哥德爾定理：對盧卡斯一彭羅斯論證的新辨析劉大為

哥德爾定理

對盧卡斯一彭羅斯論證的新辨析

劉大為

作者簡介：劉大為(1980一)，男，湖南長沙人，湖南師範大學哲學系講師，研究方向為現代邏輯、科技哲學。長沙410081

原發期刊：《科學技術哲學研究》第34卷，第4期2017年8月Vo1．34No．4Aug．，2017

摘要：盧卡斯和彭羅斯先後論述，利用哥德爾不完全性定理可以得出人心勝過機器(圖靈機)，心靈是不可計算的，現在這被統稱為盧卡斯一彭羅斯論證。盧卡斯一彭羅斯論證中最主要的焦點就在於所謂的「一致性或健全性前提」，盧卡斯和彭羅斯堅持回應各種質疑，認為可以知道我們(心靈)是一致的。事實上，盧卡斯一彭羅斯論證需要加上一些理想化的假設，尤其應該對彭羅斯論證中「F是健全的」這一斷言予以澄清和補充。費弗曼指出彭羅斯論證的疏忽，試圖調和機械論和反機械論的完全對立，並提出開放模式的公理系統表示心靈的數學能力。由對數學實踐的分析闡述費弗曼論證存在不足之處後，在借鑒盧卡斯一彭羅斯論證和費弗曼論證的基礎上，考慮數學理解力和環境的重要性，嘗試提出基於完全開放的數學形式系統的心靈模型。

關鍵詞：哥德爾不完全性定理；盧卡斯一彭羅斯論證；心靈與機器；一致性；開放形式系統

一、哥德爾的觀點

哥德爾不完全性定理是2O世紀現代邏輯中最著名的定理之一，它不僅深刻改變了數學基礎，更影響到哲學、計算機科學等其他領域。哥德爾第一不完全性定理為：任何含有一定量初等算術的形式系統S，如果是一致的(consistent)，那麼存在一個算術語句G，使得G和-3G在s中都不可證；哥德爾第二不完全性定理為：對這樣的形式系統S，如果是一致的，那麼S的一致性在S中不能證明。

許多人將不完全性定理應用到心靈哲學，其中最引人注目的爭論莫過於「人心是否勝過計算機?」。在這一持久的爭論中，許多邏輯學家、哲學家和科學家紛紛加入進來。1961年，哲學家盧卡斯(Lucas)首先發表了《心、機器、哥德爾》，他論證哥德爾定理表明心靈不是一台計算機(圖靈機)。隨後，物理學家彭羅斯(Penrose)在1989年的《皇帝新腦》和1994年的《心靈之影》(Shadowsofthemind)中提出了哥德爾式的論證，同樣闡明了其反機械論的立場。盧卡斯和彭羅斯的觀點引起了激烈的大討論，眾多的反對意見不斷出現。但事實上，一些反對者並未認真理解盧卡斯和彭羅斯的論證就輕率地提出質疑。而對另外一些有深刻價值的質疑，盧卡斯和彭羅斯也做出了回應和辯護，並一直延續到今天。現在人們把他們影響深遠的觀點統稱為盧卡斯一彭羅斯論證。由於國內很多文獻只主要涉及了國外最初對盧卡斯一彭羅斯論證的反駁，而並未探討他們後來的回應，因此有必要對該論證的來龍去脈做一澄清和辨析。

哥德爾本人對心靈和機器的關係也有自己的觀點，他在1951年吉布斯演講的第一部分中強調了如下的二分法(dichotomy)：「或者人心(甚至在純數學領域)無限地超越任何有窮機器的能力，或者存在絕對不可解的丟番圖問題。」這裡的丟番圖問題是指初等數論中真值將要被確定的命題，哥德爾證明了一個形式系統的一致性就可以等價於一個丟番圖問題。這裡的有窮機器是指圖靈機，而圖靈機又可以等價於形式系統，因為一個形式系統的所有定理集合哈好可以由一台圖靈機遞歸枚舉出來。於是哥德爾二分法可以有如下解釋：如果人心等價於一個形式系統S，那麼那麼存在為真且永遠不能被人心證明的陳述，即s是一致的形式表達Cons(S)；如果不然，那麼對每個一致的形式系統s，存在人心可證而在S中不可證的陳述。該論證默認了人心是一致的，否則它等價於一個能夠證明所有陳述的形式系統。

