圓面積的另類推導

聽一位同事說，他在上「圓的面積」時，有一位學生用三角形的面積計算公式，推導出了圓的面積計算公式。我當時很意外，於是聽他細細講了過程，如下：

前面已經通過把圓16等分的方法得出了圓的面積計算公式，然後教師質疑：「誰還有不同的方法也可以推導出這個計算方法？」學生經過簡短地思考和討論之後，有了「創造」。基本思路是這樣的：

首先，在圓中畫兩條半徑，這樣就構成了一個近似的三角形。這時就可以把兩條半徑之間的弧線看作是底（如圖1），則高就是這個圓的半徑。此時，這個近似三角形的面積就是「底×半徑÷2」。

然後，讓兩條半徑繞圓心都向外旋轉（如圖2），一直到兩條半徑相遇。這時，這個三角形的面積就可以看成是這個圓的面積了（如圖3）。那麼，現在這個「三角形」的底就這個圓的周長，高還是半徑。

由此可以得出：S三角形=S圓=2πr×r÷2=πr2

聽了之後，我很驚訝！我曾經見過以正多邊形來推導圓面積的計算公式，但還從沒見過從三角形來推導的。同時，我也相信，很多老師也應該未曾見過！

那麼，是什麼引發了學生這樣令人驚訝的「創造」呢？這還得從梯形的面積計算公式說起。

相信大家都知道，在學習了梯形的面積計算公式以後，可以把它作為長方形、正方形、平行四邊形、三角形以及梯形面積計算的通用公式。以三角形為例，三角形可以看成上底是0的梯形，那麼S三角形＝（0＋a）h÷2=ah÷2。其它的圖形也可以如此證明。我的同事正是把這些工作做實、做透了，所以，可以說實際上在那時就已經在一部分學生心中「種」下了今天這個推導過程的「種子」。如果這樣想來，那麼學生出現這樣的創造，似乎又很合乎情理了。

在聽完同事的講述之後，我們又做了一個大膽的猜想：圓環面積的計算公式也可以通過梯形面積計算來推導！

首先，如圖4形成一個陰影部分，可以看成是一個近似的梯形。梯形的上底就是內圓兩半徑之間的弧線，下底就是外圓兩半徑之間的弧線，高就是外圓半徑與內圓半徑的差。然後用同樣的辦法讓兩條半徑旋轉，形成圓環（如圖5）。這個時候上底就是內圓周長，下底就是外圓周長，高還是外圓半徑與內圓半徑的差。

我們是否可以受到這樣的啟發：整理、溝通同一體系的知識，在數學教學中是非常重要的，因為它不僅可以使學生更好地理解、掌握這個體系的知識，而且還有助於學生創造性地運用知識，甚至也可以說是學生創新思維培養的一種手段吧！

數學知識呈螺旋上升的現狀，這種整理和溝通似乎顯得尤為重要。

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