關於雜訊的討論

最近很多關於雜訊的討論，於是我找到之前的筆記，分享下我的學習過程。

雜訊儘管是工程中最常見的現象和問題，但其物理本質卻是極其精深的。拿最簡單的一個電阻來說，不要接任何外加電源，雜訊始終是存在的。也就是電阻通過電流的均值是0，但是其方差或者漲落不是0，數學上=0, ≠0。

最早由Kubo等人，包括Nyquist 等一批物理學家建立了漲落耗散理論，才對雜訊、布朗運動等很多現象作出了精彩的解釋。後來結合量子理論，對自發輻射、卡西米爾力、近場熱傳導等量子現象做出解釋。

漲落耗散定理的實質，是熱平衡條件下，任何物體都會吸收電磁波譜（叢零頻到X-ray甚至更高），同時也必須輻射出電磁波，這兩個物理過程是平衡的。上述物理過程聯繫到黑體輻射理論和細緻平衡理論。所以雜訊、暗電流本質上就是吸收了電磁波的能量。雜訊對一個通訊系統的重要性，暗電流對一個光電子器件的重要性，是眾所周知的。

而電磁波的儲能能量一定正比於場強的平方，所以必然不是0。物體的耗散，釋放出電磁波，造成了電磁波在真空中一般的漲落；這個一般漲落的能量又被物體吸收，周而復始。且這個漲落即使在絕對0度時，都依然存在。這就是著名的漲落耗散定理。

但是推導電磁場的漲落遠遠比電流的漲落難度大很多。一般對一個電路，漲落耗散定理可以寫成，1/2R=kB*T/(2*pi) df，右側kB*T是有限溫度下平均光子能量，2*pi 項是Fourier變換的原因，df代表單位頻率。所以寬頻雜訊估計公式kB*T*B，B是帶寬。嚴格的量子表達式1/2 hbar omega+hbar omega/[exp(hbar omega/(kB*T))-1]，可以看出當hbar趨近於0，上式的經典表達式就是kB*T。而如果T=0，就是1/2 hbar omega。1/2 hbar omega是著名的零點能量，對應真空漲落。其他T不等於0，叫做熱漲落。

根據電流漲落表達式，我們可以求出單位體積單位頻率，電流密度的漲落表達式 1/2=sigma*kB*T/(2*pi)。這裡，我們假設不同空間點電流密度是不相關的，=0，當r不等於r』。而怎麼得到電磁場的漲落表達式，要依賴格林函數理論。因為電場可以用電流和格林函數卷積得到，但是這時的格林函數不是自由空間的，而是任意非均勻空間的格林函數。經過一番化簡和努力，我們可得到 的表達式。這個表達式很有趣，正比於非均勻空間並矢格林函數的需部Im (G)，因此是regular的。所以不同頻率，不同空間點的電磁場漲落是不同的，正比於對應頻率、對應空間點，在非均勻電磁系統放入一個點源後，得到的在這個點處電場的實部。

漲落耗散定理是我加入weng cho chew教授組第一個系統學習的理論。最大的收穫是發現原來看似很簡單的雜訊，其實背後是極其複雜、精深的理論，需要深入思考。

參考文獻：

W. C. Chew, W. E. I. Sha, and Q. I. Dai，Green"s Dyadic, Spectral Function, Local Density of States, and Fluctuation Dissipation Theorem. https://arxiv.org/abs/1505.01586

原創聲明：這是個人原創的推導筆記，禁止任何形式的修改、纂改，和不註明出處的轉載。

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