計算機是數學家一次失敗思考的產物

轉自：愛智慧PHILOSOPHIA

哲學園鳴謝

計算機是數學家一次失敗思考的產物

[英]安德魯·霍奇斯著

孫天齊譯

節選自《艾倫·圖靈傳——如謎的解謎者》

在戰前，希爾伯特提出了一個關於歐幾里得幾何學的構想，他考慮了無限維度的空間。這個空間，在物理空間中是不能想像的，它更像是用音樂描繪的虛擬場景，你可以想像長笛音、小提琴音或鋼琴音，它們是由很多個基音，第一泛音，第二泛音等等組成的──每種聲音（理論上）是有無數個分音來使它與其它聲音區分開。在這個空間中，一個點就好比一個聲音，兩個點可以相加（好比兩個聲音疊加），一個點能夠和一個因子相乘（好比放大一個聲音）。

馮·諾伊曼注意到，要想研究一個量子系統的狀態，比如氫原子中的電子，正需要希爾伯特的這種觀點。這種狀態，就像聲音一樣可以疊加，而且這樣的狀態有無窮多種可能，正如一個聲音可以有無數的泛音。希爾伯特空間可以用於嚴密地定義量子力學，並進行清晰的公理化邏輯推導。

希爾伯特空間這種意外的應用，正支持了艾倫對純數學的看法。1932年，艾倫還得到了另一個支持，那就是，狄拉克基於抽象數學而預言的正電子，被發現是確實存在的。數學和科學，究竟是什麼關係，這對艾倫·圖靈來說，是一個複雜，微妙，對他個人的現代思考很重要的一個問題。

數學和科學的區別，在19世紀末才澄清。在此之前，人們往往認為，數學就是代表現實世界中的數量，然而這樣的觀點很快就被「負數」這樣的概念終結了。十九世紀，數學的很多分支都朝著抽象觀點發展，數學符號越來越脫離物質實體。

學校教的代數，也就是十八世紀的代數，會用字母來代表數值。它們遵守那樣的加法或乘法規則，是因為它們就是真正的數值。到了20世紀，這個觀點已經被拋棄了。像「x + y = y + x」這樣的規則，也可以看成是一種遊戲規則，來說明符號之間如何移動和結合。這種規則其實也可以用數字來說明，但這既沒必要，也不怎麼合適。

這種抽象的意義，就是把數學從傳統的計數和測量中解脫出來。在現代數學中，如果你願意，符號可以遵守任何規則，它的意義不僅是數值，它還可以根本沒意義。量子力學是一個很好的例子，說明數學的擴展成功地應用於物理學。它證明了，建立一個不是由數值組成的，而是由形式組成的理論，是非常必要的，希爾伯特空間就是代表。另外一個量子物理學家們正忙於研究的純數學問題，就是「抽象群」的發展。數學家們形式化地描述「運算」，把運算的結果也看成抽象的。

但在另一方面，面向抽象的發展，也給純數學內部帶來了一些危機。它被當成一種遊戲，按照隨意的規則來玩弄符號，那麼數學的實在感跑到哪裡去了？

危機首先出現在幾何研究中。18世紀，人們相信幾何是科學的一個分支，是這個世界的真理，而歐幾里得公理就是它的核心。但到了19世紀，人們發現，幾何系統的新發展與歐幾里得產生了分歧，人們開始懷疑，宇宙是否真的是歐氏的。在抽象系統的角度上，歐幾里得幾何是不是完備而自洽的，是有待於探討一下的。

歐幾里得原理，是否是一個完備的幾何理論，此時還搞不清楚。那些關於點和線的概念，都是憑直覺得到的，還有些多餘的假設也被用來做證明。從現代的觀點看，有必要抽象化點和線的邏輯關係，用形式規則來描述它們，使它們不局限於特定的物理意義，展現抽象遊戲本身的意義。如同希爾伯特所說：「我們應該同樣可以用『桌子、椅子、酒杯』來描述問題，而不只是『點、線、面』」。

1899年，希爾伯特成功地提出一個公理體系，使他可以不依靠特定的實體，而推導出歐幾里德的所有定理。然而，他的證明需要另外一個假設，那就是關於「實數」的理論。對於希臘數學家們來說，「實數」是對長度的測量值，它以可無限細分，最重要的是，假設「實數」在物理空間中是固定的。但是對於希爾伯特的觀點來說，這並不夠。

