩面相對的鏡子來類比：這時在任何一面鏡子中都可以看到被複制的無數面鏡子，一個向深處無限延伸的鏡子長廊，如果作為類比，長廊中的每面鏡子就都是一個三維空間。或者說：人們在三維世界中看到的廣闊浩渺，其實只是真正的廣闊浩渺的一個橫斷面。

描述高維空間感的難處在於，置身於四維空間中的人們看到的空間也是均勻和空無一物的，但有一種難以言表的縱深感，這種縱深不能用距離來描述，它包含在空間的每一個點中——方寸之間，深不見底啊！

感受高維空間感是一場靈魂的洗禮，在那一刻，像自由、開放、深遠、無限這類概念突然都有了全新的含義。

圖片 | 數學與統計學院

文案 | 數學與統計學院 李炫

編輯 | 數學與統計學院 石霞

責編 | 數學與統計學院 蔣曉昆 曾悅

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