新看一道你肯定做過的計算題

結繩記事

最早的數字

人類認識數學，最早就是從數數開始。數捕獵的動物數量、記錄過去的天數……所以最早的數字都是為了計算對應實物的數量。自然而然，最早出現的數字就是1、2、3、4……、10等自然數。數字0是一個例外，因為0代表什麼都沒有。所以無論中國、羅馬還是數學相當發達的瑪雅，儘管都各自發明了自己的數字，但是都沒有發明數字0。因為0實在是一個需要想像力的數字，什麼都沒有，那就沒有記錄的需要。直到公元前500年左右，0才由印度人最早發明。關於數字0的神奇故事和對數學的貢獻，可以另闢一個篇章詳細的介紹。

數學啟蒙

學習數學大多是從認識數字開始。從寶寶啟蒙時的數手指頭，數家裡的人數，再到數1到100的自然數，神奇的數字背後隱藏著很多樂趣。

1+1=2，開啟數學之門

數字誕生之後，面對記錄的數字，就會催促另外一個最實際的需求，那就是計算。1+1=2，應該是寶寶學會的第一道數學公式。以此為起點，孩子將逐步開啟他的數學之門。從簡單的加減乘除開始，逐步挖掘神奇的數字之間的規律。

一道經典的計算題

數學王子---高斯

據說這是大數學家高斯小時候做的一道數學題。無論高斯是否做過，我相信你一定做過。那就是1+2+3+4+5……+100=？話說這個題目是因為高斯的數學老師需要處理其他事物，於是給同學們出了一道繁重的計算任務，要求他們計算出1到100的所有數字之和。在其他同學們埋頭苦算之時，高斯很快就寫出了答案——5050，讓老師和其他同學大為震驚。高斯把1-100的所有數字分成兩行，1-50按從小到大的順序排列在第一行，51-100按從大到小的順序排列在第二行，如下圖所示：

因此，所有數字的和就是50×101=5050

方法二：

根據高斯的方法，我們還可以變換一種形式：1-100，每位數字都比前面一位數字多1；反過來，從100-1，每位數字都比前一位數字少1。所以，可以使用下圖的方法：

因此，所有的數字之和就是101×100。同時，因為上述公式計算了2個1-100，所以1-100的數字和就是（101×100）÷2=5050

認真觀察可以發現，方法二可以計算任何連續遞增或遞減的數字之和（即所有等差數列——相鄰2個數的數字差相等），如下圖所示：

根據上面的公式，可以計算出：1-N個連續自然數之和=N×（N+1）÷2。我相信大家或多或少都曾經學習過上面的方法。除了上面2種方法之外，還有其他方法嗎？哈哈，必須是有的。下面的這個方法，才是小編最想推薦給大家的。

最直觀的方法

1=1

1+2=3

1+2+3=6

1+2+3+4=10

1+2+3+4+5=15

……

數字太過抽象，結合圖形與有趣的數字規律，可以讓數字跳出魅力的舞蹈。把1、3、6、10和15等數字，用相應的小圓圈表示，這些小圓圈可以排列成如下圖所示的三角形，因此我們把這些數稱作「三角形數」：

……

三角形數

根據三角形數的定義，第N個三角形數為1+2+3+……+N。當N=100，第100個三角形數就是我們想要求解的1-100的數字和。請注意觀察，如果把兩個三角形並排放置，如下圖所示，會出現什麼結果呢？

請問，矩形中一共有多少個小圓？

這個由兩個三角形構成的矩形共包含5行和6列小圓，根據矩形公式，小圓總數=5×6=30個。因此，藍色三角形里的小圓數應該是矩形的1/2，也就是15個。以此類推，如果把包含N行小圓的2個三角形放到一起，那麼所得到的矩形包含N行和N+1列小圓，也就是N×（N+1）個小圓。於是，N個數字的求和公式就可以這樣推導出來：

1+2+3+……+N = N×（N+1）÷2

1-100的和=100×101÷2=5050

……

開啟興趣數學之門

把抽象的數字轉換成一個個小圓，也就是圖形之後，大家對公式的理解是不是容易了很多？其實，在持續的數學學習過程中，我們會發現，很多時候一根簡單的輔助線、一個簡單的圖形、一個多角度的變換，會讓百思不得其解的難題豁然開朗。這也正是數學學習的樂趣，數學思維對大腦的真正訓練。

同學們是不是有一種意猶未盡的感覺？恭喜你，你已經逐漸開啟了興趣數學的大門。

根據這個公式你還能推導出其他的計算公式嗎？歡迎你給我留言，有機會我也將再給你介紹。

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