幸運的是，人們發現，還可以用另一種方式描述「實數」。到了19世紀，人們理解了「實數」還可以表現成無限小數，比如把π寫成3.14159265358979……一個實數可以用這樣的方式精確表達――整數的無限序列。直到1872年的時候，德國數學家戴德金精確展示了，如何用整數的語言來定義實數，而不需要測量。這一進步，統一了數字和長度的概念，也把希爾伯特的幾何問題，轉化成了一個算術領域的問題。正如希爾伯特所說，他把一切都歸約到了尚待解決的算術公理相容性的問題。

在這一點上，不同的數學家有不同的看法。一種觀點認為，討論算術公理是荒謬的，沒有什麼比整數更原始低級了。而另一方面認為，當然可以討論整數的基本屬性是否存在一個核心，其它問題都是由這個核心衍生來的。戴德金同樣解釋了這個問題，他在1888年做出說明：所有的算術，都是由三個概念衍生來的：首先有數字1，其次每個數字都有一個後繼，然後有一套歸納法，這使所有數字都能形式化描述。這些可以作為抽象原理寫出來，如果你願意，你同樣可以用「桌子、椅子和酒杯」來描述，關於數字的所有理論，都可以由此推導，不需要考慮「1」和「+」這樣的符號意味著什麼。一年後，1889年，義大利數學家G.皮亞諾對此給出了標準化的公理。

1900年，希爾伯特對數學界提出23個未解決的問題，來作為對新世紀的問候。在這些問題中，第二個就是皮亞諾公理的相容性，他認為，數學的嚴格性皆取決於此。「相容性」是一個決定性的的詞語，比如說，有的算術定理需要無數步來證明――比如拉格朗日定理：任一自然數都是四個平方數的和。誰能保證說，一直往下找，不會遇到矛盾？對於這種永遠無法驗證的事，憑什麼來做出這種保證？那麼皮亞諾的這套抽象規則，如何保證不會遇到矛盾？正如愛因斯坦質疑運動定理，希爾伯特現在要質疑2+2=4，至少說，他要求一個理由。

G.弗雷格在他1884年的《算術基礎》中，就考慮了這個問題。他提出一種邏輯的觀點，認為算術來自於實體的邏輯關係，它的相容性需要由現實世界中的基礎來保證。對弗雷格來說，數字「1」有明確的意義，也就是一張桌子或一個酒杯所共同擁有的意義。如果說「2+2=4」，就必須保證任何兩個東西和其它兩個東西放在一起，一定會有四個東西。弗雷格的工作就是把「任何」「東西」「其它」這些概念抽象化，通過最基本的客觀存在來構建算術。

然後伯特蘭·羅素超越了弗雷格的觀點，他通過引入「集合」的概念，把弗雷格的觀點更加具體化。他的主張是，如果從一個集合中取出的物體總是相等的，那麼就說，這個集合只含有一個元素。這樣就可以用「相等」的概念來定義「一個」。同時，相等還可以定義為對任意謂詞有同樣的值域。這樣來看的話，數字概念和算術公理就可以通過最原始的實體、謂詞和命題而嚴格地推導出來。

不幸的是，事情並沒有這麼簡單。羅素希望不通過計數，而是通過相等的概念，來定義單元素集合，然後再用「包含所有單元素集合的集合」來定義數字「1」。但是在1901年，羅素髮現，這種「集合的集合」會引發邏輯矛盾。

這個問題就在於，自我指涉的結果，有可能導致自相矛盾，比如「這句話是謊言」。在德國數學家G.康托的無限理論中，也出現了類似的問題，羅素髮現，康托悖論和集合論悖論是很類似的。他把集合分成兩種，一類包含自己，一類不包含自己。羅素寫道：「一般來說，集合不是自己的一個元素，比如人類的一個元素是一個人，但人類本身不是一個人。」然而，如果考慮抽象概念的集合，或者集合的集合，它就有可能是自己的一個元素。羅素接著說，這就有可能引發悖論：

