誰引進了倒格子？Laue，Bragg，Bragg及Ewald的工作

備課物理學史中。考慮到x射線相關的諾貝爾獎有不下10個，有必要為之專門做一講。

在讀一些原始文獻時，發現一些有趣的歷史。

x射線是德國人Roentgen在1895年發現的（當時中國人在經歷甲午海戰，公車上書，福建船政學堂的學生們在跟著英法洋教員拿著外文原版教材學習平面幾何，微積分等）。但是Roentgen只是發現有這樣一種新東西，因為是未知的，所以他稱之為x-Strahlen（x-ray）。搞清楚這種射線究竟是什麼，是後來很多人的工作。比如一開始，Roentgen以為他發現了以太的一種新的振動模式。他也懷疑過這種射線本質是光，但是經他細緻實驗，這種射線沒有任何可觀的折射，衍射等行為，所以他很猶豫。

在Roentgen之後，英國的Barkla對認識這種新射線有重要貢獻。通過一個非常巧妙的實驗，Barkla對x射線進行了檢偏，證實x射線具有偏振性質，提供了x射線是電磁波的一個關鍵證據。他還發現了一些元素的特徵x射線。因為這兩方面的工作，他於1917也得獎了。

在Barkla之後，Laue於1912年發現了x射線在晶體中的散射現象。這是x射線歷史上的大事件。主要貢獻者Laue是個理論物理學家。據說他在跟Ewald閑談的時候，突發奇想，意識到x射線可能被晶體像可見光被光柵散射那樣散射。他當時在大牛Sommerfeld手下工作，但是Sommerfeld不看好他的想法（原因不明）。但是不管怎樣，Laue還是拉了兩個實驗物理學家（Friedrich和Knipping）幫忙驗證他的想法。結果相當好。

在今天看來，Laue發現的現象是普通物理級別的，其原理跟普通物理中光學光柵沒有區別。差別僅僅在於，通常教材上講的光柵只在一個維度上周期，而晶體在三個維度上周期。對此，Laue在其原始論文里寫道

Eine erhebliche Komplikation freilich bedeutet es, dass bei den Raumgittern eine dreifache Periodizitaet vorliegt, waehrend man bei den optischen Gittern nur in einer Richtung, hoechstens (bei den Kreuzgittern) in zwei Richtungen periodische Wiederholungen hat.

他認為從一維到三維，問題變得顯著地困難！

今天看來，Laue顯然沒有及時發展出理解他的偉大發現的數學框架。這個框架就是今天固體物理里基本的倒格子，在此框架下，無論是光柵散射還是晶體散射，各級散射極大方向K_f均由Ewald方程給出，即

K_f - K_i = G，

其中G為某個非零倒格子矢量。這個方程對任意維度成立。只不過，在一維，方程肯定有解，而在三維下，則不一定。如果非要說三維相比一維更複雜，那麼就是這一點更複雜。

Laue的物理圖像還是非常清楚的，所以他輕鬆就推導了所謂的Laue方程

這個方程跟上面Ewald的方程等價，但是遠沒有Ewald方程簡潔優美。也許是這個複雜的形式讓Laue說三維光柵比一維光柵複雜得多。

在Laue之後，英國的Bragg父子也給了一個散射極大的方程，即所謂的Bragg law。其表述見以下截圖（來自其原始文獻）

這個方程出現在各種普通物理教材中。這個方程將x射線的波長與晶體面間距，散射角度等聯繫起來。但是這是一個莫名其妙的方程。其推導一般基於下圖

他們的圖像是，x射線被一個一個晶面反射，然後考慮相鄰晶面之間的干涉。在圖中，他們假設不同層中原子的水平位置是一樣的。這顯然是個過分的假設，不同層上的原子為什麼不可以在水平上錯開呢？他們考慮的是非常特殊的晶體結構，貌似是立方晶體，這相比Laue考慮的一般晶體結構，甚至還倒退了！儘管他們的文章是在Laue之後。

得到形式比較簡潔幾何意義非常明確的的公式的是Ewald。

但是即便他的工作也不完美。在他的文章中，他上來就假設四方晶體！只有對這種晶體，他定義了倒格子。reziprokes Gitter明確出現在他的論文里。不過以他名字命名的構造（Ewald construction）不需要作任何修改。博主恰好可以看懂這一段：

也可以見圖

圖中圓經過的格點就對應著散射極大。顯然存在這種可能，即沒有格點嚴格落在圓上。但是不要緊，靠近就行，畢竟實際晶體是有限大小。

從這些做著開創性工作的牛人的原始文章可以看出，在1913年，一個格子的倒格子對絕大部分物理學家來說還是個陌生的概念。通常大家在講海森堡創立矩陣力學的時候，矩陣對物理學家是個陌生的概念。現在看來，x射線散射又提供了一個證據，即在那時線性代數，矩陣等遠沒有被物理學家掌握。在今天，一個矢量空間上的線性泛函，其對偶空間已經成為大學線性代數的基本內容，算個倒格子無非算個矩陣的逆矩陣而已。

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