需要指出的是，雖然哥德爾謹慎地闡述了二分法的第二析取支有可能成立，但是現在有很多在吉布斯演講以外的證據表明，哥德爾其實是相信反機械論者的主張的，如同在二分法第一析取支所表達的那樣，即心靈勝過機器。例如，在哥德爾與王浩關於心靈和機器的非正式交流中，就多次體現了這一點。那麼為什麼哥德爾在吉布斯演講中不直接闡明，而採用了更小心的二分法呢?原因就在於他還沒有無懈可擊的證據來證明機械論者是錯誤的。雖然由於哥德爾定理的發現，在數學上沒有證據支持機械論，但隨著物理化學和大腦生理學的不斷進步，不排除數學以外的經驗科學有可能提供這樣的證據。因此哥德爾所擔心的是機械論者經驗主義的辯護。（1）

二、盧卡斯的論證與分析

哲學家盧卡斯的論證可以概括如下：考慮一台建造好的候選機器，恰好產生人心能夠證明為真的數學語句，該機器又對應於一個形式系統，即它輸出的斷言就相當於形式系統的定理。現在我們對該形式系統構建一個哥德爾語句，因為哥德爾語句不能在系統中證明，所以這個機器也不能產生哥德爾語句作為算術真。但是人卻可以看出這個語句為真，換句話說，存在至少一件事人心可做而機器不能做。因此人心不是機器。（2）

普特南(Putnam)等許多反對者首先就質疑盧卡斯的一個前提，即必須知道人心是一致的。假如人心是不一致的，那麼機械論者完全可以聲稱人心是一台圖靈機且對應於不一致的形式系統。此時盧卡斯論證就失效了，因為不一致的系統能證明任何斷言，該機器也就同樣能夠證明哥德爾語句。類似地，假如不知道人心是一致的，也就無法確定盧卡斯的結論成立與否。然而事實上，對這個問題反對者們並未仔細去理解盧卡斯的論證，盧卡斯早在最初的原文中就已考慮了這種反對意見，並且後來又多次做出了回應。盧卡斯認為，人具有自我意識，也是會反思的。雖然人有的時候是不一致，但這並不意味著我們等價於不一致的系統，因為人的不一致是一種過失而不是固定的策略。當我們覺察到自己的某處不一致後，我們通常都會去除它。反之，如果人真的是不一致的機器，那麼我們應該保持滿足於自身的不一致，並且樂意肯定矛盾命題，而且我們會潛在地認可任何命題，因為從矛盾可以推出任何命題。但實際上顯然不是這樣，比如人們不會認為今天太陽從西邊升起，因此本質上，人是可能犯錯的但卻不會是不一致的。（3）總之，盧卡斯斷言，我們知道任何合理表示心靈的圖靈機必須是一致的。