考慮一個集合，它的元素是所有的「不屬於自己的集合」，那這個集合本身屬不屬於它自己？如果它屬於，那它就不是「不屬於自己的集合」，所以它不屬於；但如果它不屬於，那它就是「不屬於自己的集合」，又應該屬於。無論它屬不屬於，都說不通，這就產生了矛盾。

這個悖論，無論集合代表什麼，都是無法解決的。哲學家們可以長期討論這個問題，愛多久就多久，但那些都與弗雷格和羅素要做的事情無關。這個理論的關鍵，是要通過一種確定的、嚴密的、普適的、無爭議的方法，把算術問題從原始的邏輯中分離出來。你不用關心羅素悖論代表什麼，它就是一組符號，這些符號本身，就能按照這個規則，無情地導致這個災難性的矛盾。在任何一個純邏輯系統里，都不能出現這樣的自相矛盾。如果有人說2+2 = 5，那就能得出4=5，於是0=1，以至於任何數字都等於0，結果就是，任何等價於0＝0的命題，都是正確的。如果這樣看的話，數學要麼完全相容，要麼就全是浮雲。

在那十年中，羅素和A.N.懷特海，努力想要糾正這個錯誤。本質的困難是，現在已經證明，隨便弄一堆物體就叫作集合，這會導致自相矛盾。我們需要更加精準的定義。羅素悖論並不是集合論唯一的困境，但只有它在《數學原理》中佔了很大篇幅，這本1910年的權威著作，從原始邏輯中推導數學。羅素和懷特海提出的方法，是給不同的集合建立一套層次關係。先有原始的對象，然後有對象的集合，然後又有集合的集合，集合的集合的集合，等等。不同層次的集合，是不相同的，這樣一來，一個集合就不可能包含它自己。但是，這又有了新的麻煩：本來想用這套理論來解釋數字系統，結果現在這套理論過於複雜，比數字系統本身還複雜。不知道這是不是考慮集合和數字問題的唯一方法，在1930年，還有其它許多可供選擇的方案，其中，馮·諾伊曼也提出了一套。

數學應該是一個完備的相容的整體，這個聽起來不錯的需求，打開了一個充滿困難的潘多拉魔盒。一方面，數學命題看起來就像任何正確的東西一樣正確。但另一方面，它表現的只是紙上的符號，一旦有人糾纏符號的意義，這些符號就會引起悖論。

正如「愛麗絲鏡中奇遇」裡面的花園，你越是走向數學的心臟，就越會迷失在糾結的森林中。數學符號和物質實體之間沒有關聯。羅素在書的結尾說：「以上不完全的考量表明，在這個學科中，還有無數問題沒有解決，還有許多工作需要做。如果這本小書能夠給予學生啟發，對數理邏輯進行嚴肅的研究，那我寫這本書的主要目的就達到了。」

德國科學家是這個領域的核心，甚至是整個科學界的核心。但是隨著1933年的到來，希爾伯特所在的哥廷根毀掉了，核心變成了一個下水井蓋。馮·諾伊曼遠赴美國，不再回來，還有一些人則來到劍橋。波恩到了愛丁堡，薛定諤到了牛津，但是大部分逃亡科學家發現，還是美國比英國更歡迎自己。因此，普林斯頓大學的高級研究院，在這一時期飛速發展。當愛因斯坦1933年在那裡居住時，物理學家朗之萬評論道：「這是一個重大的事件，就像梵蒂岡走出羅馬，走向新世界一樣。物理學的磁極轉移了，美國將會成為自然科學的中心。」

猶太人不光是種族受到了納粹官方的干預，甚至還包括科學觀點本身，比如在數學哲學領域：

最近一些數學家在柏林大學見面，討論他們在第三德國的科研場所。他們宣稱，德國數學家願做浮士德。僅有邏輯基礎對他們來說是不夠的，德國人靠直覺產生無限的概念，這要比法國人和義大利人的邏輯方法優秀許多。數學是一門偉大的科學，它能減少混亂。社會主義的任務同樣是減少混亂，所以根據直覺和邏輯的共同作用，他們和新秩序之間的「靈魂聯結」已經建立了……

