如何制定一個必贏的賭博規則

你敢和我賭嗎？

又是美好的周一，正當超模君在為即將到來的假期做準備忙得焦頭爛額時，突然有人敲開了辦公室的門，接著，一箱特某蘇就被送了進來。

快遞小哥：您好，請問超模君是哪位？這是您的快遞，麻煩簽收一下。

聽到有快遞，超模君先是有點懵，心想：最近也沒買東西呀？怎麼會有快遞？

不過，儘管心存疑問，但拆快遞這麼激動人心的事情，怎麼可以放過呢。

打開快遞箱之後，並不是大家以為的特某蘇，而是模友寄給超模君的長滿毛的椰子。

原來，在前兩天超模君做「毛球定理小實驗」時，找不到帶毛的椰子，貼心的模友看到之後，便給超模君寄了過來。

由於這位模友沒有留下自己的姓名和地址，超模君無法確定是哪位，麻煩看到文章之後，留言聯繫一下超模君，鵝準備送你一份小禮物啦。

模友送的明信片裡面提到，現在湛江已經很熱啦，而在廣州的超模君也想說，這幾天真的很熱。

這不，上個周末出去玩，都快中暑了。。。

就在上周，超模君看著隔壁公司的都去春遊了，便決定周末帶著整個超模團隊出去浪一天。

而到了晚上要休息的時候，找到了京西大旅館。

不過，京西旅館一間房一晚就要200塊錢，超模君摸摸口袋，啊哈，今天出門太急，除了帶了羊城通，什麼都沒帶……

（小天、小木、小模君、小智內心都翻起了白眼）

正當超模君在旅館門口尷尬徘徊時，作為超模團隊顏值擔當的小天決定跑去「色誘」老闆劉強西：

「劉老闆，我想到一個很好玩的遊戲，可是沒人跟我玩，請問強西老闆可以跟我玩嗎？」

小天這媚眼一拋，劉強西立刻醉了，說：「當然可以，遊戲規則是怎樣的呢？」

於是小天就說

：「遊戲很簡單，我們各自亮出硬幣的一面。如果我們都是正面，那麼我給你3元，如果我們都是反面，我給你1元，剩下的情況你給我2元就可以啦。」

雖然已經激動萬分，想要跟小天玩這個遊戲，但是，一直以來都比較「精明」地經營著京西大旅館的劉老闆，還是小算了一下這個遊戲贏的概率。

劉老闆大腦開始運轉了，想著：都是正面的概率是1/4，都是反面也是1/4，一正一反的概率是1/2。

那麼通過這個遊戲，我獲得的獎勵的期望是

E=1/4·3+1/4·1-1/2·2

這遊戲很公平啊，沒想到小天竟然想跟我玩這麼無趣的遊戲，難道真的是我太有魅力了？！（超模君：你真的想多了。。。）

然後，劉老闆就很開心地跟小天玩起遊戲來。

經過n輪的比拼，結果是劉老闆輸了3間房的租金。

而超模團隊順利免費入住了京西旅館。

那天晚上12點，劉老闆都還沒睡著，總感覺今晚有點「詭異」。。。

回想起今晚跟小天玩遊戲的前後：我跟小天玩的是亮硬幣，而不是拋硬幣，因此亮出硬幣正反面的概率是可以控制的！

於是，劉老闆趕緊拿起筆在草稿紙上算了起來。。。

經過認真的計算，劉老闆終於發現：

如果我以 0≤x≤1的概率出正面，而小天以3/8的概率出正面，那麼我的期望收益為

E=3/8·x·3+5/8·(1-x)·1-[3/8·(1-x)+5/8·x]·2=-1/8

也就是說在這種情況下，無論我怎麼選擇亮硬幣的概率，我平均每輪都要虧 1/8 塊錢，這還得了！警察蜀黍，我遇到騙子啦！

超模君滿意地點點頭：小天真聰明！

（又幫我省了一筆）

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（以上故事純屬虛構，如有雷同，算我抄你。）

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各位模友應該知道上面故事所說的3/8是怎麼得來的吧？

其實這道題不是簡單的概率問題，而是一個經典的零和混合策略博弈問題。

假設劉強西出正面的概率是p?，小天出正面的概率是p?，那麼劉強西的平均收益則為

E?=3·p?·p?+1·(1-p?)·(1-p?)-2·(p?·(1-p?)+(1-p?)·p?)

小天的則是

E?=-3·p?·p?-1·(1-p?)·(1-p?)+2·(p?·(1-p?)+(1-p?)·p?)

這個遊戲只有一個混合策略納什均衡(Nash equilibrium)，即(p?*,p?*)=(3/8,3/8)。

如果一個策略組合使任何一個參與人的策略都是相對於其他參與人的策略的最佳策略，這個策略就構成一個納什均衡，不管這個策略是混合策略還是純策略。

混合策略納什均衡是面對其他博弈者選擇的不確定性的一個理性對策，其主要特徵是作為混合策略一部分的每一個純策略有相同的期望值，否則，一個博弈者會選擇那個期望值最高的策略而排除所有其他策略，這意味著原初的狀態不是一個均衡。

而小天就是

使用了達到納什均衡的那個策略，即p?=p?*=3/8。

也就是說，無論劉強西選擇什麼策略都會有相同的收益期望，即劉老闆平均每輪都要虧 1/8 塊錢，玩得越多，虧得越多。

第二天早上，超模君看著劉老闆還是一副心痛的樣子，便上前安慰了一聲：不要這樣子悶悶不樂吧，錢不要緊，我們下次繼續光顧你們家旅館就是啦。

本文系網易新聞·網易號「各有態度」特色內容

部分資料來源於網路

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