技術潮汐的親歷觀察

紐約長島有著漫長的海岸線，石溪大學坐擁一片自己的私人海灘。這片海灘藏在密林深處，不為人知。雖然時有狂風暴雪，驚濤駭浪，但更多時候還是海空一色，天地澄明。潮汐日復一日地沖刷，將岸邊的礫石打磨得渾圓潤澤。有一片海灘上遍布石英鵝卵石，浸潤在海水中，在陽光照耀下玲瓏剔透，晶瑩透明。大海中生活著神秘的物種，有著活化石之稱的馬蹄蟹，戴著坦克般的鎧甲在海邊游弋。億萬年的歲月沒有帶給馬蹄蟹絲毫的進化，大洋中的生態也是亘古不變。陣陣海風掠過，帶來大海新鮮而苦澀的氣息，層層疊疊的海浪散落在沙灘上，留下雪白的泡沫和翠綠的海藻。成群的海鷗展翅迎風，鳴叫著懸停在浪尖之上。似乎在這裡，時光永駐，歲月靜好。多少代人看到的是同樣的晨昏景緻，聽到的是同樣的天籟濤聲，蒼茫而荒涼，古老而悠遠。但是波瀾不興的大洋表面之下，時刻暗流涌動，醞釀著時代巨變。

超越時代

上個世紀七十年代初期的一天，一位年輕的化學系助理教授和他三歲的女兒在海濱散步。小女孩目光非常敏銳，在岸邊撿到了一隻幼小的黑色蛤蜊，直徑不到半厘米。深夜，父親返回實驗室，將蛤蜊放入一隻細長的試管，再將試管注滿重水，放入自己搭建的簡陋儀器。他在機器轟鳴聲中採集了數據，然後用笨重的計算器來進行繁冗的計算。人類歷史上第一張活體斷層圖像誕生了！年輕教授匆匆寫就論文投向了《自然》期刊。

不幸的是論文慘遭拒稿，《自然》編輯的理由是圖像過於模糊。年輕教授奮起抗爭，他向編委控訴道：「過去50年的科學歷史可以由《Science》或《Nature》的拒稿來寫就！」 編委被其誠意打動，經過謹慎的重審之後接收了這篇劃時代的論文。但是，石溪大學拒絕為這項發明申請專利，專家們一致認為「這項發明可能帶來的轉讓費不會彌補專利申請費。」

那個時候，石溪有一位年輕的數學系教授同樣面臨著不為人理解的困局。石溪數學系一直是北美幾何重鎮，很多資深教授在學界享有盛譽。他們研究黎曼幾何的手法倚重比較定理。例如給定兩條邊長和夾角，平面三角形的第三條邊長大於球面三角形的第三條邊長。年輕人認為這種陳舊的手法過於粗糙，精密程度遠遠低於偏微分方程。但是在那個年代，偏微分方程和幾何是兩個相距甚遠的分支學科，資深教授不相信年輕人離經叛道的言論。年輕人毅然決然地開始了將偏微分方程和微分幾何相融合的歷程。

這兩位年輕人超越了他們所處的時代，他們沒有摧眉折腰地盲從主流，而是大無畏地追求理想。最終，石溪大學因為自身的短視和保守失去了這兩位年輕才俊。這位數學家是丘成桐先生，他融合了偏微分方程和微分幾何，創立了幾何分析學派，於1982年榮獲菲爾茲獎。那位化學家是Paul Lauterbur博士，他因為發明了核磁共振斷層掃描技術於2003年獲得諾貝爾醫學獎。

一片藍海

2003年，老顧和學生們來到了同一片海灘，風景依舊，但是革命正在發生。那時核磁共振技術正在為醫學領域帶來一場深刻的變革。人類可以輕而易舉地獲取各種器官圖像，但是如何精確分析這些器官的幾何形狀和紋理特徵成為學術領域的研究熱點。由此催生了一個新興領域，醫學圖像處理。一個比較基本的問題在於如何建立兩張拓撲複雜曲面間映射，使得映射光滑可逆，滿足一些特徵點的對應關係，即找到曲面間帶限制條件的微分同胚。比如為了監控奧茲海默症的發展，我們需要定量測量大腦皮層曲面的萎縮程度，因此需要建立大腦皮層曲面間的微分同胚，逐點比較時隔一年掃描的同一個大腦皮層。這一問題被稱為「曲面註冊」問題。曲面註冊可以用調和映照來解決。所謂調和映照可以如下直觀解釋：我們將源曲面看成是橡皮膜，罩在目標曲面上自由滑動，假設摩擦力為0，最後系統平衡時，曲面彈性形變能量最小，所得映射即為調和映照。

