用實驗「玩」數學，孩子的思維這樣養成

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一位一年級學生早就會20以內加減法了，但是面對=2+3，居然不會做！2+3=會做，反過來就不會做了，這是怎麼一回事？

2+3=和=2+3看起來好像只是形式有異，但真正讓學生們困惑的是它們背後完全相反的認知過程——前者是常見的算術順向思維，後者滲透著逆向思維和平衡觀念。

而學生之所以會被形式、認知順序迷惑，追根究底是他們沒意識到「運算中的等號表示的是等價事件」這一核心。

那怎麼幫助學生加深對數學核心內容的記憶和理解呢？經過多次嘗試實驗，我和團隊找到並開發了一個神秘武器——「數學小實驗」課程。

「數學小實驗」的奧秘

「數學小實驗」，是一門通過實驗方法和手段，進行數學建模和探究的課程。

在長期的實驗、教授過程中，根據數學實驗涵蓋面的大小和操作的複雜程度等，我們將數學小實驗分成邊做邊想式、嘗試歸納式、猜想驗證式、觀察比較式等4類。

這4種實驗在適合內容、操作過程和授課效果上各有千秋。

1

邊做邊想式——小紐扣 大秘密

要學習「分類」這節內容了，我想到了生活中常見的素材——紐扣，創設了「怎樣快速找紐扣」的問題情境，一次特殊的數學實驗開始了。

師：紐扣是常見的生活用品，但紐扣市場的紐扣太多太豐富了，如果想找到某一類扣子，怎麼才能快速找到呢？

（學生們陷入思索，開始進入情境，接著，我拿出紐扣。）

師：大家看，這麼多紐扣堆放在一起，有點亂，如果你是老闆，你會怎麼分類整理呢？

實驗開始了，我們先將學生進行兩人分組，然後每組發放8顆紐扣（每顆都編了號），要求先自行分類整理，並記錄整理結果和分類標準（哪幾顆紐扣分為一類，就寫在同一個括弧里）。

在第一次分類結束後，同組之間交流分類心得，然後再次嘗試其他分類標準和結果。下面是我們本次實驗的作品照片。

邊做邊想類實驗，實踐起來並不難，在一、二年級最為常用，旨在讓學生在動手操作中思考，逐步使自己的發現從模糊走向清晰。前期準備上要注意兩個問題：

1. 實驗材料的選擇——材料既要能吸引學生，又要突出作為學習材料的典型性、實驗性和探究性；

2. 數據採集——不僅要採集可以量化的數據，也要注意採集學生的作品。每幅作品背後學生的思索，才能為實驗結論的得出提供真實證據。

如果能再拓展一些素材，將實驗引向深入，進行數學化分析，那就更加完美了。

2

嘗試歸納式——圖形的奧秘

師：我們剛開完運動會，有小朋友用七巧板拼出了上面的圖。它像什麼呢？

生：像一個人在跑步！

師：是的，大家還知道其他的平面圖形嗎？

（學生爭先恐後搶答）

師：那我們今天就一起用磁力棒和小球來拼平面圖形，探究平面圖形的奧秘！

看到這兒，相信大家已經知道我們這節實驗課的主題——平面圖形了，在確認孩子們對學習內容初步思索之後，我們進入了第二個環節——分析比較，提出猜想。

這節課的目標是用磁力棒和小球拼出三角形和四邊形。實驗開始了，孩子們每人選擇了一份材料，拿到了一張表格（用於記下拼出的不同圖形的數據）。

我們先向孩子們展示了提前拼出的三角形和四邊形的圖形，鼓勵孩子們仔細觀察，說出自己的發現。

生1：三角形有3個點，3條線段。

生2：四邊形有4個點，4條線段。

孩子們發現了三角形和四邊形的規律，我們開始引導他們運用類比思想，並提出猜想：

五邊形，是不是有五個點，五條線段？

六邊形，是不是有六個點，六條線段？

七邊形，是不是有七個點，七條線段？

八邊形呢？

……

師：這樣的小猜想有很多很多，大家能把這些小猜想總結成一個大猜想嗎?

