一個天才質疑了另一個天才，十幾載的心血卻被證明是毫無意義的？

有些東西

你永遠無法證明

前兩天，超模君跟各位模友講了數學史上的3次大危機（傳送門），有模友表示不過癮，想要看更多關於第三次危機的故事，那今天超模君就分享這篇文章，咱們繼續看個夠。

一個天才質疑了另一個天才，並最終證明：數學家研究的「有意義」的數學命題也可能是不可判定的。

Wir müssen wissen, wir werden wissen.我們必須知道，我們必將知道。

你看到的，正是80年前，1930年，希爾伯特在他退休時演講的最後六個單詞，也是鼓舞一代數學家的六個單詞。

儘管當時第三次數學危機仍然陰魂不散，但他們堅信，數學大廈的基礎是堅實的。他們也堅信，任何數學真理，只要通過一代又一代人的不斷努力，都能用邏輯的推理將其整合到數學的大廈中。

這是何等的氣魄！這是何等的夢想！

但就在演講前夕，他的同胞哥德爾，作出了一個斷言，徹底打碎了這個夢。

希爾伯特計劃

希爾伯特是一位名副其實的數學大師，他看待數學的眼光也是相當深刻的。

師從林德曼，希爾伯特在23歲便以一篇關於不變數理論的論文躋身數學界。他的證明方法在當時相當具有爭議性。在這篇論文中，他使用了非構造性的證明，也就是說他只能證明某個數學對象的存在性，卻無法將它具體指出。比如說，一個報告廳有100個座位，有99位聽眾進去了，我可以斷定一定有一個空座位，這就是一種非構造性證明。但我沒辦法將具體的空座位指出來，希爾伯特也無法具體構造所要證明的對象，所以當時也受到了一些數學家的批評。

另外，他的證明依賴於對無窮的對象使用排中律，從而遭到了不少人的質疑。排中律，說的就是一件事非真即假，這再明白不過了，為什麼還有反對的意見呢？比如說這樣一個命題：π中含有任意長度的連續數字9。如果我們接受排中律的話，這個命題非真即假。但無論這個命題是真是假，我們都無法在實際上驗證，因為要驗證這個命題，我們都要將π無窮地計算下去，而這是不可能做到的。所以，人們對於將排中律用到這種無窮的情況仍有顧慮，因為這不是他們的直覺能掌握的範圍。

我們不知道是否因為這件事，希爾伯特動起了為整個數學尋求一個堅實基礎的念頭，但我們可以知道，在經過多年在不同數學領域富有成果的涉獵後，希爾伯特將目光投向了整個數學。對平面幾何學的嚴格公理化可能是他在這方面的第一個嘗試，但他的思考絕不僅限於幾何。他的目標是將整個數學體系嚴格公理化，然後用元數學——證明數學的數學——來證明整個數學體系是堅實的。

為了這個目標，他制定了著名的希爾伯特計劃。

首先，將所有數學形式化，讓每一個數學陳述都能用符號表達出來，讓每一個數學家都能用定義好的規則來處理這些已經變成符號的陳述。這使數學家可以擺脫自然語言的模糊性，取而代之的是毫無含糊之處的符號語言。比如說，我們如果想說「存在一個集合是空的」，我們就必須解釋什麼是存在，什麼是空，等等。但如果用符號表達這句話的話，就成了：

，這就毫無含糊之處了。

然後，證明數學是完整的，也就是說所有真的陳述都能被證明，這被稱為數學的完備性；證明數學是一致的，也就是說不會推出自相矛盾的陳述，這被稱為數學的一致性。完備性保證了我們能證明所有的真理，只要是真的就可以證明；一致性確保我們在不違背邏輯的前提下獲得的結果是有意義的，不會出現一個陳述，它既是真的又是假的。

最後，找到一個演算法，可以機械化地判定數學陳述的對錯，這被稱為數學的可判定性。

如果這個計劃完成了，那意味著什麼？首先，一致性是很重要的，因為我們不能接受比如說「哥德巴赫猜想既對又不對」這樣的結論，一致性就保證了自相矛盾的情況不會出現。在保證數學的一致性這個前提下，我們又有數學的完備性，也就是說只要是真的都可以證明。這其實就是說，對於任意一個數學猜想，不管它有多難，只要假以時日，通過一代又一代人的努力，總是可以知道這個猜想對不對，並且證明或否定它。換句話說，我們知道，在數學中，通過邏輯，我們必定能知道我們想要知道的東西，這只是個時間問題。

我們必須知道，我們必將知道。

這是個雄心勃勃的計劃，但希爾伯特並不認為這是不可能的。他提出，先在基礎的數學系統進行這樣的形式化，然後再將其推廣到更廣闊的數學系統中，最後實現整個計劃。於是，整個計劃便歸結於在算術系統中進行這樣的形式化，並且在它的內部證明它的完備性、一致性和可判定性。算術系統可以說是非常基礎的，我們做算術，對自然數做加法、乘法和數學歸納法，就都用到了這個系統。但我們平時只是憑直覺來理解這個系統，而數學家追求的是用邏輯的方法來定義它，這樣他們才會覺得安心。

