孩子學數學是一場戰爭，是因為你不知道這些痛點
看點數學的重要性不言而喻，可厭惡、害怕學數學的孩子大有人在。為了督促孩子學習數學，不少父母和孩子之間關係緊張，甚至雞飛狗跳的場面也不少見。但這樣做對孩子學數學有幫助嗎？本文作者趙晴博士，分析了孩子不愛學數學的原因，強調父母要幫助孩子建立基本的數量概念，並推薦了三個辦法幫助孩子打好學數學的基礎，讓孩子學會用數學的思維觀察和認識我們所處的世界。
本文授權轉載自公眾號 成長合作社
原文標題為《數學戰爭：寫給小學生的父母》
文丨趙晴博士 編輯丨黃曄
因為我的專業背景是數學教育，每次回國，都會被自己的親姐提前預約.
「你至少拿出一天給LL補補數學啊！」。LL是我10歲的外甥，正上四年級，跟很多這個年齡的孩子一樣，不愛寫作業。平時好說，母慈子孝，一家子其樂融融，一寫作業，特別是數學，立即雞飛狗跳。
LL爸的數學很好，平時待人接物耐心有禮，屬於情緒十分穩定的那類人。但一開始輔導數學，就進入著急上火模式。「這有什麼難的！」 LL爸想不通，這麼簡單的題目，為什麼孩子就是不明白。
給幾個好朋友講完外甥的事後，大家忍不住回憶起了自己悲慘的童年數學往事。其實，不止國內普遍，美國孩子學數學也存在不少障礙。這些障礙，既源自數學比較抽象的特點 ，也和孩子的認知規律有關，同時也和教授者的方式分不開。
事實上，正是由於成年人無法體會孩子學數學的痛點，才讓做數學作業這個看似簡單的事，成為一場父母和孩子之間的戰爭，且不斷升級。所以，
數學到底難在哪裡？
孩子為什麼不喜歡數學？
作為父母又該怎麼做呢？
1. 數學難在哪裡？
The Curse of Knowledge 知識的詛咒
知識的詛咒指的是一種認知偏見。意思是說，掌握了某種技能和知識的人，無法體會未知者的痛苦。1990年，斯坦福的一個研究生Elizabeth Newton做了一個簡單有趣的實驗來驗證這一點。
Newton把實驗者分為兩組，讓第1組的人用手敲擊出一個人們非常熟悉的旋律節拍，比如《祝你生日快樂》，然後讓第二組人猜這個旋律是什麼。之後，再讓第1組的人預估第2組的猜中率。
敲節拍的一組人認為正確率應該在80%左右 －這麼熟悉的旋律，這麼簡單的節拍，有什麼難的？
而事實上，第二組人猜出旋律的真實比例僅僅是20%。
當成年人氣急敗壞地說「這有什麼難的！」時候，不過是被知識詛咒了而已。
對於成年人而言，1+1＝2不言自明，沒什麼可解釋的。但是這個簡單的算式中，其實包涵了一個複雜的認知過程。
孩子最初對數學的認知，基於生活中的「量」，比如一個蘋果。
最開始，我們拿一個蘋果放在小朋友面前，告訴他這是1；之後這個蘋果可能被一個畫著蘋果的卡片取代；接著卡片也沒有了，變成在紙上畫的一個蘋果，就像圖中看到的這樣。
然後突然之間，這些蘋果和蘋果的替代品都不見了，變成了一個和蘋果沒有任何關係的阿拉伯數字1。至此，一個實實在在的紅蘋果經過幾步演變，成了一個抽象的數學概念1。
換句話說，孩子對數字的認知過程里，經歷了具體（蘋果）到半具體（印有蘋果的卡片），半抽象（紙上的圖畫）到抽象（阿拉伯數字）至少4個步驟。
對於成年人來說，這個認知關聯一步到位，不需要任何解釋。但是這對小朋友來說，這是個頗為複雜的過程，每一步都需要一個推進。
一個具體的、實在的紅蘋果，和一個寫在紙上的1，怎麼把這兩個貌似不相干的東西關聯起來，孩子需要在思維中完成一個巨大的飛躍，從具體上升到抽象。
接下來，當孩子開始認識更大的數字時，他們能不能把一個抽象的阿拉伯數字和它所代表的 「數量「建立關聯，這是孩子培養數感的過程中非常重要的一步。
舉個例子來說，很多小朋友在剛開始練習數數的時候，都是12345這樣數下去。數得很熟練，跟背英文字母abcd沒什麼區別。
那麼，5對於小朋友來說到底是什麼？ 僅僅是跟在4後面的那個數字嗎？還是代表了比4還大了1的數量總和？
了解了知識的詛咒之後，嘗試著去理解數學中從具體到抽象的認知飛躍，再加上點同理心，或許成年人就可以慢慢戒掉類似於 「這有什麼難的」這樣的話了。
2. 孩子為什麼不喜歡數學?