貝納塞納夫(Benacerraf)等機械論者進一步提出質疑。如果造出了一台機器S可以達到心靈的水準，但由於它太過複雜，無法提供完全的細節描述，人心就不知道這台機器是否是一致的，因此人心同樣也不能看出其哥德爾語句G為真。因為哥德爾定理只是說如果S是一致的，那麼G是真的，即Cons(S)一G。這時盧卡斯不能由「我知道(Cons(S)一G)」錯誤地推導出「Cons(S)一我知道G」，而機器也知道(Cons(S)一G)，所以人心並未超越機器。盧卡斯同樣做出了回應，首先他巧妙地將問題的重擔拋回給了機械論者，認為只有詳細的描述被給出，才符合機械論自身的要求。這是機械論者的責任說明它的機器是否一致，機器的一致性不是由心靈的數學能力建立的，而是由機械論者所決定。如果機械論者無法回答他的機器是否一致，那就是他的前期工作還不合格。對機械論者這種只提供一個黑箱而迴避問題的方法，盧卡斯反問道，如果不能提供其內部細節，我怎麼知道黑箱裡面是一台機器而不是藏著一個人呢。盧卡斯還指出雖然不能在某個系統內部證明該系統的一致性，但存在其他的方法可以知道形式系統是否一致。當可以證明定理0=1時，系統就是不一致的。同樣對命題邏輯和一階謂詞邏輯的一致性也已經有有窮的證明方法，尤其甘岑用超限歸納法證明了PA的一致性。所以我們可以在系統外和更寬泛的條件下證明系統的一致性。然後，盧卡斯對機械論者提出了測試方法，不僅可以合理地問機械論者他的機器的詳細描述是什麼，更可以問他的機器是否一致。如果機械論者回答不是，那麼該機器就沒有通過盧卡斯的測試，因為它會證明所有命題，所以不是心靈的合理表示。如果機械論者聲稱是，那麼該機器就可以進入下一輪測試，但這時機器不能夠證明它的哥德爾語句，而我們已經知道它是一致的了，所以可以知道哥德爾語句為真。盧卡斯對機械論者提出了一種兩難困境，無論機械論者聲稱他的機器是否一致，都推導出該機器不等價於心靈。（4）

弗蘭岑(Franz6n)對此又提出了質疑，他認為盧卡斯的這個評述有點奇怪，因為機械論者聲稱他的機器是一致的並不能保證人能夠證明或者知道這個機器是一致的，最多只能使人相信他而已。_5jl埽在筆者看來，弗蘭岑的質疑雖然有道理，但並未完全理解盧卡斯的本意。因為盧卡斯的目的是要駁倒而不是相信機械論者的立場，即心靈可以由某台機器表示。機器的一致性應該由它的建造者來確定，如果機械論者聲稱他的機器是一致的，卻又不能證明它，或者結果證明了卻是不一致的，那就一定程度上已經宣告了機械論的失敗。

除了一致性這個重要的問題外，還有許多反對者從哥德爾語句的構造、理想化心靈與機器的假設、心靈的局限性等各個方面對盧卡斯的論證提出了質疑，但盧卡斯後來都一一給出了回應。

三、彭羅斯的新論證與分析

盧卡斯的論證使用了哥德爾第一不完全性定理，物理學家彭羅斯後來則使用了哥德爾第二不完全性定理同樣論證心靈不是可計算的(這裡的可計算也是指圖靈機可計算)。彭羅斯的新論證採用了半形式化的方法，更為精確和嚴謹。為了論述的方便，我們先還是採用弗蘭岑整理過的彭羅斯論證。首先假設某個健全的(sound)形式系統F完全捕獲了人的數學推理能力，陳述IAMF即表示人的數學能力等價於F，這裡的數學能力是指理想而正確的數學能力。(1)如果IAMF，那麼F+IAMF是一致的。(2)我能證明(或知道)，如果IAMF，那麼F+IAMF是一致的。(3)如果IAMF，那麼，對任意A，如果我能證明A，F就能證明A。(4)如果IAMF，那麼F能證明，如果IAMF，那麼F+IAMF是一致的(由(2)和(3)得到)。(5)如果IAMF，那麼F+IAMF能夠證明F+IAMF是一致的(由(4)和邏輯規則得到)。(6)如果IAMF，那麼F+IAMF是不一致的(由哥德爾第二不完全性定理得到)。(7)因此，IAMF不可能成立(由(1)、(6)和邏輯規則得到)。（5）

