花那麼多時間去證明它，是否真的值得？

證明它

到底有什麼意義？

原文作者：Rahul Ck，倫敦國王學院理論物理理學碩士

譯者：正陽小兄弟（內容有增加和刪改）

編者：超模君（負責文章內容豐富及潤色）

你覺得世界上最難的數學猜想是哪個？

我們先來說說下面兩個已經被成功解決的猜想：

費馬大定理

這個問題是當n為正整數時，找到方程

中的x，y，z的正整數解。當n等於1或2時問題就很顯然了，有無數多個正整數解，但是費馬猜想的是當n>2時，不管你怎麼找都不可能找到關於x，y，z的正整數解。

這個猜想是很久以前提出的並且當時費馬本人宣稱自己能夠證明這個猜想，模友們還記得當時手邊沒有草稿紙卻又嫌書上空白處太小的費馬嗎？

費馬這一看似任性的行為，引發了長達358年的「費馬定理大戰」，無數位數學家的內心估計都是一萬個草泥馬飄過。。。。

而最終真正證明了這個猜想的人是英國數學家安德魯?懷爾斯(Andrew Wiles)，他於1995年在一次講座里向大家講述了自己的證明過程。

1995年離現在的我們其實也不算久遠，譯者家裡還有一本藏書是我國著名的數學競賽教練單墫教授寫的《數學競賽史話》，單墫教授在一開始就介紹了費馬猜想，書上寫的是費馬猜想在當時還沒被解決。

當時我就覺得不對勁，費馬猜想不是已經光榮地晉陞成定理了嗎，怎麼還沒解決呢？後來一看出版日期才明白過來，原來是1990年出版的。霎時心中泛起波瀾，數學能發展到今天真的要感謝一代代數學家的辛勤付出啊。

單墫教授的《數學競賽史話》

第5頁

出版日期1990年5月

模友們看過辛普森一家嗎，裡面辛普森的宇宙里就有費馬猜想的身影哦，只不過那個反例已經挺接近的了，但不成立！

背後的等號應該是不等號！

龐加萊猜想

龐加萊猜想是美國克雷數學研究所發布的千禧難題中的其中一道。眾所周知，千禧難題的獎金是一百萬美元。

猜想是這樣的：任何一個單連通，閉的三維流形一定同胚於一個三維球面。

舉個形象的例子吧，把一個橡膠圈套在一個物體上，如果我們可以讓這個橡膠圈無限縮小成一點，那麼這個物體就拓撲同胚於一個球面。

如下圖所示，把一個橡膠圈套在一個封閉的甜甜圈上， 無論怎麼樣， 我們也不能讓這個橡膠圈縮到一點去。所以這個像甜甜圈一樣的面是不同胚於球面的，這與我們的常識是一致的。

相信模友都知道，龐加萊猜想是7個千禧年難題中唯一一個已經被解決了的問題，而獲得這100萬美元大獎的便是超模君前幾天剛介紹完的，來自俄羅斯的數學家——格里戈里·佩雷爾曼（Grigory Perelman）。

佩雷爾曼於2002年11月到2003年7月間在網上發布了3篇論文，宣稱自己已經證明了龐加萊猜想，並且高冷地表示：

"如果有人對我解決這個問題的方法感興趣，都在那兒呢，讓他們去看吧。我已經發表了我所有的想法，我能提供給公眾的就是這些了。"