這讓英國人很驚訝，一個政黨居然也對數學感興趣。

在這個時期，對《新政客》來說，希特勒對凡爾賽條約的仇視，印證了凱恩斯和狄更生總說的話。問題是，現在對德國公平，就意味著對暴行讓步。保守的觀點是，新的德國對英國來說，是一個潛在的威脅，但它同時也是一個對抗蘇聯的堡壘。1933年11月，劍橋再度掀起反戰熱潮。

愛丁頓，一個貴格會教徒，一個和平主義者和國際主義者，愛丁頓談到測量結果的分布，以及它的圖象，術語叫作「正態曲線」。比如說，果蠅的翼展會趨向於一個中心值，並且以一種特定的方式，向兩端逐漸消失。為什麼這會這樣，是概率與數理統計中的一個關鍵問題。愛丁頓給出了一份大綱，解釋為什麼會這樣。

紐曼將近四十歲，與J.H.C.懷特海一起，作為英國拓撲學最著名的倡導者。這個數學分支是研究幾何的抽象結果，那些不需要測量的概念，比如連接，邊，相鄰等等。在古典幾何學佔據主流的劍橋，紐曼象徵著一個不斷前進的新力量。

拓撲學的基礎是集合論，所以紐曼也致力於集合論的基本原理。他也參加了1928年數學家大會，就是希爾伯特代表1924年被排除在外的德國的那一場。希爾伯特主張重新探索數學的基礎。紐曼的課程，就是繼承希爾伯特的精神來講的，而不是羅素的邏輯方法。確實，羅素的傳統已經漸漸衰弱了，因為1916年他首次被逮捕，並被剝奪了在三一學院的教席，於是他就離開劍橋了。在他的同行中，維特根斯坦轉向另一個不同的方向，哈瑞·諾頓發瘋了，而弗蘭克·拉姆齊在1930年死了。這使紐曼成為劍橋唯一一個對現代數學邏輯有深刻認識的人，當然，還有一些人對這些方法感興趣，包括布列斯威特和哈代。

希爾伯特的計劃，本質上是他19世紀90年代開始的工作的拓展。它並不急於解答弗雷格和羅素的問題，也就是數學到底是什麼。一方面，這樣就不那麼哲學化，不那麼讓人吃力。另一方面，羅素的那個艱難的困境實際上很難解決。希爾伯特提出的問題主要是，在原則上，《數學原理》的限制是什麼。有沒有一種方法，來判斷什麼可以被這套理論證明，而什麼不可以。希爾伯特的方法，叫作形式主義，它把數學看成一套形式規則。允許的證明步驟，就好比國際象棋中允許的走法，而公理就好比是開局時的擺法。在這個類比中，「下國際象棋」就相當於「做數學」，只是把國際象棋的命題（比如『兩個馬將不死對方』）換成數學命題。希爾伯特計劃，就是考慮這樣的命題。

在1928年的大會上，希爾伯特明確提出了他的問題。第一，數學是完備的嗎？是不是每個命題（比如『任意自然數都是四個平方數的和』）都能證明或證偽。第二，數學是相容的嗎？也就是說，用符合邏輯的步驟和順序，永遠不會推出矛盾的命題，比如2+2 = 5。第三，數學是可判定的嗎？他的意思是，是否存在一個機械式的方法，可以應用於任何命題，然後自動給出該命題的真假。

在1928年，這些問題都不能得到解答。但希爾伯特的觀點是，每個回答都將會是「是」。早在1900年，希爾伯特宣布「所有數學問題都是有解的……沒有數學照耀不到的角落」。當他1930年退休時，他研究得更深入了：

舉一個不可解問題的例子來說，哲學家孔德曾經認為，科學永遠無法給出宇宙的化學成分。但沒過幾年，這個問題就被解決了……在我看來，孔德找到一個不可解的問題的真正原因在於，這種不可解的問題壓根就不存在。

這個觀點，比實證主義者還要激進。但就在這同一個大會上，一個年輕的捷克數學家，柯特·哥德爾的宣布，給了他當頭一擊。

哥德爾能夠證明，算術一定是不完備的：存在既不能證明，也不能證偽的命題。他從皮亞諾的整數公理開始，經過集合層次理論的拓展，使這個系統可以代表整數的集合、整數的集合的集合，等等。總之，他的論點可以應用到任何涵蓋了算術公理的形式系統，與其公理本身的內容無關。