這似乎不太困難。算術系統並不是一個很複雜的系統，它早在1889年就被皮亞諾歸結成一個有5條公理的系統，其中只有最後一條數學歸納法公理比較複雜。我們可以想像，希爾伯特本人也認為這是可以解決的問題。他將算術公理系統的相容性列入了他那23道希爾伯特問題中，位列第二，希望20世紀的數學家能給出一個證明。這份1900年寫出的問題表，後來證明是相當具有前瞻性的，即使情況並不一如希爾伯特預計的那樣。

1931年，僅僅在他退休一年之後，希爾伯特第二問題即告解決，儘管解決的方式是希爾伯特所沒有預料到的。邏輯弄人。

哥德爾不完備性定理

可以說，哥德爾粉碎了希爾伯特計劃。

在希爾伯特退休之時，哥德爾才剛剛登上數學舞台。在某種意義上，正是希爾伯特間接將哥德爾引領到數理邏輯這個領域的。在希爾伯特和他的學生阿克曼合著的《數理邏輯原理》中，他們提到了這樣一個問題：在形式系統中，真的命題是否都是可證明的？這正是哥德爾博士論文的主題。在這篇論文中，哥德爾證明了一階謂詞演算是完備的，這就是不太著名的哥德爾完備性定理。一階謂詞演算是一種能力比較弱的數學系統，如果只是應用它的話，我們連自然數都定義不了，就更別說做算術了。自然，哥德爾的目光是不會僅僅局限於此的。

在完成博士論文之後，哥德爾便著手探索更一般的數學系統。一年後，也就是1931年，他對算術系統的探索即告勝利。這個勝利，也就是希爾伯特計劃的失敗。他的結論，就是哥德爾不完備性定理，一共有兩個。

第一，他證明了，對於任意的數學系統，如果其中包含了算術系統的話，那麼這個系統不可能同時是完備的和一致的。也就是說，要是我們能在一個數學系統中做算術的話，那麼要麼這個系統是自相矛盾的，要麼有那麼一些結論，它們是真的，我們卻無法證明。

第二，他證明了，對於任意的數學系統，如果其中包含了算術系統的話，那麼我們不能在這個系統內部證明它的一致性。這就是希爾伯特第二問題答案的一部分。

其實，這裡「任意的數學系統」之中的「任意」並不是完全的任意。這些系統必須是可以顯式地規定出來的，用數學的術語來說就是可有效生成的。但對於我們熟悉的像歐幾里德公理這樣的形式系統來說，這的確是相當任意了。

哥德爾證明這兩個定理的武器，就是希爾伯特在他的計劃中使用的武器：形式化。在哥德爾的證明中，他先將所有的數學陳述以及它們的證明用符號形式地表達出來，然後利用哥德爾自己發明的一個重要技巧——哥德爾數化——將所有這些陳述和證明變為一個個的自然數。那麼，藉助數學歸納公理，我們可以遞歸地建立針對所有自然數的陳述，而一個這樣的陳述同時又是一個自然數，所以它描述了自己。換句話說，這個陳述陳述了它自己。

這種自指的情況，在數學上很有用，也非常兇險。它是不少悖論的源泉。第一個例子當然是說謊者悖論：「這句話是錯的」。第二個就是羅素悖論，它引起了第三次數學危機，這也可以說是希爾伯特計劃的一個動因。

我們來看看它的一個通俗版本，叫理髮師悖論。

在一個小鎮內，只有一名理髮師，他在理髮店門外公布了這樣一個原則：只為不會自己理髮的人理髮。那麼，他的頭髮誰理呢？要是他自己理的話，他就會自己理髮了，那麼根據他的原則，他不應該為自己理髮；要是他不給自己理髮的話，根據他的原則，他倒是應該給自己理髮。邏輯似乎在這裡失效了。

這種邏輯上的混亂局面，背後就是羅素悖論：定義一個集合，它包含所有不包含自身的集合，它是否包含自身？從上面的分析，我們可以看到，一切問題在於「包含自身」這種自指的描述。後來，在策梅洛和弗蘭克等邏輯學家的努力下，通過在集合論中添加正則公理等限制，才將這種危險的自指從集合論中排除。當然，這是後話了。

這種自指的性質，儘管危險，但在哥德爾的妙手中，它就變成了證明的利器。他構造了一個命題，這個命題說的正是它自身的不可證明性。如果用類似說謊者悖論的語言來表達的話，就是：「不存在對這個命題的形式證明。」如果它是真的，那麼它是不可證明的，說明系統是不完備的，因為存在一個真的而又不可證明的命題。如果它是假的，那麼存在一個它的證明，這樣它應該是真的，說明系統是自相矛盾的、不一致的。這就是哥德爾的第一個不完備性定理：如果有自然數的話，完備性和一致性不可得兼，這個系統要麼自相矛盾，要麼存在不能證明也不能否證的命題。

