為了將數學徹底形式化，無數位數學家前仆後繼卻仍然不得其果

悖論的產生

科學的發展

今天，超模君來跟大家聊聊數學史上的三次大危機吧。

無理數的發現

在公元前580～568年間，古希臘畢達哥拉斯學派的希伯索斯發現邊長為1的正方形的對角線長度（根號2）既不是整數，也不能用整數之比來表示。

這不僅嚴重地違背了畢達哥拉斯學派的信條（萬物皆為數），也衝擊了當時希臘人的傳統見解。當時希臘數學家們對此深感不安，希伯索斯還因此遭到沉舟身亡的懲處。

無理數的發現以及芝諾悖論引發了第一次數學危機。

芝諾認為：一個人從A點走到B點，要先走完路程的1/2，再走完剩下總路程的1/2，再走完剩下的1/2……如此循環下去，永遠不能到終點。

假設此人速度不變，走一段的時間每次除以2，時間為實際需要時間的1/2+1/4+1/8+......，則時間限制在實際需要時間以內，即此人與目的地距離可以為任意小，卻到不了。

實際上是這個悖論本身限定了時間，當然到達不了。。。

過了兩百年，希臘數學家歐多克斯和阿契塔斯兩人給出了「兩個數的比相等」的新定義，建立起一套完整的比例論，其中巧妙避開了無理數這一「邏輯上的醜聞」，並保留住與之相關的一些結論，緩解了這次數學危機。

然而，「世界萬物皆為整數或整數比」的錯誤並沒有解決，歐多克斯只是藉助幾何方法，直接避免無理數的出現。

直到1872年，德國數學家對無理數作出了嚴格的定義，無理數本質被徹底搞清，無理數在數學中合法地位的確立，才真正徹底、圓滿地解決了第一次數學危機。

貝克萊悖論

十七世紀後期，牛頓、萊布尼茨創立微積分學，成為解決眾多問題的重要而有力的工具，並在實際應用中獲得了巨大成功。

然而，微積分學產生伊始，迎來的並非全是掌聲，在當時它還遭到了許多人的強烈攻擊和指責，原因在於當時的微積分主要建立在無窮小分析之上，而無窮小後來證明是包含邏輯矛盾的。

喬治·貝克萊

原來，在1734年，英國哲學家喬治·貝克萊出版了名為《分析學家或者向一個不信神數學家的進言》的一本書。

在這本書中，貝克萊對牛頓的理論進行了攻擊，指出求x2的導數時，會出現如下矛盾：

貝克萊認為這是依靠雙重錯誤得到了不科學卻正確的結果。

如此，無窮小量在牛頓的理論中一會兒是零，一會兒又不是零。貝克萊因此嘲笑無窮小量是「已死量的幽靈」。

貝克萊的攻擊其實是出自維護神學的目的，但對於牛頓的理論卻是致命一擊。

無窮小量究竟是不是零？無窮小及其分析是否合理？這引起了數學界甚至哲學界長達一個半世紀的爭論，導致了數學史上的第二次危機。

18世紀的數學思想的確是不嚴密的，執著於直觀地強調形式的計算而不管基礎的可靠。其中特別是：沒有清楚的無窮小概念，從而導數、微分、積分等概念也不清楚，無窮大概念不清楚，以及發散級數求和的任意性，符號的不嚴格使用，不考慮連續就進行微分，不考慮導數及積分的存在性以及函數可否展成冪級數等等。