國內有觀點對(2)的合理性提出了質疑，由於上述經弗蘭岑整理過後的彭羅斯論證簡化了許多彭羅斯默認的前提，因此有必要考察彭羅斯的原文，進行更細緻的分析和討論。彭羅斯在原文中有如下論述，「雖然我不知道我必然地是F(即IAMF)，但我能斷定，如果我是F，那麼F必定是健全的，更重要的是F(即F+IAMF)也必定是健全的。」(6)那麼彭羅斯這樣斷定(2)的成立又根據什麼理由呢，原來彭羅斯在此與前述的盧卡斯論證有相似的特點，即接受另一個較為合理的前提：(1』)我能證明(或者知道)我是健全的_3(這裡健全的我是指理想的人類數學家)。然後我們繼續推導，(2』)我能證明，如果IAMF並且我是健全的，那麼F是健全的。(3』)我能證明，如果IAMF，那麼F是健全的(由(1』)、(2』)和邏輯規則得到)。最後，由(3』)就能夠得到前面的(2)，因為健全的系統加上真公理仍然健全的，也就是一致的。

此外，筆者認為，這裡我們其實可以另外接受一個更弱化和合理的前提，同樣能夠論證彭羅斯的結論。論證如下，(1)我能證明，如果IAMF，那麼我是健全的。因為健全性一般是關於形式系統的概念，在假設「我」等價於某個形式系統F的前提下，再說我是健全的才顯得更自然和嚴格。(2)我能證明，如果IAMF，那麼，如果我是健全的那麼F是健全的(由(2』)做邏輯變換得到)。然後再由(1」)、(2)和邏輯規則變換可以得到：(3』)我能證明，如果IAMF，那麼F是健全的。於是就得到(2)我能證明，如果IAMF，那麼F+IAMF是一致的，這樣最後也能推導出彭羅斯的論證。

有查爾莫斯(Chalmers)等反對者進一步質疑彭羅斯論證的前提，即我們知道我們是健全的。他們認為，至少存在可能性數學家的推理是不健全的，因此我們不能明確地知道數學家是健全的。如數學史上對四色定理的一個錯誤證明曾被認為解決了這個猜想，直到Ii年後才被否定，那麼在這期間許多有能力的數學家都是不健全的。與盧卡斯一樣，彭羅斯也做出了回應，首先要區分數學家有時犯的個別可糾正的錯誤與數學家們都知道為不容置疑(unas—sailable)的真理。雖然數學家是可能犯錯的，但因為這些錯誤能夠與不容置疑的真理區別開來，並且是可以糾正的，所以對不容置疑的真理來說，數學家仍然是健全的。其次，彭羅斯指出，上述論證中的「我」是理想的數學家，考慮的也正是理想的數學概念和證明。這些正確性的理想正是數學學科的本質特徵，它使得去除錯誤的證明具有客觀性。(7)

弗蘭岑等人所質疑的是能否構造出IAMF這個語句，並要使得它在形式系統中。彭羅斯則認為，如果假定我們通常的數學理解過程能夠被還原成計算(即存在F)，那麼由假設「我是F」再加上F本身所一起能夠確立的數學語句族，將的確是可計算產生的語句族，因此也就會是某個形式系統F的定理。

最後，針對這些質疑，彭羅斯還提出了弱化形式的論證。假設能夠使用基於計算機的人工智慧程序M，實際上建造出來一類具備數學理解力的機器人。通過類似於原來的論證(但不需要那麼強的條件)，卻可以得出這些機器人必須拒斥，M實際上是建造他們的基礎。於是可以得到這樣一個結論，任何具備真正數學理解力的存在者，都不可能根據他們能夠領會並認可的計算程序來運作。由於計算的人工智慧程序對人類來說是可知的，那麼就有足夠的理由懷疑，計算的人工智慧程序可以提供像人一樣具有數學理解力的機器人。"∞彭羅斯相信這個論證本質上是正確的。

