流體力學微教材

風流知音【流體力學微教材】激波現象——劉沛清 CFDJC(2018)1002

激波現象

劉沛清

北京航空航天大學

前言

劉沛清，人稱沛公，1982年在華北水利水電大學獲學士學位。1989年在河海大學獲碩士學位，1995年在清華大學獲博士學位。1997年至今，在北京航空航天大學流體所工作。2000年至今，任教育部流體力學重點實驗室責任教授，博士生指導教師。2003年至2012年，任航空科學與工程學院副院長。現任中國空氣動力學學會理事，中國力學學會流體力學專業委員會工業流體力學組組長。長期從事飛行器空氣動力學實驗和數值模擬等研究工作。《空氣動力學》國家級精品課程負責人，國家級航空航天實驗教學示範中心主任，空氣動力學學報編委。現為北京航空航天大學陸士嘉實驗室(航空氣動聲學工信部重點實驗室)主任。

1、概述

當飛行器以超聲速飛行時，飛行器對空氣擾動的傳播速度（波速）小于飛行器的飛行速度，結果使飛行器前面的空氣受到突躍式的壓縮，形成集中的強擾動（由無數微小壓縮波疊加而成的），這時會出現一 個壓縮過程的界面，稱為激波。激波是弱壓縮波疊加而形成的強間斷波，帶有很強的非線性效應。經過激波，氣體的壓強、密度、溫度都 會突然升高，流速突然下降。壓強的躍升產生可聞的爆響。如飛行器在較低的空域中作超聲速飛行時，地面上的人可以聽見這種響聲，即所謂音爆。利用經過激波氣體密度突變的特性，可以用光學儀器把激波拍攝下來。理想氣體的激波沒有厚度，是數學上間斷面。實際氣體 有粘性和傳熱性，這種物理性質使激波成為連續式的，不過其過程仍十分急驟。因此，實際激波是有厚度的，但數值十分微小，只有氣體分子自由程的某個倍數，波前相對超聲速馬赫數越大，厚度值越小。圖1為超聲速戰鬥機飛行時的斜激波，圖2為戰鬥機尾噴管出口的激 波盤。

圖1 超聲速戰鬥機飛行時的斜激波

圖2 戰鬥機尾噴管形成的激波盤

2、正激波

激波面（波陣面）與來流方向之間的夾角稱為激波角。當激波角 為90度時，稱為正激波，其波陣面與氣流方向垂直，如圖3所示的鈍頭體超聲速繞流所形成的弓形激波的頭部區域。如果用相對坐標系來建立激波前後流動參數的關係時，問題較為簡單。採用相對坐標的 優點是，氣流相對於波陣面而言是定常的，可以直接應用定常流的基本方程。如圖4所示，在激波前後取虛線所示控制面。激波不動，靜止的氣流以V1流向激波，激波後氣流速度為V2（小於a2）離開。

圖3鈍頭體超聲速繞流產生的弓形激波（頭部區域的正激波）

圖4 相對坐標下的控制體

由連續方程，可得

對虛線控制面應用動量方程，可得

由絕熱流動的能量方程可得

198年普朗特導出的超聲速激波關係式是

其中，a*為臨界截面聲速。上式即為著名的Prandtl激波公式，表示波前和波後流速係數的關係。說明正激波後氣流速度係數λ2恰好是波前氣流速度係數λ1的倒數。因波前必為超聲流，λ1＞1，所以波 後的速度係數λ2＜1，就是說，超聲速氣流經過正激波後必為亞聲速流。正激波前後的其它物理量關係同樣可以導出。如密度比關係為

