數學家眼中的信息時代：兩千年的接力賽

文章來自「科學大院」公眾號

作者：黃逸文

作者按

時光荏苒，滄海橫流，變化在加劇，唯一不變的，依然是人們對幸福生活的美好嚮往。人類文明的進程有時進步，有時停滯，曾經有過古希臘的輝煌，也曾陷入中世紀的黑暗。

正是先賢們對科學的敬畏和追求，終於讓我們走出愚昧，在數千年後收穫科技的饋贈。當我們有幸品嘗到這些豐碩的果實時，理應傳頌昔日無數英才們蕩氣迴腸、如泣如訴的往事。

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兩千年的數學接力賽催生現代計算機

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希爾伯特第十問題 現代計算機的理論源頭

圖靈奠定了現代計算機的基礎，也劃定了今天所有計算機的理論極限。

圖靈機的誕生看似水到渠成，其背後的核心卻是一條蜿蜒流淌了近兩千年的思想河流。事實上，圖靈是為了解決希爾伯特著名的第十問題而提出有效的計算模型，進而才做出了可計算理論和現代計算機的奠基性工作。希爾伯特問題則可以追溯至古希臘的一位著名數學家。

公元3世紀，古希臘亞歷山大城的數學家丟番圖主要研究不定方程。不定方程指的是未知數個數多於方程個數的一類代數方程或者方程組。其中一類係數為整數的不定方程，被後世稱為丟番圖方程。尋找丟番圖方程的整數解則開啟了代數學上最為輝煌的一個分支。比如著名的費馬大定理就是無數丟番圖方程的一個極其簡單的特例。對於這樣一個簡單的丟番圖方程，後世最傑出的數學家歷經358年的不懈探索才最終於1994年由英國數學家懷爾斯解決。

希爾伯特（1862年1月23日—1943年2月14日）

17個世紀後的1900年，德國大數學家希爾伯特在巴黎舉辦的國際數學家大會上，提出了23個著名的數學問題。其中第十個問題則更是雄心勃勃地對所有丟番圖方程發起了挑戰。問題的核心是「是否存在一個機械步驟，對任意一個不確定的丟番圖方程，都能通過有限步的運算，即可以判定它是否存在整數解？」

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演算法的誕生&計算機的運算極限

希爾伯特第十問題留下了兩個懸念。

第一個懸念是科學的「演算法」定義。在那個年代，有限的、機械的證明步驟在數學上還沒有嚴格的定義，人們只能憑著感覺去定義這樣一種模糊的表達方式。今天我們知道，這樣一個問題，本質就是「演算法」的概念。

第二個懸念則是問題的答案。如果問題的答案是否定的，那將意味著可能存在著大量數學問題人們永遠無法知道其答案是否存在，自然也就無法去找到解決它的辦法。人們面對這樣的問題只能束手無策。因此一個可以計算的機器可能從誕生之初就有其無法逾越的極限。

到了30年代，圖靈和丘奇分別從不同的抽象角度提出了「有效機械演算法「的概念。其中圖靈提出的圖靈機模型傾向於硬體性，且模型直觀形象，很快得到了人們的普遍接受。通過圖靈機模型，人們第一次理解了「演算法」這一基本的深刻概念。也正因為圖靈奠定的理論基礎，人們才有可能發明改變現代文明的工具：計算機。因此圖靈被人們尊稱為計算機理論之父。

然而，圖靈的立足點不僅於此。為了解決計算機是否存在著理論上的極限這個懸念，讓圖靈對「計算機」這一概念有了更深的思考。這就是著名的圖靈機的停機問題。在圖靈眼中，這個問題更加本質和重要。事實上，圖靈機正是他為了論證圖靈停機問題才順帶提出的模型。

那麼，計算機是否真的存在著理論的運算極限呢？這就需要直接回答希爾伯特的第十問題。

二進位

在希爾伯特提出著名的第十問題後，很多傑出的數學家對這一問題投入了大量的時間和精力。功夫不負有心人，70年後，問題終於由前蘇聯偉大的數學家馬季亞謝維奇解決。這深深地震驚了數學界，其影響力也衝擊到其他自然和人文科學。人定勝天的理念在那一刻分崩離析。原來世界上存在著無數的數學問題，人們永遠不會知道其答案，而且這樣的問題遠遠多於有答案的問題。人類能夠認識並解決的問題不過是大自然奧秘中的滄海一粟。因此，計算機先天就存在著理論極限，它嚴格受制於人類能夠解決的問題集合。這無疑也證明了圖靈當初的遠見卓識。