生：幾邊形，就有幾個點，幾條線段！

把孩子們的猜想進行板書後，老師畫了另外一張表，帶領著大家進入驗證環節。

嘗試歸納式實驗大多是貫穿課堂的大實驗，期間思考探究的空間更大，時間也更長。為保證這一類型的實驗有序推進，它的實驗流程建議設計如下：

1. 提供素材，初步探索；

2. 分析比較，提出猜想；

3. 舉例驗證，豐富例證；

4. 檢驗假設，得出結論；

5. 反思評價，積累經驗。

3

猜想驗證式——這片葉子的面積有多大

在學習完「面積」這節課，我們拿出了上面這張圖片，提出了一個問題：「根據這張圖，你能提出什麼數學問題呢？」（請各位讀者對此問題也進行思考。）

生1：長方形面積是多少？

生2：樹葉的面積是多少？

生3：樹葉的周長是多少？

生4：長方形面積是樹葉面積的幾倍？

生5：樹葉面積是長方形面積的幾分之幾？

生6：空白部分的面積是多少？

……

（孩子們提出了各式各樣的問題，經過分類，所有問題可分為兩類，一類求面積，一類求周長。結合準備的實驗內容，我們從眾多問題中挑選了一個。）

師：今天這節課，我們先來研究樹葉的面積，大家有哪些方法可以估算出樹葉的面積呢？

經過交流討論，孩子們提出了兩種方法來計算。

分類數：將長方形分割成單位面積的小正方形，通過數小正方形的方法估測面積。

這裡可以把小方格分為兩類，一類是整格的，一類是不滿一格的，不滿一格的都按半格計算。

轉化算：轉化成我們已經學過的規則圖形來估計面積。

孩子們提到的兩種方法都很可行，但都要用到格子圖，而且是之前經過實驗、已經教授過的方法。看到這種情況，老師再次明確了本節課的任務。

師：分類數和轉化算這兩種估測方法是我們上節課學到的知識。今天這節課沒有格子圖，只有一盒綠豆，這樣大家還能創造出新的方法來估測樹葉的面積嗎？

又一輪嘗試、討論開始了，很快孩子們得出了幾個方法。

方法1：直接鋪設法

A小組想先用綠豆填滿樹葉，然後數出綠豆的數量，估計出一顆綠豆底部的大小，用一顆綠豆的底面積乘綠豆的數量來推測樹葉的面積。

方法2：鋪滿轉化法

B小組在A小組的基礎上進行了改良，先將綠豆鋪滿整個不規則圖形，然後不改變這些綠豆的數量，將它們擺成一個長方形，只要測量這個長方形的長和寬，就能算出長方形的面積，也就推測出了樹葉的面積。

A小組和B小組的做法很穩妥，但可以看出與前面的分類數和轉化算方法有些類似，還會有新的想法迸發嗎？這時C小組提出了自己的想法。

方法3：撒綠豆實驗法

先在不規則圖形的上空撒下一把綠豆，然後分別數出在長方形裡面和不規則圖形裡面的綠豆的數量，看看兩部分數量有怎樣的倍數關係？它們的面積也應該具有這樣的倍數關係。

長方形的長和寬可以測量，可以計算出長方形的面積，再根據倍數關係計算出不規則圖形的面積。

師：這個方法很新穎，很厲害。但到底能不能求出樹葉的面積呢？

生1：撒一次可能不行，因為分布的不一定均衡。

生2：我擔心不太準確。

生3：這種方法我們以前從來沒有遇到過，可以先試一試，做一做實驗，然後再下結論行還是不行。

（生3的看法很有實驗的理念，於是老師先鼓勵了他們的想法，並帶領全班開始對他們的想法進行試驗。）

師：怎麼隨機撒綠豆，怎麼統計綠豆，其實就是怎麼做一個比較規範的實驗，通過之前的實驗課，相信大家已經很清楚了。

現在請大家分小組合作做實驗（全班分為10組），但要注意一下這幾個問題。

（1）撒豆：四人小組，大家輪流撒綠豆；

（2）記錄：每撒一次，統計員就要記錄數據；

（3）計算：最後算出幾次實驗的總數據。

經過全班的不斷嘗試，我們得到了這個數據結果，並將它轉成了條形統計圖。

通過觀察數據，我們發現長方形內綠豆數量是樹葉圖形內綠豆數量的2倍左右，並得出「長方形的面積是樹葉面積的2倍左右」的猜想，在這個猜想下，我們推測出了樹葉的面積：

15*12÷2≈90（平方厘米）（長方形長15CM，寬12CM）

猜想是否正確呢？還需要驗證。

這時就可以運用以前學過的分類數和轉化算的方法了——分類數得到的面積大約是89平方厘米，轉化算得到的面積大約是90平方厘米。

至此，我們為「樹葉面積的計算」得到了新的演算法的結論：用撒綠豆的方法，計算出規則圖形和不規則圖形中綠豆數量的倍數關係，進而推測出這兩種圖形的面積，然後根據規則圖形的面積來求出不規則圖形的面積。

這就是猜想驗證式實驗，它與嘗試歸納式實驗類似，貫穿課堂核心環節，是一種常用的研究方式。但由於這種實驗略微複雜，所以特此展示下實施流程：

4

觀察比較式——水杯琴如何發聲

觀察比較式是最基礎、最常用的實驗方法，它主要幫助學生在觀察和分析中發現內在聯繫和本質特徵，並從不同角度解釋特徵或成因，最終獲得對於數學的深刻理解與拓展運用。

例如，「水杯琴」這一數學實驗，目的旨在幫助學生了解杯子中的數量和發出聲音的音高之間的關係，而觀察比較的實驗過程通過下面這張實驗小卡就可以詳細了解。

「數學小實驗」課程，它通過幫助學生更好地理解數學概念/原理、驗證數學猜想、歸納數學規律、解決數學問題，進而實現數學理念和課堂教學方式的轉型，是一種真正實現「探究性學習」的課程。

但是，要想讓「數學小實驗」達到相應的教學效果，在籌備和內容設計階段，這幾個前提條件需要我們不得不注意：

1. 實驗過程中，目標明確，設計合理，操作程序規範，數學分析嚴謹；

2. 實驗步驟上，提出問題-猜想或假設-設計實驗-進行實驗-分析論證-得出結論-評估交流缺一不可。

（以上課例為本人和團隊共同努力的成果）

- END -

本文為原創，已獲作者授權，轉載請聯繫授權

圖片丨花瓣

編輯丨李俊萱

數學真是一門神奇的學科。有老師說，學生畏懼數學，覺得數學又抽象又難又無趣，很不好教；

但也有老師覺得，數學學科里可以發揮創意、和學生一起探索的內容太多了，可以做小實驗，可以畫數學畫，可以數學閱讀，布置作業也大有可為......

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