然後，我們來僅僅考慮一致性的問題。假定系統是一致的，也就是說不會自相矛盾的，那麼我們剛才提到的命題就是不可證明的。如果我們能在系統內部證明系統的一致性的話，我們就相當於在系統內部證明了那個命題，這與不可證明性是矛盾的。也就是說，我們做了錯誤的假設：能在系統內部證明系統本身的一致性。由此，哥德爾證明了他的第二個不完備性定理。

他的這兩個不完備性定理，對於希爾伯特計劃是個沉重的打擊：計劃的第二步被證明是無法實行的。如果我們假定數學不會自相矛盾的話，我們就必須承認數學是不完備的，也就是說有這麼一些數學命題是不可判定的：我們既不能證明它們為真，也不能證明它們為假。但很多數學家仍然認為，這並不威脅數學的正常發展，因為他們覺得有意義的數學命題極不可能是這樣的。換句話說，數學家們仍然相當樂觀。

同樣是哥德爾，這次連同科恩，給這些數學家敲響了警鐘：數學家研究的「有意義」的數學命題也可能是不可判定的。他們解決的又是一個希爾伯特問題：由康托爾提出的連續統假設。這個問題位於列表之首，是一個純粹的集合論問題。哥德爾證明了連續統假設和策梅洛-弗蘭克集合論是相容的，也就是說二者之間沒有矛盾；科恩證明了從策梅洛-弗蘭克集合論出發不能證明連續統假設。這兩個結果綜合起來，其實就說明了連續統假設在策梅洛-弗蘭克集合論中是不可判定的。要是你知道策梅洛-弗蘭克集合論正是解決第三次數學危機的武器和現代數學的邏輯基礎，你就會明白這到底意味著什麼。

哥德爾的魔鬼第一次露出了真面目。希爾伯特第一問題竟然就是不完備性定理中預言的那類不知真假的怪異命題的一個實例，這實在令人泄氣。

既然希爾伯特計劃的第二步都被證明是不可行的，那麼第三步也就沒有必要繼續下去了。第三步是尋求一個能機械證明所有數學定理的程序，著名的停機定理也否定了這種可能性。停機定理的證明相對比較簡單，也是利用自指的技巧，證明這樣程序是不可能存在的。

至此，希爾伯特那宏偉的計劃宣告全盤失敗。

有些事情，我們確實不知道，即使對於數字，這是邏輯說的。

餘波

既然對全部數學真理進行形式化是不可能的，數學家們只好退而求其次，嘗試形式化他們熟悉的數學。法國的布爾巴基學派在這方面似乎走得最遠。這是在巴黎高師的一幫數學家，繼承了希爾伯特的一些理念，目標是將所有已知的數學在集合論的堅實基礎上重建。他們出版了九本這方面的專著，每一部都以嚴密的公理化方法吸引著後來者的目光。他們的每本著作都會經過多次的修訂，據說明年他們又會出版一本新修訂的著作。

布爾巴基辦公室門牌，fwjmath拍攝

令希爾伯特在天國的靈魂有所安慰的是，算術系統的一致性被證明了。這個證明用到了不在算術系統內的超限歸納法，它可以被視為一種加強版的數學歸納法，是用在無窮序數上的。這其實就假定了策梅洛-弗蘭克集合論的一致性。當初康托爾建立無窮集合論時，曾遭到不少人的攻擊，這時希爾伯特挺身而出，為康托爾和他的無窮集合論疾呼：「沒人能將我們從康托爾創造的樂園中趕出來。」如今，康托爾的無窮集合論衍生出來的超限歸納法反過來又部分實現了希爾伯特的夢，這是冥冥之中的安排，還是希爾伯特的敏銳眼光所致？恐怕沒人能說得清楚。

但哥德爾的魔鬼仍在肆虐。越來越多的數學問題被證明是不可判定的，這些不可判定的問題也越來越初等。乍看起來並非不可捉摸，但到頭來卻不可判定。比如說，如果我們用可數種顏色對每一個實數染色，是否必定存在4個互不相等的數a,b,c,d，使得它們的顏色都相同，而又滿足a+b=c+d？這看起來怎麼也不像沒有一個確切結論的問題，但有人證明了它實際上和連續統假設的否定是等價的，也就是說，在策梅洛-弗蘭克集合論內，它也是不可判定的。這就給數學家們心頭壓上了一塊大石：誰也不知道自己辛辛苦苦做了十幾年的題目，會不會突然有一天被證明是在現有數學體系中不可判定的。

儘管這樣，哥德爾的不完備性定理仍然帶給我們很多教益。至少我們知道了，有些東西我們不可能知道。在哥德爾的這個劃時代的證明之後，數學家對數學的基本工具——證明——有了新的認識。專門研究數學證明的證明論，在他的啟發下蓬勃發展。但是，哥德爾教給我們最重要的一點是：數學如同人生，如同愛情，有些東西是真的，你卻永遠無法證明。

本文由超級數學建模編輯整理

資料來源於科學松鼠會

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