圖靈的證明過程深深地受益於彼時的數學進展。正如當初愛因斯坦為了研究廣義相對論，被迫去求助於一套全新的數學工具。幸運的是，廣義相對論所需要的所有數學理論基礎在1840年即由德國數學家黎曼完成。愛因斯坦為此花費十年時間學習黎曼幾何和相關的數學技巧，才最終以一人之力做出了曠世的貢獻。

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康托的無窮集——對圖靈的重大啟發

圖靈的關鍵想法源自德國數學家康托在19世紀末開創的無窮集合論。然而，這一極具天才創見的理論，在其誕生之初，不但沒有給創始人帶來應有的榮譽，反而譜寫了一段血與淚的科學往事。

兩千多年以來，科學家研究的實體都是基於有限的存在，沒有人試圖踏入無窮的世界。面對這樣一個遠遠超越人類認知的事物，大多數理性的科學家都選擇了迴避。人們小心翼翼地處理和無窮相關的概念。

自牛頓和萊布尼茨建立了微積分以後，微積分計算的嚴格性常常被人詬病，迫切地需要數學理論的澄清。到了19世紀，由於分析的嚴格化和函數論的發展，數學家們對無理數理論、不連續函數理論的研究更是需要理解無窮集合的性質。

時代呼喚著天才。此時，德國數學家康托則獨自扛起了挑戰無窮的大旗。他以一己之力創造了集合論和超窮數理論。

為了把握和認知無窮的集合，康托創造性地將一一對應和對角線方法運用到集合論的奠基性研究當中。數學的分支雖然眾多，但是幾乎所有的數學都離不開集合的概念。從某種意義上說，集合就是一切數學的基礎。因而如果為集合論奠定了公理化的基礎，也就等於為數學奠定了基礎。

然而，任何超越時代的貢獻都難以在當時被世人承認。康托也為此付出了極其慘重的代價。他的成果遭到同時代數學大師無情地嘲諷。他們組成反康托的聯盟，對他進行科學和精神上的雙重羞辱。備受打擊的康托終於精神崩潰，一度患精神分裂症，最終於1918在德國一家精神病院鬱鬱而終。

康托（1845年3月3日-1918年1月6日）

歷史終究是公平的，遮天蔽日的烏雲也無法掩蓋天才的光芒。希爾伯特高度讚譽康托的集合論「是數學天才最優秀的作品」，「是人類純粹智力活動的最高成就之一」，「是這個時代所能誇耀的最巨大的工作」，「誰也無法將我們從康托爾為我們創造的樂園中驅逐出去」。羅素也將其稱為「19世紀最偉大的智者之一」的人。

不負所望的是，康托在集合論方面的工作終於將數學置於前所未有的堅固基石之上。19世紀的數學因為他的工作而看到了真正嚴格化的曙光，由此分析的不嚴密性問題得到了解決，懸置在數學家心中的一塊巨石終於塵埃落定。自康托起，集合論成為數學裡最基礎和重要的理論分支之一。

讓康托意想不到的是，他在研究無窮集合時所發明的對角線方法，則為後世科學家提供了極為本質的靈感源泉。20世紀無數重大的理論成果都受益於此，數學和哲學也因此而煥然一新。比如圖靈停機問題、哥德爾不完備定理都是該方法的不同延伸[3]。在這些思想成果的匯聚下，最終造就了今日的信息文明，特別是計算機的發明。

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羅素悖論

表面上看起來，康托的集合論為數學建立了牢不可破的公理體系大廈。當這座大廈快要完工的時候，事情再次出現了轉折。數學的危機不期而至。這次掀起滔天巨浪的是英國數學家羅素。

羅素（1872年—1970年）

羅素悖論徹底粉碎了數學家的夢想。關於羅素悖論的一個通俗版本是：「村子裡有一個理髮師，他給自己定了一條規矩：『不給那些所有給自己理髮的人理髮』。現在就要問，這個理髮師該不該給自己理髮？」。不管如何回答這個問題，都會導致自相矛盾。這個問題本身似乎就具有不可調和的矛盾。正是因為這種奇怪的邏輯，羅素顛覆了整個數學大廈的基礎。

數學是最為嚴格的科學，然而集合論中居然存在著這樣明顯而根本的矛盾。為了避免羅素悖論產生的方法，人們開始通過細心地選擇數學公理來避免產生羅素的思維怪物，從而重新構建精確唯美的數學體系。1917年，希爾伯特提出來一整套數學綱領。他希望找到一套公理體系能夠排除悖論，並挽救精確純粹而美麗無暇的數學。

