歸納法、演繹法和你所不知道的例證法

作者 ：張景中

來源：《數學家的眼光》

轉自：好玩的數學

哲學園鳴謝

之前給大家分享過張景中院士所著《數學家的眼光》中的一篇科普短文《數學家眼裡的相同與不同》（點擊可查看，標題是我另加的哈），有網友表示「文章寫得通俗易懂，真不愧是大家，讀來甚是享受，希望能多多選擇這樣的科普短文」，還有的網對其中有限覆蓋定理通俗易懂的解釋拍案叫絕。確實，張景中的科普作品通俗易懂、思想深刻，讀他的作品是一種享受，最近正在努力學習中，有合適的我會摘錄下來分享給大家。不過呢，還是建議大家買原作來讀一讀更有感覺。今天再分享一篇介紹例證法的文章。

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用手扔一個石子，它要掉下來。再扔一個玻璃球，它也要掉下來。再扔一個蘋果，它還是要掉下來。我們會想到：不管扔個什麼東西，它都是要掉下來的；進一步去想這是為什麼，想到最後，認為是由於地球有引力。但是，我們並沒有把每件東西都扔上去試一試。試了若干次，就認為可以相信這是普遍規律。這種推理方法，叫歸納推理。在物理、化學、生物、醫學等許多實驗科學的研究中，用歸納推理來驗證一條定律、一條假說是常有的事。理論對不對，用實驗來驗證。

數學研究似乎不是這樣。你在紙上畫一個三角形，用量角器量量它的三個角的大小，加起來差不多是180。。這樣畫上百個三角形來試驗，發現每個三角形內角和都接近180。。而且量得越准，越接近180。。你能不能宣布，我用實驗證明了一條幾何定理「三角形內角和是180。」呢？

老師早就告訴你了，這不行。要證明一條幾何定理，要從公理、定義和前面的定理出發，一步一步地按邏輯推理規則推出來才算數。用例子驗證是不合法的。

這表明，數學要的是演繹推理。歸納推理只能作為提出猜想的基礎，不能作為證明的依據。

歸納法與演繹法，是人類認識世界的兩大工具。都是認識世界的工具，又何必這樣水火不相容呢？

可是有些數學家，眼光偏偏與眾不同。我國著名數學家洪加威，在1985年發表的兩篇論文中，提出了新穎的見解。他用演繹推理的方法嚴格地證明了這麼一個使人吃驚的事：對於相當大的一類初等幾何命題，只要用一個例子驗證一下，便能斷定它成立不成立！

這叫做幾何定理證明的「例證法」。

根據「例證法」，要證明「三角形內角和等於180o」，畫出某個「一般的」三角形仔細量量它的三角，確實是180o，我們就說這個命題成立。不過，要量得足夠準確！

也許你不相信，也許你以為這裡面包含了過於高深的數學理論。

恰恰相反，例證法的基本原理很平常，我一說你就能明白。

在你面前寫一個等式:

(x+1)(x-1) =x2-1 （1）

你知道，這是個恆等式。因為用一下分配律：

(x+1)(x-1)=x(x-1)+(x-1)

=x2-x+x-1=x2-1

就給出了證明。

如果有人告訴你：取x=0代入(1)，兩邊都得-1；取x=1，兩邊都得0；取x=2，兩邊都得3。這就表明(1)是恆等式。你怎麼想呢？你可能不同意。恆等式嘛，必須是所有的x代進去都能使兩邊相等。才代了3個，憑什麼斷定它是恆等式呢？

有趣的是，這樣取3個值代入後，確實證明了(1)是恆等式。道理很簡單。如果(1)不是恆等式，它就是一個不超過二次的方程，這種方程至多有兩個根；現在竟有3個「根」了，那它就不是二次方程或一次方程，所以一定是恆等式。

按照這個道理，要判斷一個最高次數為3的等式是不是恆等式，只要取未知數的4個不同的值代入驗算。4次等式用5個值，5次等式用6個值，n次等式用(n+1)個值代入。這是因為n次方程至多有n個根，如果居然有(n+1)個值代入都能使它兩端相等，那它一定是恆等式。例如，要證明

X3+1=(x+1)(x2-x+1)

是恆等式，只要取x=0,1,2,3 代入看看。一看，都對，這就證明了它是恆等式。這種方法叫做用舉例的方法證明恆等式。因為證明一個恆等式要舉幾個例子，所以叫多點例證法。

如果又有人說，要證明(x+1)(x-1)=x2-1是個恆等式，不一定取x的3個值驗算，只要把x=10 代入看看。這時兩邊都是99，所以它一定是恆等式。這麼說對不對呢？

也許你會抗議。剛才明明說過，二次等式要用3個值代入驗證，現在僅僅用x=10試了一下，為什麼說就行了呢？

用x=10試一下就行，有它的道理。

用反證法。如果(1)不是恆等式，把它展開、移項、合併，得到一個方程

ax2+bx+c=0 (2)

從(1) 式不難看出，a、b、c都是整數，而且絕對值不會比5大，取x=10代入， 應當有： 102a+10b+c=0 移項，取絕對值得

|100a|=|10b+c|≤10|b|+|c|≤55 (3)

於是a必須為0，因而

|10b|= |c|≤5 (4)

這就推出b必須為0。於是c也必須為0 了，這表明(1)是恆等式。

由此可見，要驗證一個帶有未知數的等式是不是一個恆等式，只要舉一個例子。不過，這個例子里的未知數要足夠大。

有時，等式會不止出現一個未知數。例如：

(x3+y2)(x3-y2)=x6-y4(5)

這個等式里有x、y兩個未知數，關於x的最高次數是6次，關於y的最高次數是4次。驗證時可以取x的7個值，如x=0、1、2、3、4、5、6，y的5個值，如y=0、1、2、3、4，交叉組合出一共。(6+1)×(4+1)=35組(x,y)代入驗算，如果都對了，就證明(5)是恆等式。

也可以用一組(x,y)代入驗算，但是x和y的取值都要很大，而且一個要比另一個大得多。具體到等式(5)，可以取y=10,x=100000。

等式里有更多的未知數的時候，仍然可以用例證法來判別它是不是恆等式。如果它含m個未知數，次數分別是k1,k2,…,km，那麼就要用

(k1+1)(k2+1)…(km+1)

組未知數的值代入檢驗。

如果這個等式里係數都是整數，而且展開之後可以預估每項係數絕對值都不超過N-1，就可以用一組未知數的值來檢驗。這組未知數可以取以下形式:

這是一組大得可怕的數。

總之，含多個未知數的代數等式是不是恆等式的問題，也可以用例證法解決。用許多組數值不大的例子可以，用一組很大數值的例子也可以。

用解析幾何的原理，可以把幾何命題成不成立的問題轉化為檢驗代數式是不是恆等式的問題。用一組未知數檢驗，在幾何里相當於具體畫一個圖。這樣，舉一個例子就可以檢驗幾何命題是不是成立，也就不足為奇了。

洪加威提出的例證法，是舉一個例子來檢驗，例子雖只有一個，但數值很大，用電子計算機算起來都很困難。

另外，我國有些數學家還提出了多點例證法，即舉多組例子，但每個例子計算起來都很快，這樣就使例證法從理論變為現實。數學裡有不少問題，可以用「舉例」的方法解決。可以說，在歸納推理和演繹推理之間，已經沒有一條不可逾越的鴻溝了。

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