老顧和學生們經常在海邊討論這些幾何理論和工程問題，老顧逐漸看到了眼前的一片藍海：用丘成桐先生開創的幾何分析理論做Lauterbur博士開創的醫學圖像問題。

在十數年的漫長歲月，調和映照方法已經在醫學圖像領域廣泛使用。通過回顧這段歷史，老顧對於數學研究和計算機科學發展之間的關係有了切身體會。現代社會分工日益精細，每個人的知識結構、專業技能愈發狹窄。數學理論因為形式化和嚴格化的要求，非常晦澀難解。數學家和計算機科學家之間的直接交流相對困難。目前的計算機科學專業訓練依然達不到理解幾何分析的初級理論的階段，數學家也很少有機會能夠判斷他們發展的理論是否有實用價值。但是時代的發展需要這兩的學術方向的深度融合。基於多年的觀察，老顧對於這方面的很多問題形成了自己的見解。下面，我們以調和映照與曲面註冊問題的關係，來回答這些問題。

1.拓撲圓盤的調和映照。

靈感來源

1. 實用演算法的發明是否需要艱深的數學理論？

在醫學圖像處理中，我們經常需要將單連通的曲面映射到平面上面，如圖（1）所示。任何一個具備初步計算機圖形學、或者視覺的本科生都可以自己設計並實現這一演算法。其靈感來自於童年的物理世界中的真實遊戲。

圖2. 三角網格的數據結構。

計算機中幾何曲面被表示成離散的三角網格，如圖（2）所示。我們將每條邊看成一條彈簧，每個頂點看成一個粒子，彈簧彈性形變的能量為彈性係數和延長量平方的乘積。如圖（1）所示，我們將邊界均勻固定在圓周上，在平衡狀態時，整個系統的彈性形變勢能最小，這就給出了調和映射。因此，演算法歸結為優化彈性形變能量：

.

簡單的演算法給出相對滿意的結果。

但是相應的調和映照理論卻非常艱深。首先，給定兩個帶黎曼度量的曲面和一個光滑映射，我們選取等溫坐標系，

映射的調和能量為

調和映照是極小化調和能量的映射，從而滿足下面的歐拉-拉格朗日方程：

從理論上，我們需要證明解的存在性，解的唯一性，解的光滑性，以及解是否是微分同胚。這些證明需要概念、技巧和方法需要多年的數學專業訓練才能掌握，對於計算機編程並沒有直接幫助。但是，如果你追蹤這些數學技巧的內在靈感來源，依然是童年的物理世界中的遊戲，特別是小男孩熱衷的那些破壞性遊戲。

比如理論中最為曲折的存在性證明依循如下思路。經典函數空間對極限運算並不封閉，我們需要將其添加一些廣義函數，拓展成索伯列夫空間。在索伯列夫空間中找到一個序列極小化調和能量，那麼可以證明這一序列在索伯列夫空間中收斂，但是有可能收斂到一個廣義映射。我需要進一步證明，如此得到的極限是古典解，即連續映射。這一步的關鍵是用調和能量對連續模進行估計，需要用到庫朗-勒貝格引理。這個引理描述了這樣一個破壞性試驗：我們撕裂一個氣球，得到一片橡皮膜，用力拉伸將其形變，形變後的周長取決於初始周長和彈性形變能量的大小。如果我們將橡皮膜的邊界拉扯到圓周上，保證邊界處沒有皺褶，那麼橡皮膜會均勻地綳在圓盤上，內部也沒有皺褶；如果我們將橡皮膜的邊界拉扯到平面非凸多邊形上，那麼橡皮膜內部可能出現皺褶，但是整個橡皮膜落在邊界的凸包（convex hull）內部。這些遊戲經驗實際上正是證明調和映照存在性的關鍵觀察。因此，比較淘氣的男生應該容易理解掌握。現代小孩逐漸脫離現實物理世界，沉湎於虛擬遊戲，對於以後幾何、拓撲學的學習會有負面影響。

到目前為止，似乎調和映照理論用艱澀的語言，嚴密地陳述了一些膚淺的日常經驗，對於演算法的設計與提升沒有起到實質性的幫助。另一方面，在程序的調試過程中，我們發現極為重要的計算穩定性和計算效率問題。這些問題超出了日常經驗，也不在調和映照理論關心的範疇。