四、費弗曼的論證

邏輯學家和數學家費弗曼(Feferman)也加入了這場論戰。費弗曼首先指出了彭羅斯論證的一些技術細節的疏忽，尤其包括健全性和一致性的模糊性，但費弗曼也指出即使把這些疏忽都糾正過來，也並不影響彭羅斯本人關於心靈和機器的論證結論。費弗曼同樣反對數學思考是圖靈可計算的，他在這一點上贊同彭羅斯的觀點，即理解力是數學思考的本質，正是這個領域是機器無法與我們共享的。_8對於一台圖靈機來說，給出一個問題，便運用某種演算法寄希望找到答案。而人的數學活動顯然不是這樣，試錯法的推理、洞察力、靈感等都是源於先前的經驗而不是基於一般的規則，這些才導致了數學的成功。因此，人的數學思考不可能通過某種演算法的機械應用來實現。即使這樣，費弗曼認為，盧卡斯～彭羅斯論證難以駁倒機械論者的經驗主義辯護，即隨著生物等經驗科學的發展有可能證明心靈等價於機器，正如同哥德爾所顧慮的那樣。

為了調和機械論者和反機械論者的觀點，費弗曼給出了自己的新見解，首先不能混淆數學心靈是如何運作的與數學心靈能夠證明的全部。如同在自然語言中的學習一樣，我們關心的是語言上正確表達的產生方式，而不是這些表達的潛在全體。假如人們要考慮任何機械論者立場的理想化表述，那麼心靈就應該受到某個形式系統的公理和推理規則的制約。由於在遵循這些公理和規則時，心靈在每一步驟是要做選擇的，所以數學心靈最多等價於一台非確定圖靈機的程序，而不是它的可枚舉陳述的集合。但是目前還沒有任何形式系統，如我們熟悉的一階算術PA系統和公理化集合論ZF系統，可以設想構成數學思考的基礎。費弗曼認為造成這種狀況的原因是，我們目前形式系統的語言都是固定的，一旦給出便不再變化，像PA系統和zF系統都是如此。這就使得系統中的公理模式，如PA中的數學歸納公理和zF中的分離公理，都必須是由該語言中公式的代入實例所組成。預先限制數學討論在固定的語言上並不符合數學實踐。於是費弗曼給出了一種改進的形式系統概念，使得實踐的開放性得以允許但同時也受到基礎規則的支配，並稱之為開放模式的公理系統。這種系統的公理模式雖是有窮個的，但系統的語言卻是開放的，即系統的基本辭彙可以擴充到任意寬泛的概念背景，而且它的公理可以應用其上。換句話說，接受了給出的公理模式就接受了任意可能的有意義的代入實例，而這些代入實例不預先限制在明確的固定語言上。這就類似於純邏輯中分離規則等對任意的命題都成立一樣。（8）

然後以此為基礎，費弗曼提出了修正的機械論者的論題，心靈的數學能力是機械的，因為它完全受到某個開放模式的形式系統的約束。對於數學語言為何要是開放的，他認為主要有三點原因。首先，雖然有人認為幾乎所有的數學概念都是在公理化集合論的語言中可定義的，但事實並非如此，如範疇、節點、隨機變數等概念。其次塔斯基定理表明，對語言L的真概念T在語言L內部是不可定義的。最後，從歷史的角度也證明，隨著數學的發展，儘管一些形式上的模式依然有效，但數學概念和語言是不斷進步和擴展的。至於數學實踐要被推理模式制約也並不令人驚訝，正如同人的身體活動也要被自然定律制約一樣。這個修正的論題可以跨越機械論和反機械論的鴻溝，一方面有有窮多個數學推理的模式需要遵循，這構成了機械論的視角；另一方面，開放的數學語言與概念又構成了反機械論的視角。費弗曼認為，雖然哥德爾定理並不能夠直接推翻通常的機械論，但從數學實踐的角度看，通常的機械論幾乎不可能成立。而他相信修正的機械論是正確的，但只限於人心的數學能力，而不包含整個心靈。（9）