在一次課題研究中，我和課題組的同事們接觸到了Amber。她當時是美國公立學校一年級的小姑娘。我們給她出了一道題：16+9等於多少？
從上面圖中可以看到一個豎式，這就是典型練習冊里的豎式，我們每個人都不陌生。
Amber很努力地回憶加法的規則，然後她給出了一個答案，等於15。我們問她，你確定你的答案是對的嗎？ 她確信地點點頭。
接著我們跟她說，來，我們換一種方式來計算。然後，我們拿出幾個塑料數字，排成一橫排，16+9=？
Amber開始心算。美國小朋友都喜歡往上加，16、17、18、19，加完了之後她跟我說，是25。
於是我們就問她，為什麼同樣都是16+9，卻得出了兩個不同的結果呢？這兩個答案是不是都對呢？
Amber認真的思考之後告訴我們，兩個答案都對。
我們接著問，那麼在所有情況下，難道這兩個答案都對嗎？她想了想說，都對。
為什麼，小朋友會堅信同一個問題有兩個不同的答案呢？
在這裡，我們有必要區分兩種非常重要的數學知識，程序知識和概念知識。
Amber在做豎式的時候，她在使勁回憶豎式的規則，怎麼個位相加，加完之後如何進位。大家都知道，數學的規則特別重要，每個老師都會強調這些計算步驟，一點都不能搞錯。
這種對於數學(運算)規則的理解，我們稱為程序知識（procedural knowledge）。做豎式，做分數運算，在數學的方方面面中，程序知識都是必不可少的。顯然，Amber在記憶這個規則的時候不知什麼地方出了問題，所以她才得出16+9＝15這個答案。
當Amber在回憶16+9的豎式規則的時候，她腦子裡肯定沒有想著，如果我有16個蘋果，再加多9個蘋果，一共會有多少蘋果？ 到底這個「量」的變化會是多少？她的注意力都在那些對她而言稀奇古怪的規則上面。
而當我們用塑料數字拼出一橫排的16+9=？ ， Amber馬上能聯想到這其中數「量」的變化，所以她開始用手指幫忙計算，一點一點加上去，直到得出25這個數字。 在加法運算中，這種對於量的變化的知識，我們就稱為「概念知識」。很顯然，概念知識是學好數學的基礎核心。
缺乏概念知識， 就算把公式和規則背得再滾瓜爛熟，也總有忘記的時候；而只有充分掌握了概念，知道這些運算的規則是怎麼推導出來的，就算一時忘了公式也沒什麼可怕的，大不了自己重新推導就可以了。
所以Amber的問題出在哪兒呢？ 一方面，她的程序知識和概念知識脫節了。豎式，看起來多權威，在她心中，這才是正牌的數學。另一方面，15這個答案違背了她的生活經驗。現實生活中，她的經驗告訴她，16個蘋果再增加9個，明明就是25啊！於是，她對此的解釋是，兩個答案都對。
這個例子讓我們這些研究者驚訝的發現，小朋友的心中的數學是多麼的脫離生活，不講道理。這也是為什麼，我們經常會聽到孩子抱怨數學makes no sense (說不通啊！)。
讓孩子的數學學習脫離常識，只看重規則，是家長和老師的失敗。
美國數學研究有很多分支，近些年非常受到重視的一個分支，是研究學生是如何看待數學的，而他們對待數學的態度又是如何（相互）影響他的人格形成的。 其中，比較有代表性的研究來自斯坦福大學的Jo Boaler教授。
Boaler在研究中，對兩個學校的學生進行了對比觀察。
她發現，因為教學方式的不同，第一個學校的學生認為數學是枯燥的，沒有道理可講，需要大量的死記硬背。這時候，即使有些學生數學成績很好，他們也傾向於選擇遠離數學的職業。因為這些學生認為自己是有創造力的，好奇愛動腦的，因此數學不適合他們。