穩定性和效率

2. 使得一個演算法真正實用的關鍵在哪裡？

求解調和映照等價於優化調和能量，從理論上講，調和能量的凸性決定了演算法的穩定性。優化的方法主要有一階近似的梯度下降法，和二階近似的牛頓法，牛頓法的效率遠高於梯度下降法。在實際計算中，微分運算元被矩陣表示，牛頓法歸結為大型對稱正定稀疏矩陣求解。在數值代數中，人們發明了多種演算法來求解線性系統，比如常用的共軛梯度法等等。這些迭代演算法的數值穩定性和收斂速度取決於矩陣的條件數。而條件數最後歸結為曲面三角剖分的質量。

給定光滑曲面構造高質量的三角剖分，這是網格生成領域的核心問題。上個世紀70年代開始，計算幾何領域開始創立。基於Delaunay三角剖分，Voronoi圖的演算法被大量發明出來。基於Delaunay三角剖分的網格生成目前是工業界的主流，但是高維網格生成，彎曲流形的三角剖分依然沒有發展成熟。光滑流形的離散逼近理論在本世紀初期開始日漸成熟，主要是基於微分幾何的離散法叢理論。這一領域依然在蓬勃發展，存在大量尚未解決的基礎問題。

眾所周知，基本的幾何計算，例如一個點在三角形內部或者外部，在計算機上是極不穩定的，這依賴於CPU的硬體實現。雖然理論上不值一哂，但是這個貌似平庸的問題在實踐中是致命的。這也是為什麼很多美輪美奐的演算法，實際上無法實用的核心原因之一。為了提高數值穩定性，人們又發明了複雜的演算法予以保證。

數值代數，計算幾何，計算代數，網格生成，這些新興領域都是因為計算機的興起，響應時代呼喚而發展起來的交叉學科。雖然抽象程度不及基礎理論，但是它們在應用中不可或缺。

理論指導

3. 深刻幾何理論對於實用演算法的指導作用體現在哪裡？是否是不可或缺？

從上述討論中，我們得到如此印象：似乎物理直觀加上工程技巧可以應對實際情況，那麼是否有必要鑽研深刻抽象的理論呢？對此，老顧的學生們都曾發生過困惑。直到我們遇到大腦皮層映射問題。

圖3. 共形腦圖。

如圖（3）所示，我們希望比較兩張大腦皮層曲面，一種方法是將它們映射到單位球面上，然後在球面上進行比對。在實踐中，我們發現在工程方面相對完美之後，經過長時間的調試，調和映照的演算法依然不穩定。

真正的根源解釋來自調和映照理論。首先拓撲球面間的調和映照必是共形映射，其次球面到自身的共形映射不唯一，構成一個6維的莫比烏斯變換群。因此調和映照的演算法無法收斂到某一個解，在映照空間中震蕩。如此，我們可以添加一些限制條件，使得解唯一，例如令重心和原點重合以去除莫比烏斯歧義性等等。

這些理論結果在日常生活中非常難以直接觀察到，憑藉簡單的經驗已經無法對數值實驗的不穩定性給出合理解釋，必須引入幾何理論中的深刻結果來對實踐加以指導。

圖4. 帶特徵點的曲面註冊問題。每個小圓被映到相應的橢圓。

又如圖（4）所示的帶特徵點曲面註冊問題。給定一些對應的特徵點，我們欲求取微分同胚。如果直接用帶限制的調和映射來計算，所得結果非產生皺褶，而非同胚。這樣的缺陷並非來自工程誤差，而是來自理論層面的限制。丘先生曾經證明過一個定理：如果目標曲面的黎曼度量誘導的高斯曲率處處為負，那麼度為一的調和映射必然是微分同胚。這裡用到Bochner公式，將黎曼度量、高斯曲率、調和映照的雅克比矩陣聯繫起來。由此，我們得到啟發：將目標曲面的黎曼度量換成負曲率度量，再計算調和映照。但是我們遇到了巨大的障礙，在那個年代，計算數學領域、計算機科學領域沒有任何實用方法可以數值構造黎曼度量。我們只能求助於幾何分析理論。