希爾伯特希望藉助於形式化的手段，抽掉數學證明中的意義，把數學證明抽象成一堆無意義的符號轉換，甚至我們人類賴以自豪的邏輯推導，也能表達為一堆符號轉換。他試圖證明，在任一個無矛盾的形式系統中所能表達的所有陳述都要麼能夠證明要麼能夠證偽。在這個系統里不會再出現類似羅素這樣的思維怪圈。

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哥德爾不完備定理——可編程機器問世

然而，14年後的1931年，奧地利裔數學家哥德爾的證明徹底顛覆了希爾伯特形式化數學的宏偉計劃。哥德爾的證明揭示出：在任何一個相容的形式化數學理論中,只要它可以在其中定義自然數的概念,就可以在其中找出一個命題，在該系統中既不能證明它為真，也不能證明它為假。通俗地說，就是任何一個數學的公理化體系都不是「完美的」。任何數學公理化系統都需要人為地從外界注入新的公理進去才能讓它日趨完善，而它自己並不能完全自動避免矛盾產生。

哥德爾（1906年4月28日—1978年1月14日）

哥德爾定理在數學界掀起了軒然大波，不僅在數學上空前絕後，也蘊含著深刻的哲學意義。它完全改變了人們的世界觀，其影響波及到自然科學與人文科學的每一個角落。這一理論的豐碑告訴人們：即使是最「完美」最「純粹」的數學也都無法保證自身的完全性，更進一步，純粹完美的世界也並不存在。令人驚異的是，哥德爾證明不完備定理的主要思想以及羅素悖論的方法和康托的對角線法則是一脈相承的[2,3]。更讓人意想不到的是，哥德爾在證明中引入了「程序即數據」的理念。這也是現代馮諾依曼式計算機的一個核心思想。可以說，哥德爾不完備定理在冥冥之中即預示了可編程機器的必然問世。

歷史的發展總是出乎意料。康托建立集合論是為了給整個數學打下堅實的基礎，特別是分析的嚴格化問題。羅素卻在集合論的大廈基石上鑿出了一道裂痕，繼而引發了數學史上第三次重大的危機。當希爾伯特雄心勃勃地提出形式化猜想時，其目的是為數學證明尋找到一勞永逸的邏輯推理方式，從而避開羅素悖論的陷阱。此時哥德爾不完備定理卻徹底粉碎了這份美好的願望，將數學帶入到更深的矛盾之中。奇妙的是，哥德爾在證明中引入的觀點卻成為後世馮諾依曼式可編程機器的核心理念。

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計算機的橫空出世

在希爾伯特第十問題的啟發下，圖靈和丘奇分別提出了圖靈機和lambda 運算元這兩個概念。圖靈機側重於將數學概念物理化。它的提出就隱含了實際的物理實現。多年以後，馮·諾依曼遵循其圖靈機的概念，據此提出了奠定現代計算機體系結構的馮·諾依曼體系結構。

馮·諾依曼（1903年12月28日-1957年2月8日）

具體而言，最早人們將機器的工作主要放到數學計算上。圖靈機解決的正是數學計算的這個焦點問題，他創造了機器指令設計的基本方法。在馮·諾依曼計算機中，一種數學計算已經變成了一條指令。

圖靈設計的狀態自動轉移，就是機器指令的例行程序。這裡的指令例行程序設計，就是一條指令執行的一連串機器動作，也被稱為有限狀態變化。圖靈機擁有了自動地實現狀態變化的方法。但是，圖靈的指令系統因為單一而不夠完善。首先，它沒能將指令存儲起來重複使用。其次，它沒能形成實現程序的結構設計。正因為如此，圖靈機的應用範圍還不夠廣泛，它無法成為能夠處理各種任務的計算機。此後，馮·諾依曼提出的程序數據存儲的思想彌補了圖靈機的這兩點缺陷。目前大多數計算機的體系架構則完全脫胎於馮·諾依曼。儘管如此，馮·諾依曼計算機是改良的圖靈機，其基本理念仍然深受圖靈機框架的影響。

與此同時，丘奇的lambda 運算元則是純粹數學推理系統的一個形式化。他從純數學的角度進行抽象，不再關心運算的機械過程而只關心運算的抽象性質。丘奇在幾條簡潔的公理基礎上便建立起了與圖靈機完全等價的計算模型，由此奠定了函數式編程語言的基礎[3]。