其實，在此之前，就已經有3位數學家因為對龐加萊猜想證明的推進性研究而獲得菲爾茲獎。

1966年，斯梅爾(Smale)因對龐加萊猜想的五維空間和五維以上的證明而獲得菲爾茲獎；

1982年，瑟斯頓(Thruston)由於引入幾何結構的方法對三維流形進行切割而獲得菲爾茲獎；

1983年，福里德曼(Freedman)證明了四維空間的龐加萊猜想，也因此獲得了1986年度菲爾茲獎。

不過，快一個世紀以來，人們還是沒能將它完全證明出來，所以，這一次佩雷爾曼突如其來的論文，在數學界仍然引起了極大轟動。

接著，克雷數學研究所對佩雷爾曼的證明進行了研究、驗證，終於在2005年10月，證實了佩雷爾曼的證明是正確的，並將這3篇論文變成了一個幾百頁的解析版！

2006年，因龐加萊猜想的證明，國際數學聯盟決定將菲爾茲獎頒給佩雷爾曼，然而，佩雷爾曼拒絕了。

2010年，克雷數學研究所將千禧年大獎頒給佩雷爾曼，也同樣遭到拒絕。

從此，關於龐加萊猜想證明的探索也終於從歷史上完美落幕。

說完已經解決了的問題，我們再來說說沒解決的，而且

有很多人表示想在他們還在世的時候看到這些猜想的證明。

黎曼猜想

這又是一個千禧難題，同樣地，如果你解決了，一百萬美元就是你的了。

下面是黎曼ζ(zeta)函數的定義：

這裡的s可以為複數。我們知道，當s為一個大於1的常數時，該函數對應的級數是收斂的；當s=1是，該函數對應的級數便是我們熟悉的調和級數(harmonic series)，它是發散的。

此時，黎曼認為可以通過這個函數的某些性質去近似計算一個給定上限的區間里素數的個數。

（我們經常用素數定理對素數個數進行近似計算，即當x比較大時，小於等於x的素數大約有

個。）

黎曼對素數個數近似計算與上述黎曼ζ函數的零點有關，黎曼已經觀察到所有列舉出來的非凡零點在複平面內，上面說了s可以為複數，都坐落在x=?這條線上，換句話說就是，這些被列舉出來的非凡零點的實部都是?。

但是這僅僅是列舉出來的呀，於是經過進一步研究，黎曼猜想，ζ函數所有的非凡零點都坐落在一個帶上，如下圖所示。

如果可以證明黎曼ζ函數的所有非凡零點都像黎曼所說的那樣坐落在圖示的帶狀區域內，那麼黎曼猜想就被證明了。

跟其他猜想一樣，黎曼猜想的證明之路也是困難重重，不斷地有人宣稱證明了黎曼猜想，不斷被指出其證明有誤。

作為當今數學界最重要的猜想，黎曼猜想一旦被證明，其背後跟著的超過1000條數學命題將會晉陞為數學定理，超模君期待人類能早日看到那位攀登到頂峰的數學家，是如何給出精彩且完美的證明的。

考拉茲猜想

這真是我最喜歡而又在所有未解決的猜想里最簡單的一個了（當然說的是猜想本身的內容

）

，這就是考拉茲猜想。它也被稱為奇偶歸一猜想、3n+1猜想、冰雹猜想、角谷猜想、烏拉姆猜想等。

猜想是這樣的：對於每一個正整數，如果它是偶數，就把它用2除它；如果是奇數就把它乘3再加1。重複這個過程我們會發現，這最終會進入4—2—1這樣一個循環。下圖便有一個例子。

下圖是對考拉茲猜想的一個抽象，正是這張圖片吸引了我。

怎麼？不夠驚艷？再來看看超模君找到的這張動圖。

圖片來源: Alex Bellos & Edmund Harriss

不過，對於這個看似非常簡單的問題，至今為止，卻沒人能給出一般情況的證明。

著名數學家保羅·埃爾德什（Paul Erd?s）曾說：「數學還沒有做好準備面對這樣的問題。」

超模君上面那張圖就展現了為什麼這個問題如此難破解。然而，儘管難破解，還是不斷有數學家為之傾盡全力，不計較最後的結果是好是壞。

也許，很多人想問，花那麼多時間和精力去證明一個猜想是否真的值得？有什麼意義？

在這裡，超模君想說，當然值得！數學符號或數字看起來或許沒有什麼意義，但不可否認的是，它作為推動人類發展的工具，一直都在發揮著它強大的作用。

人類在證明各種猜想的過程中，先不論這對數學發展的意義是多麼的重要，這一過程對人類的思考方式、思維深度、邏輯能力等的發展，絕對是催化劑式的效果。

另外，這難道不正體現了數學的嚴謹性嗎？

數學的公式或定理並不是依賴於猜測，而是需要有嚴謹的邏輯證明推理過程的，這也使得數學成為了一個解決本學科以及其他學科問題的重要工具。

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本文系網易新聞·網易號「各有態度」特色內容

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