數學與物理間的不合理聯繫
在這幅漫畫中，從左往右分別是：社會學家、心理學家、生物學家、化學家、物理學家和數學家。越右邊代表越純粹。思想的流動是從右往左的，右邊的學科不斷為左邊的學科提供「工具」。|圖片來源：xkcd
數學，是一門科學的語言。從算術到群論，數學構建了科學模型的基礎。我們或許會受到一個靈感或一種類比的啟發，但是精確的科學語言是需要以數學結構為基礎的。或許我們所了解到的關於宇宙最基本的一些東西都和數學有著某種深刻的聯繫。
這種聯繫或許可以上升為這樣的一個問題：為什麼數學如此有效？或許是因為我們只挑選那些有用的數學模型，而排除那些無法應用到科學的；又或許是因為作為在物理世界中進化而成的靈長類動物，我們認為是「純粹」的數學其實反映的只是我們眼中的宇宙是如何運作的。無論何種原因，數學看起來似乎有著不合理的有效性。1960年，物理學家尤金·維格納（Eugene Paul Wigner）在《數學在自然科學中不合理的有效性》中就表達了他驚奇於數學對物理世界的描述能力，遠遠超出任何純粹人造工具的想法。的確，許多物理學家都認為數學深刻地表述了物理現實的本質。
他們為什麼會這樣認為？物理是否也能贈以數學相應的回報？
意想不到的結果
數學在物理學中所起到的重要作用是毋庸置疑的。無論是測量、計數、還是理解世界上的任何模式或關係，數學都是必不可少的工具。
然而令人驚訝的是，即使是那些純粹為了追求美而發展出的純數學，也能在它出現的很久之後在物理學中找到完美的應用。
舉個例子，數學家波恩哈德·黎曼（Bernhard Riemann）在19世紀發展出了一套特殊的曲率幾何概念。當提出這一想法時，黎曼絲毫沒在意過物理學。那時的他絕對想不到，在20世紀初，他的工作會在愛因斯坦的筆下為物理學的革命性發展起到推波助瀾的作用：黎曼幾何正是廣義相對論所需要的數學基礎。根據廣義相對論，引力是由於大質量物體彎曲時空結構而造成的結果。為了描述這種彎曲，愛因斯坦需要定義一個幾何物體的曲率，而且不涉及該物體所嵌入的周圍空間——這正是黎曼60年之前就已經做到的。
這只是數學意外地在物理學中發揮關鍵作用的其中一個例子。純數學思維繼續引領著現代物理學的發展道路，而且它們總是能夠彰顯自己卓越的效力。
簡潔性
一旦某一物理學理論的數學描述被找到，就會發現它們通常都非常簡單。這並非說物理的數學很容易，其實遠非如此。它意味的是物理學的進展並不會帶來更複雜的數學。物理學上的突破往往發生在出現一種全新的看待問題的方法時，這種方法需要的是一個從前沒被用來思考這一問題的數學框架，又或者是全新的數學框架。在物理學史上，每當這樣一個新的框架在物理學上施展時，就會發現最簡單的那個方程成了描述宇宙運行規律的方程。
愛因斯坦的廣義相對論就是這樣一個例子。它的核心方程如下所示：
即使你無法領會其中每個符號的意思，但憑直覺也會感受到，作為一個描述宇宙中所有大型結構和過程的方程，它既優雅又簡潔。
精確度
另一個將物理學中的數學與其他科學中所應用的數學區分開來的是令人難以置信的精確度。其中一個例子就是用來描述電子自旋如何對電磁場做出反應的 g 因子。通過實驗，物理學家測量得到：
根據物理學中的量子場論，我們可以從第一性原理計算出g的值：
仔細對比就會發現，這兩個數值的精確度令人驚訝地達到了小數點後的13位！！！在其他科學領域中，理論值與實驗值是無法達到如此精確的。
物理學能回饋數學什麼嗎？
能！近幾十年來，我們觀察到了一個有趣的新動態：物理學的觀點已經滲透到數學中，解決了原本似乎完全無法企及的數學問題。
一個漂亮的例子來自於物理學家在理解未知物體時最喜歡用的方法。他們會用一大堆他們理解的相當好的粒子，轟擊那些未知的物體，再從這些粒子散射的方式推斷出物體的屬性。這也正是在大型強子對撞機（LHC）等實驗中所發生的粒子碰撞的情況。
自黎曼以來，數學家開始對流形（manifold）產生極大的興趣。如果你沒聽過流形這一概念，那麼可以想像一個彎曲且閉合的表面，比如一個球或甜甜圈的表面，而流形就是這種形狀在多維空間的推廣。從近處看，這些都是幾何物體，看起來與我們熟悉的普通歐幾里德空間完全相似。但是，它們的整體結構可以比平面或三維空間要複雜得多。它們甚至可以擁有三個以上的維度。但由於我們無法勾勒出這樣的流形，所以數學家們對此仍有許多困惑。
六維卡拉比-丘流形。|圖片來源：Jeff Bryant / Visualization
這時便可以借鑒物理學中的散射思維了。物理學家允許那些用數學方程描述的假想粒子在這些抽象流形上來回移動，使它們「感受」到它們移動時所處的空間。當所使用的假想粒子是那些可以同時出現在很多地方的量子粒子時，這種方法被證明尤其有效，而且在弦理論中粒子的概念會被弦所取代。例如，這種弦使物理學家發現某些流形是成對的，這是數學家完全沒有想到的一個事實。這種方法徹底改變了幾何學，並解答了一百年來都無法解決的幾何問題。
那麼數學和物理學真的享有某種特殊的關係嗎？自然的內秉是數學嗎？或者這些例子只是我們選擇的、或演化出的看待周圍世界的方式？這是留給哲學家的問題了，或許未來我們也會找到其中的答案。
最後，引用維格納曾說過的一句話來結尾：「數學語言在表述物理定律時的適當性是一個奇蹟，一個我們既不理解也不應得的奇妙天賜。」
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