自此，現代計算機所需要的硬體和軟體的理論基礎已經全部搭建完成，它的誕生是水到渠成，而摩爾定律在製造工藝上保證了計算機能力的指數提升。在經歷半個世紀的突飛猛進後，我們終於迎來了移動互聯網的時代，同時伴隨著大數據、人工智慧等等造福人類的技術相繼登場。

從丟番圖起，人類一直在探索真理的道路上匍匐前行。康托、羅素、希爾伯特、哥德爾、丘奇直到圖靈、馮諾依曼、香農等等偉大的名字共同鑄就了也許是人類歷史上最偉大的發明：計算機。沒有誰能單獨發明計算機，每一位傑出的科學家都是站在巨人的肩膀上走得更高更遠，最終將我們帶入了高度發達的信息化時代。

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計算機將向何處去？

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非馮諾依曼式計算機

信息時代產生了大量的數據，它所需要的運算能力越來越強。海量數據的分析在航空航天、天氣預報、石油勘探、商業運營、金融分析、生物工程等等方面都有了迫切的需求。與此同時，摩爾定律已經觸及到了物理的製造極限，傳統的馮·諾依曼式計算機也已經漸漸力不從心。只有突破現有的體系結構框架並尋求新的物質介質作為計算機的信息載體，才能使計算機有質的飛躍。科學家們開始努力對馮·諾依曼計算機進行改良，並取得了重大的進展。光子計算機、量子計算機、神經計算機和DNA計算機應運而生。隨著超高速計算機的投入使用，我們也會很快邁入全新的信息時代。

量子計算機

但無論是哪種計算機，它們都是圖靈機的變形。事實上，圖靈早已經發現哥德爾不完備定理在計算理論中有其對應的現象。它揭示了即便是在可以設想出來的性能最好的計算機中，也存在有不可避免的「漏洞」，也存在著大量計算機無法解決的問題。這就是圖靈機為現代計算機劃定的一條無法逾越的邊界。

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超越圖靈

那麼，人們是否能造出突破圖靈限定的計算機？

這需要回到計算的本質上來看。

早在80多年前，圖靈就意識到計算來自於確定性的機械運動。21世紀的電子計算機就是用電子的運動等價於機械運動。圖靈猜測人的意識來自於量子力學的測不準原理，而計算是確定的，意識是不定的，因此兩者完全不同。圖靈機也據此確定了計算機的邊界。

突破圖靈機的方法之一就是突破確定性的限制，我們就必須要放棄程序的實在性，即需要構造一個每時每刻都在變化的程序。如果一個個體時刻都處在不停的更新中，它的本體不斷地隨著外界的刺激而改變，那麼這個虛幻的個體就有可能超越圖靈計算的極限。大自然中恰好存在著這樣的實例。比如人腦的信息處理過程就是細胞在不斷根據環境的刺激而隨時改變，這意味著人體本身可能就是一個超越圖靈機的存在。甚至所有的生命體都具有根據環境而改變自己的演化規律。生命體和非生命體的這個區別可能也是圖靈機與非圖靈機的一個本質差異。

人工智慧

隨著計算機的能力與日俱增，人工智慧的突然爆發也引起了人們的普遍擔心。是否有一天人類會被人工智慧超越，甚至淪為它們的奴隸成為激烈的爭論觀點。然而，只要我們回到計算機的本質上來看，一切計算機的本質還是一部圖靈機，我們就知道它所具有的極限。正是這種極限讓計算機和人有著不可逾越的鴻溝。也因此，當代的計算機設計只能成為人們越來越強大的輔助工具，它能夠幫助人們處理確定性的問題，而在計算機的參考下人們亦能做出更加睿智的決策。

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結語

信息時代，是一個毀滅與重建並存的時代，也是一個機遇與挑戰共處的時代。這是一個小人物有幸逆襲的時代，也是一個權威輕易被顛覆的時代，這是一個普通人能夠彰顯個性的時代，也是一群陌生人可以齊心合作的時代。這個時代的能量與潛力，取決於人們如何更好地利用信息的優勢！

參考文獻：

[1]《文明之光》，吳軍，2014年，人民郵電出版社。

[2]《哥德爾、艾舍爾、巴赫-集異壁之大成》，侯世達著，2013年，商務印書館。

[3]《暗時間》，劉未鵬，2011年，電子工業出版社。

身在信息時代，要為數學家點贊！

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