二十世紀初，龐加萊奠定了代數拓撲的基礎，提出了著名的龐加萊猜想：單連通的三維緊流形和三維球面拓撲同胚。證明這一猜想成為拓撲學家夢寐以求的目標。雖然這個猜想是拓撲的，其最終證明卻是用幾何分析的方法。在1982年哈密爾頓提出了黎奇流的綱領來證明龐加萊猜想：

在二十一世紀初，黎奇流方法成功地證明了龐加萊猜想。黎奇流成為了用曲率來構造度量的強有力的理論工具。老顧和合作者們花費了十數年，建立了離散黎奇流的理論和演算法，從而可以自如地構造各種黎曼度量。

圖5. 離散黎奇流得到的雙曲度量。

有了雙曲度量之後，我們可以將圖（4）中的曲面去掉特徵點，然後配上雙曲度量，在雙曲度量下計算調和映照，得到微分同胚。在這種情形下，給定兩個同倫映射，我們可以用測地線來連接對應點，從而在映射空間中構造一個變分。由於目標空間曲率為負，我們可以保證調和能量沿著變分是凸函數，因此每一同倫類中調和映射唯一。從而保證了演算法的穩定性。

從抽象的龐加萊猜想到實際的三維人臉比對，這期間的道路過於漫長，這顯示了抽象數學的普適性和基礎性。圖（5）雙曲度量遠離日常生活經驗，因為左側的曲面配上雙曲度量後在現實的三維空間中無法實現。人類僅憑經驗和直覺是無法領悟出丘成桐先生的定理。如果對調和映照理論沒有深刻的理解，這種演算法是無法提出並實現的。

實踐對理論的反作用

4. 計算機科學是被動地從幾何理論中汲取營養？還是對基礎科學也有推動作用？

依隨對調和映照理論和演算法的深入理解，我們逐漸發現調和映照對於處理非流形空間依然卓有成效。特別是，在最近新興的等幾何分析（isogeometric analysis）中，調和映照起到了核心作用。等幾何分析需要實體被結構化六面體剖分，構造這種剖分的關鍵是得到邊界曲面上的葉狀結構。葉狀結構被建築大師哈迪德（Zaha Hadid）廣泛應用於她所設計的地標性建築。

圖6. Galaxy - Soho 建築表面的葉狀結構 （Zaha Hadid Architecture）。

計算曲面上的葉狀結構等價於求解從曲面到某種一維復形（Graph圖）的調和映照。從計算機演算法角度而言，將曲面間的調和映照演算法修改成葉狀結構演算法非常直接了當，但是從數學理論角度而言，兩者之間存在一條難以逾越的天塹。

圖7. 曲面上的葉狀結構。

由於目標不再是光滑流形，傳統的微分幾何工具無法直接應用。索伯列夫空間、調和能量、曲率這一切都要重新定義。雖然幾何實質相近，但是將這些直覺嚴密化有著本質的困難。丘先生的弟子 Richard Schoen完成了這一壯舉，從而為這一優美的演算法奠定了堅實的理論基礎。同樣，我們發展的離散曲面黎奇流理論，也可以用於證明經典的曲面單值化定理。

小結

回顧這段親身歷史，我們看到幾何分析理論和計算機科學之間的關係。粗淺的演算法可以基於直覺而發展出來，發展到深入階段之後，需要仰仗抽象深刻的數學來指導，日常經驗已經無能為力。基礎理論轉化成實用演算法，存在很多實際的困難需要解決，由此衍生了諸多交叉學科。同時，工程實踐也推動了基礎理論從連續流形到離散空間的發展。

從調和映照理論到曲面匹配演算法，社會分工的鏈條非常漫長，每一個環節都足以耗盡一個學者的生命。老顧認識很多數學家，看到他們對於偏微分方程的每一項都有著無法與人盡述的感覺和深情；也認識網格生成領域的領軍人物，看到他數十年來對於三角剖分無比痴迷；同時看到應用領域的青年才俊為了打造一個軟體系統，夜以繼日，廢寢忘食。每個領域都有內在的魅力和挑戰，都是時代發展不可或缺的環節。基礎理論比較艱辛，需要多年的積累，在人類文明金字塔頂，具有恆久的價值；應用科學成才迅速，推動時代發展，具有現實意義。數學更加美麗，計算機更加有力。

暴雪過後，老顧和學生們又會來到石溪海灘。2018年的春天，他們談論最多的是深度學習的理論解釋，最優傳輸理論、蒙日-安培方程的幾何圖景 。。。

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