五、我們的論證

通過前面的論述，可以看到由哥德爾不完全性定理並不能夠直接得出人心勝過機器，也就是說盧卡斯一彭羅斯論證還必須加上一些理想化的假設，包括哲學上的假設。不同的反對者針對不同的具體問題提出了自己的質疑，但有趣的現象是，一個反對者所質疑的地方卻有可能是其他反對者所默認接受的，這就使得盧卡斯一彭羅斯論證還是具備一定合理性的。其中最突出的前提莫過於知道我們是一致的(系統對兀，語句的健全性就等價於系統的一致性)，盧卡斯和彭羅斯都從不同角度做出了辯護，需要提及的是，邏輯學家王浩(HaoWang)在這一點上也承認只有一致的機器才可能合理地表示心靈。另一個重要的假設是，這裡考慮的都是理想的人心和理想的圖靈機。因為單個的人都是會死的，數學能力也是有窮的，就有可能用一台機器來模擬。所以我們討論的是個人在原則上能夠做而不是實際上所做。

由於一台圖靈機就等價於一個形式系統，我們將在費弗曼論證和盧卡斯一彭羅斯論證的基礎上，從開放形式系統的角度提出自己的論證。為了更加確切，需要說明一些論證的前提，和盧卡斯、彭羅斯與費弗曼一樣，我們考慮的都僅僅是人心的數學能力；另外從哲學上不接受整個宇宙是圖靈可計算的。首先費弗曼論證的進路無疑更加合理，即人心的數學能力並不等價於一個通常的形式系統，而用開放模式的形式系統表示心靈則比前者更能讓人接受。但費弗曼的論證還並非完善，因為他的開放模式形式系統的語言雖然可以任意擴充，但公理模式只是有窮多個，並沒有指明是否需要不斷添加新的公理和改變公理。費弗曼自己也認為，開放模式的公理系統的提出只是一個新進路和起點，值得進一步思考和研究。

我們需要指出的是，事實上如果公理模式不變，而任意擴充其形式語言的話是可能導致不一致的系統。比如，在費弗曼研究的基於一階算術PA系統的公理化真理論中，形式系統TB有公理模式T一語句，它的代入實例是限制在一階算術PA的語言，如果任意擴充到含有真謂詞符號的語言上，那麼由於說謊者語句將導致不一致的系統。此外，從數學發展的歷史來看，除了語言在擴充，一些公理同樣做出了變化，如從歐式幾何到非歐幾何，歐式並行公理可以被完全與它相矛盾的公理取代。而且由集合論zF擴充到非良基集合論ZFA，討論的數學對象由良基集合變為含有非良基的集合，這時基礎公理就要被放棄，替換為其否定的反基礎公理。還有在數學基礎中頗具爭議的選擇公理，數學家如果不使用或者限制使用這條公理，那麼將會排除許多在現存數學中被認為是基礎的東西，如在抽象代數、拓撲學、現代分析中的某些基礎性定理需要依賴於選擇公理才能得到證明。但如果完全接受選擇公理，又會得到違反直覺的結論，如著名的巴拿赫一塔斯基悖論。目前的數學家在使用選擇公理時就面臨著多種選擇。可見在數學的歷史發展實踐中，對公理的選擇和使用也是有條件的。雖然在純邏輯中公理模式可以被認為是確定和有窮的，但是我們討論的是包含各個新出現分支的整個數學領域，許多證據已表明在數學實踐中，不僅討論的語言在擴展，而且公理模式也在不斷地增加和修改，甚至可以根據數學家的需要取捨，來建立不同的理論。