第一個對這次數學危機提出真正有見地意見的是來自法國的數學家達朗貝爾。

達朗貝爾

他在1754年指出，必須用可靠的理論去代替當時使用的粗糙的極限理論。但是他本人未能提供這樣的理論。

最早使微積分嚴謹化的是拉格朗日。為了避免使用無窮小推斷和當時還不明確的極限概念，拉格朗日曾試圖把整個微積分建立在泰勒式的基礎上。

拉格朗日

不過，這樣一來，考慮的函數範圍就變窄了，同時也導致了不用極限概念就無法討論無窮級數的收斂問題。

因此，拉格朗日的以冪級數為工具的代數方法也未能解決微積分的奠基問題。

到了十九世紀，先後有眾多傑出的數學家為微積分學的奠基工作而努力。

柯西

其中，起關鍵作用的就屬法國數學家柯西了。

他於1821年給出了分析學一系列基本概念的嚴格定義。開始用不等式來刻畫極限，使無窮的運算化為一系列不等式的推導。這就是所謂極限概念的「算術化」。

在柯西的努力下，連續、導數、微分、積分、無窮級數的和等概念也建立在了較堅實的基礎上。

不過，在當時情況下，由於實數的嚴格理論並未建立，所以柯西的極限理論還不可能完善。

重要的是，柯西之後，魏爾斯特拉斯、戴德金、康托爾各自經過自己獨立深入的研究，都將分析基礎歸結為實數理論，並各自建立了自己完整的實數體系。

經過數位傑出數學家對於微積分學基礎概念的重建後，第二次數學危機才終於得以解決。

但是，新的問題又出現了，魏爾斯特拉斯給出一個處處不可微的連續函數的例子，說明直觀及幾何的思考不可靠，而必須訴諸嚴格的概念及推理。

於是，數家們繼續更深入地探討數學分析的基礎問題：實數論的問題。

這就導致了集合論的誕生。

羅素悖論

在十九世紀下半葉，康托爾創立了集合論。

康托爾

像微積分的產生一樣，集合論的產生也遭到了猛烈的攻擊。

不過，在不久後，數學家們發現，「一切數學成果可建立在集合論基礎上」。

就在1900年，國際數學家大會上，希爾伯特高調宣稱：「……藉助集合論概念，我們可以建造整個數學大廈……今天，我們可以說絕對的嚴格性已經達到了……」

凡事無絕對，果然，在1903年，數學家們發現集合論其實有個大漏洞！

其中最突出的漏洞就源於英國數學家羅素提出的一個悖論：所有不包含自身的集合的集合，它到底包不包含自身呢？如果它包含自身，那麼它就不是不包含自身的集合，所以也就不是所有不包含自身的集合的集合的元素。如果它不包含自身，那它理應是所有不包含自身的集合的集合的一個元素。這樣的一個集合，包不包含自身，都必將引發矛盾。（繞口令。。。）

對於羅素悖論，有一個通俗的故事可以解釋，就是「理髮師悖論」。

/注意！前方強西君出沒！/

最近，京西旅館迎來了一位理髮師（男），他宣稱：「本人理髮技藝在小鎮上是數一數二的，如今，我來到京西旅館暫住，為感謝劉老闆的熱情款待，我將為本旅館所有不給自己刮鬍子的人刮鬍子，我也只給這些人刮鬍子！」

於是，來找他刮鬍子的人絡繹不絕。。。（當然，這些都是不給自己刮鬍子的人）

可是，幾天後，劉強西溫馨提醒這位理髮師：你自己也該刮鬍子了。

此時，理髮師無比糾結：到底該不該給自己刮鬍子？

如果他不給自己刮鬍子，他就屬於「不給自己刮鬍子的人」，那他就要給自己刮鬍子。

而如果他給自己刮鬍子呢？他又屬於「給自己刮鬍子的人」，他就不該給自己刮臉。。。

羅素悖論一經提出便在當時的數學界與邏輯學界內引起了軒然大波，直接導致了第三次數學危機！

弗雷格

德國數學家弗雷格在收到羅素介紹這一悖論的信後無比傷心地表示：一個科學家所遇到的最不合心意的事莫過於是在他的工作即將結束時，其基礎崩潰了。羅素先生的一封信正好把我置於這個境地。

那麼，這次危機是如何得到解決的呢？

事實上，在這次危機爆發後很長一段時間內，數學家們曾試圖對「集合論」的定義加以限制，進而排除悖論。認為只要不允許包含自身的集合存在，這也就談不上是什麼問題了。。。

顯然，這樣根本解決不了危機。

直到1931年，哥德爾提出了一系列不完備定理並予以證明：

①任意一個包含一階謂詞邏輯與初等數論的形式系統，都存在至少一個命題：它在這個系統中既不能被證明也不能被證否。

②如果一個形式系統含有初等數論，當該系統自洽（所有公理都不互相矛盾）時，它的自洽性不可能在該系統內證明。

哥德爾

至此，這場關於數學基礎的爭論終於結束，同時也宣告了把數學徹底形式化的願望是無法實現的。

歷史上的三次數學危機，雖然給人們帶來了極大的麻煩，但是危機的產生使人們認識到了現有理論的缺陷，並不斷去完善，由此，數學也會得到新的發展，甚至會有革命性的的變革！

事實上，悖論的產生往往預示著科學的發展，可以說，悖論是科學發展的產物，是科學發展源泉。

本文系網易新聞·網易號「各有態度」特色內容

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