靜溫關係式為

靜壓強比的關係為

經過激波，總溫不變，總壓下降，熵增大。

3、斜激波

對於不同頭部形狀的繞流物體，在作超聲速飛行時，實驗發現所產生的激波形狀是不同的。如對於一個具有菱形機翼形狀的飛行器，在作超聲速飛行時，在一定的Ma1>1之下，如果機翼前緣尖劈的頂角不大，將形成上下兩道簡單的斜激波（如圖5所示），其波面和運動方向成一定的斜角，激波依附在物體的尖端上。這種激波在形式上與正激波不同，其波陣面與來流方向斜交，稱為斜激波。在斜激波中，激波波陣面與來流方向之間的夾角β，稱為激波角。同樣，斜激波後 的氣流方向也不與激波面垂直，與波前氣流方向也不平行，而是與尖劈面平行，夾角δ，稱為氣流折角，意指氣流經過斜激波後所折轉的角度（如圖6所示）。

圖5尖頭物體繞流的斜激波

圖6超聲速氣流繞過尖前緣的斜激波與正激波相比，斜激波屬於弱激波，其中尖劈角越小，激波越弱。

如果尖劈半頂角δ是無限小，顯然這個很薄的尖劈對超聲速氣流造成的擾動一定是微弱擾動，擾動波必是馬赫波，擾動角必是馬赫角。隨著尖劈角δ的增大，激波β亦逐漸增大。δ愈大，激波β也愈大。由此看來，就正激波而言，只要Ma1確定，諸參數的增量就定了；而對 斜激波而言，則需要由Ma1及δ兩個參數確定激波斜角β，然後再根據β所確定的激波強度，其它物理量迎刃而解了。圖7給出不同的馬 赫數下斜激波角和尖劈角的關係。

圖7 不同的馬赫數下斜激波角和尖劈角的關係

4、激波內部結構

把激波當作沒有厚度的突躍面（間斷面）看待，在處理一般流動問題是可以的，不會造成較大誤差的。不過，當考慮粘性影響時，激波就不能看作為無厚度的。事實上，因氣流速度經過激波有一定變化，當激波厚度為零時，速度梯度就是無限大的，這時粘性的影響很大，在粘性的作用下速度不可能在無厚度下由v1突然減速到v2，也就是說必須有一個過渡區，這個過渡區的厚度就是激波的厚度。實驗發現， 激波厚度是一個很小的量，與分子平均自由程同量級。在海面大氣中，分子自由程為70×1?6mm。在Ma=3的情況下，用連續介質理論計算出的激波厚度為66×1?6mm。有人用考慮粘性和傳熱的連續介質的方程，去分析氣流參數在激波內部的變化過程，發現速度等參數在激波內是連續變化的，如圖8所示。速度從波前的v1變化到波後的v2，是一個漸變的過程，所以激波厚度不能明確的定義。通常在v-x曲線的拐點上作曲線的切線，它與v1和v2為常值的水平線的交點之間的距離即是激波厚度。

圖8 用連續介質假設得到的激波內速度變化曲線

5、超聲流動勢流解方法

當超聲速流動為無粘勢流時，速度勢函數的控制方程是非線性二階雙曲型偏微分方程。基於超聲速小擾動線化理論，可建立線性二階 雙曲型偏微分方程，並利用特徵線法求解。在超聲速流動中，主要研 究壓縮波、膨脹波、激波等對流動的影響規律。理想氣體的激波沒有 厚度，是數學意義的不連續面。英國科學家朗金（Rankine，1870 年）和法國科學家雨貢尼（Hugoniot，1887年）分別獨立從斜激波 前後的連續方程、動量方程和能量方程推導出朗金—雨貢尼關係式， 後來普朗特建立了正激波的關係式。對於薄翼小擾動問題，阿克萊特（Arkwright）在1925年提出了二維線化機翼理論，以後又相應地出現了三維機翼的線化理論。對於二維和三維定常超聲速氣流動，擾動和未擾動區的分界面就是馬赫波，如果超聲速氣流經過一系列馬赫波 膨脹加速，稱為膨脹波。普朗特和他的學生邁耶爾（T.Meyer，1907 年～1908年）建立了膨脹波的關係式。

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