因此，我們在費弗曼論證的基礎上提出一種完全開放的數學形式系統，即它的語言和公理模式都是可擴充和修正的，只有這樣的形式系統才有可能合理地表示心靈。這種新的形式系統也仍然帶有一些機械論的特徵，雖然它是完全開放的，但人心所能夠證明的數學定理還是受到該新形式系統的公理模式與規則的制約。例如，在數學基礎公理化集合論中，由於哥德爾證明了ZFC系統與連續統假設是協調的，而數學家柯恩又證明了ZFC系統與連續統假設是獨立的。那麼，類似平行公理在幾何學中的地位，既存在連續統假設成立的「康托兒集合論」，還存在各種連續統假設不成立的「非康托兒集合論」。我們進一步提出一個重要的問題，由什麼來決定擴充開放系統的語言和公理模式以及具體如何擴充?這時假如再考慮盧卡斯一彭羅斯論證，問題就比較好回答了。彭羅斯和盧卡斯都認為人心的數學能力不等價於某個一般的形式系統，心靈不是一台圖靈機，所以心靈是有超出形式系統外的能力的。弗蘭岑也同意只有跳出系統才有可能看出系統的哥德爾語句為真。費弗曼和彭羅斯都認同數學理解力是機器無法與人心共享的，也是不可計算的，因此我們認為數學理解力就是超出系統外的能力。而數學理解力與經驗、直覺、靈感等等有關，正是這部分在數學思考中起著決定性作用。所以我們對上述問題的回答是，由無法形式化的經驗、直覺和數學理解力等系統外能力決定著如何擴充形式系統的語言和公理模式。站在自然主義的立場上，費弗曼同時質疑，彭羅斯等人將數學經驗還原到神經生理學甚至物理化學的層次進行解釋是不合適的。?我們則認為，除了大腦本身的內在構造，應該引入環境這一維度。因為經驗和直覺通常與不可計算的外界環境(包括自然環境和社會環境)有著密切的關係，甚至一定程度上來源於環境。直覺和經驗最終是人的感覺器官、大腦和外部環境相結合的產物。對於為何強調環境的重要性，還可以從其他學說的立場中找到支持。如心靈的外在主義者就認為，心理內容不僅僅是由大腦和身體的屙l生所決定，而更主要是由外在環境決定。行為主義心理學派也強調用行為與環境之間的函數關係來解釋心靈的內在活動。尤其是生物學界廣為接受的進化論，指出自然選擇是生物進化中極其重要的動力，那麼人類在周圍的環境中進化而來，產生了意識和智能，當然也應包括數學能力。

綜上所述，在借鑒盧卡斯一彭羅斯論證和費弗曼論證的基礎上，我們嘗試提出了一種改進的表示心靈數學能力的模型。人心證明的數學定理等價於一個完全開放的數學形式系統的可證公式，由系統外的數學理解力等對該系統的語言和公理模式進行擴充和修正，而數學理解力和直覺又歸結為受到人類不可計算的外界環境的作用和影響。

盧卡斯一彭盧斯論證的大爭論雖然已經持續多年，但一直到今天，盧卡斯和彭羅斯仍然在堅持捍衛著自己的觀點。這場爭論不但深刻揭示了哥德爾不完全性定理的內涵和哲學意義，使得心靈和機器的關係問題有了數學工具的支持，更澄清了許多重要概念和假設，最終促進了數理邏輯、認知哲學和人工智慧的進步與發展。

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Giidel』S Theorem ：Analysis of the Lucas-Penrose Argument

LIU Da—wei

(Department of Philosophy，Hunan Normal University，Changsha 4 1008 1，China)

Abstract：Lucas and Penrose argue that according to Godel』s incompleteness theorems the human mind surpasses a

Turing machine and the mind is noncomputable，and these are known as the Lucas—Penrose argument．The Lucas—

Penrose argument invokes intense and long—lasting disputes until today．Many opponents query the premise of con—

sistency or soundness，whereas Lucas and Penrose reply that we can know we are consistent．In fact the Lucas—Pen．

rose argument needs some idealized assumptions． This paper clarifies and supplements statements about 「F is

sound』』in Penrose』S argument． Feferman』S argument tries to straddle the division of mechanism and anti—mecha—

nism．In reference to the Lucas—Penrose argument and Feferman』s argument．we emphasize the importance of

mathematical understanding and environment．Moreover，we put forward a new model representing the mathematical

capacities of the mind，which is based on a fully open—ended mathematical formal system．

Key words：G0del』S incompleteness theorem；Lucas—Penrose argument；mind and machine；consistency；open—ended

system

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