常見雙圓錐擺對比選講

【圓錐擺基本模型】如圖，質量為m的小球用長為l細線栓與豎直桿上，當桿以角速度ω旋轉時，小球擺起。討論細繩與豎直方向的夾角θ、繩上拉力T與ω、m的函數關係。

思路引導：這個圓錐擺模型做好後擺長l、小球質量m就確定了，轉動小球擺角、繩子拉力隨之變化。擺角θ有唯一的角速度ω與之對應，拉力T有唯一的角速度ω與之對應關係。即存在擺角θ、拉力T與ω的函數關係。

提供的向心力總是大於所需要的向心力造成小球並不能擺起。

下圖模擬了，l=1m，g=9.8m/s2時擺角與ω的函數圖像

（2）關於拉力T與ω的函數關係

為增函數，由此可以理解隨著ω的增大拉力T增大與實際經驗相符。

（3）合成法的應用與力矢量演變圖

隨著ω變化力矢量的演變圖

……③

為什麼我一直強調物理量間函數關係，是希望同學們能動態的分析問題，藉助數學工具理解物理量間因果邏輯。如果同學們能經常這樣思考，諸如對比問題、比較問題、圖像問題、臨界問題、極值問題都可藉助函數關係引刃而解！這是培養學科素養的需要。

我們用這種思想講解下面幾個例題請同學們體會之

【例題1】如圖所示，金屬塊Q放在帶光滑小孔的水平桌面上，一根穿過小孔的細線，上端固定在Q上，下端拴一個小球。小球在某一水平面內做勻速圓周運動(圓錐擺)，細線與豎直方向成30°角(圖中P位置)。現使小球在更高的水平面上做勻速圓周運動．細線與豎直方高成60°角(圖中P』位置)。兩種情況下，金屬塊Q都靜止在桌面上的同一點，則後一種情況與原來相比較，下面判斷正確的是（）

A.Q受到桌面的靜摩擦力大小不變

B.小球運動的角速度變大

C.細線所受的拉力之比為2：1

D.小球向心力大小之比為3：1

思路引導：本題中圓錐擺的擺角不同及繩子拉力不同是因為ω不同造成的，

利用【圓錐擺基本模型】中的函數關係可以迅速解決問題

【例題2】如圖所示，兩個質量相同的小球用長度不等的細線拴在同一點，兩小球在同一水平面內做勻速圓周運動，則它們的

A.周期相同B.線速度大小相等

C.細線的拉力大小相等D.向心加速度大小相等

思路引導：通過比較上面兩個圓錐擺它們的豎直高度h相同，它們運動參量不同是因為擺長l、擺角θ不同造成的，運動參量有唯一的擺長和擺角與之對應。擺長l與θ並不獨立，設其中一個為基本變數即可表示另一個量。我們可以把運動參量理解為θ的函數，由函數單調性可以比較運動參量大小。

由④可知【例題2】中兩球周期相等

由⑤式單調性知道擺角大的線速度大

由⑦式單調性知道擺角大的拉力大

由⑥式單調性知道擺角大的向心加速度大

【例題3】如圖所示，A、B兩個小球分別用兩根長度不同的細線懸掛在天花板上的O點，若兩個小球繞共同的豎直軸在水平面做勻速圓周運動，它們的軌道半徑相同，繩子與豎直軸的夾角不同，OA繩與豎直軸的夾角為60°，OB繩與豎直軸的夾角為30°，則兩個擺球在運動過程中，下列判斷正確的是( )

思路引導：通過比較上面兩個圓錐擺它們的軌道半徑r相同，它們運動參量不同是因為擺長l、擺角θ不同造成的，運動參量有唯一的擺長和擺角與之對應。擺長l與θ並不獨立，設其中一個為基本變數即可表示另一個量。我們可以把運動參量理解為θ的函數。

質量比由初始條件決定，運動參量v、ω、an，與質量無關，力學量重力、拉力、向心力與質量成正比。

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