接著他展示了，所有的證明，那些像國際象棋一樣的邏輯演算規則，它們自己本質上就是算術的。也就是說，它們只是通過計數和比較這種操作，來判斷一個命題是否能被另一個命題替代――就像判斷棋子的移動是否合法，只是計數和比較而已。實際上，哥德爾表明，可以對這個系統進行編碼，這樣就可以用數字來表示關於數字的命題。這是他的核心想法。

哥德爾繼續展示，如何把證明編碼，以便整個算術系統都能用算術的方式描述。這個擴展基於這個事實：如果數學是一個純粹的符號遊戲，那就可以把符號全部換成數字。他能夠說明，「是一個證明」或「是可證明的」這樣的性質，跟「是平方數」或「是素數」一樣算術化。

這個編碼的結果是，人們能夠寫出自我指涉的算術命題，比如那個人說「我這句是說謊」。哥德爾確實構建了一個具有這樣的性質的命題，他說，「這個命題是不可證明的」。這個命題既無法證明，也無法證偽，因為它會導致自相矛盾。一個命題用公理進行邏輯推演，卻既不能證明，也不能證偽，所以，對於希爾伯特的問題來說，哥德爾已經證明，算術是不完備的。

還有，哥德爾的特殊命題還有一個明顯的問題。因為它是不可證明的，所以從某種意義上來說，它永遠是真的。但如果要說它是「真」的，就需要一個外部的觀察者，從這個系統之外來看待。你不能在這個公理系統內部來表明這一結論。

另外一點是，這個論點假設了算術是相容的。實際上，如果算術不是相容的，那麼每個命題都可以被證明。所以更確切地，哥德爾表明，一個形式算術系統，要麼不完備，要麼不相容。他也能夠說明，算術在它自身的公理系統中，可以證明是相容的。要做到這一點，需要這樣一個證明：存在一個不能被證明為「真」的命題（比如2 + 2 = 5）。哥德爾能夠說明，這樣的命題，與宣布自己不可證明的句子，本質上是一樣的。這樣一來，他解決了希爾伯特的前兩個問題。算術無法被證明是相容的，而且一定不是既完備又相容的。這是數學發展中的一個驚人的轉折，因為希爾伯特已經認為，他的計劃已經準備收尾了。這使那些想要在數學中找到絕對完美的人們感到沮喪，它意味著，有新的重大問題出現了。

紐曼的課程就以證明哥德爾定理作為結束，因此把艾倫帶到了學術界的前沿。希爾伯特的第三個問題仍然懸而未決，哥德爾的結論，並不排除存在某種方法，可以區分一個命題是否可被證明。也許相當古怪的哥德爾式主張可以以某種方式被分開。正如紐曼所說，有沒有一個明確的方法，可以用一個機械的過程，來判斷一個數學命題是否可以證明呢？

從某種角度來說，這是一個很高的要求，直奔當前數學界所有知識的核心。比如哈代在1928年相當憤慨地說：

很幸運，當然不存在這樣的方法，否則如果存在，那我們就有了一套機械的規則，來解決所有的數學問題，而我們的數學家生涯也就走到盡頭了。

有很多關於數字的命題，是經過了幾個世紀的努力，也沒有成功地證明或證偽的。比如費馬大定理，說任意立方數都不能表示為兩個立方數的和，任意四次冪也不能表示為兩個四次冪的和，等等。還有哥德巴赫猜想：任意偶數都是兩個素數的和。很難相信，這些頑強的命題，可以被一套規則自動證明。另外，那些已經得到解決的難題，比如四平方數定理，極少有被「機械的規則」證明的，往往都是通過創造性推演，或者構建新的抽象代數概念。哈代說：「只有完全不懂數學的人，才會相信有一台超自然的機器，數學家們只要轉動他的搖把，就能得到新的發現。」

從另一方面來說，數學的發展確實給「機械方法」的問題帶來了越來越多的麻煩。哈代也許會說，這些發展「顯然」還不是整個數學，但是自從有了哥德爾的定理，沒有什麼東西的是「顯然」的。這個問題需要更加嚴格的分析。

喜歡這篇文章嗎？立刻分享出去讓更多人知道吧！