而第二個學校的學生，因為學習數學的體驗不同，認為數學是有挑戰性的，有趣的，他們對待數學的心態更開放，也更願意接受更多的職業嘗試。
3. 父母能做些什麼？
在數學成為一門學科，走進學校，以及變成遍地開花的補習班和一本本習題冊之前，它首先是人們用來認識自然世界的基礎的方法之一。
數學之所以被發明出來，恰恰是因為我們的生活中離不開它。而現在歷經數千年的演變，數學衍生出屬於它自己的語言和符號，一不小心，就變成高高在上，脫離生活的死板無聊的學科。
所以，作為父母能做什麼？
A 還原數學本來的樣子，讓它回歸生活
數感不是數（3聲）數（4聲），而是知道數「量」的變化是怎麼來的，是去了解一種數量變化的因果關係。背熟9X9乘法表，或是熟記圓周率小數點之後100位，都跟數感一點關係沒有。
簡單的說來，切生日蛋糕，超市購物，停車繳費，商品打折……日常生活中的方方面面都可以變成數學相關的對話。
比如，周末全家出遊，要給車子加油，車子大概一公升油可以跑15公里，現在車裡有5升油，手機查地圖看看距離，往返一共需要80公里。那麼趕緊決定一下，現在是不是要加油了？
這就是生活中時常發生的對話，而這種對話的本質就是數學中的成比例思維。
我們首先是實實在在地跟一個數量打交道，然後才是把這個數量的變化用數學表達式體現出來。數學表達式，是用來體現數量變化的關係，而不是單純的符號遊戲。
B 多問開放型問題，少問封閉式問題
與其隨時隨地抽查孩子的計算能力，不如問問孩子有趣的問題。1+1人人都會，但是一條金魚和一條熱帶魚能不能相加？你能不能想出一個情景來？
如果換成1條金魚和2條水草呢？他們能不能相加？加起來是什麼呢？同樣的，你能不能想出一個情景來？
鼓勵孩子去回答開放性的問題，並大力表揚他們腦洞大開的想法，可以幫助孩子重新認識什麼是數學：它不僅僅是習題和唯一正確答案，更是一種思考方式，它有很多種可能性。
C 給孩子營造一個相對安全的環境，讓他們可以自由的提問。
不要小看這一點，一個不敢自由提問的孩子＋被知識詛咒了的父母，這個組合的結果一定是天怒人怨的。
前面已經說過，數學符號和表達式，經過了漫長的從具體到抽象的演變，而這中間任何一個環節沒搞清楚，都會導致「不明白」。
上次給LL輔導數學題，我姐夫皺著眉頭說，「小姨去幫LL加強一下面積和周長的計算方法吧，講了無數次了，就是記不住。」
走進房間，關上門，我跟LL說，小姨在做一個教學實驗，學生都是跟你一樣的三年級小學生，所以今天要請你幫個忙，當我的助教。
「小姨想知道怎麼講面積和周長的問題，才能讓他們聽明白，我在你身上實驗一下可不可以？ 」
奠定了我們互動的基調之後（至少讓LL知道，他的「不明白」實際對我是有幫助的），我設計了幾個題目，都跟周長和面積有關係。
我不講公式，只講概念，十幾分鐘之後，我嘗試著問LL，「所以你覺得面積和周長這兩個東西，還有什麼是其他的小朋友弄不懂的？」
他認真想了半天，然後小心的說，「為什麼面積用乘法而周長用加法？」
這個問題，很多家長聽了之後怕是會晴天霹靂吧—豈不是講了半天全白費了！
而實際上，一個孩子能這麼發問，至少說明：
他很勇敢，不怕被訓斥「怎麼做了這麼多題，還搞不清楚這麼基本的概念？！」
能問出這樣的問題，說明他認真思考了這兩者的異同。而我，終於知道他的問題在哪裡了！
同時，我也可以推想出，老師和家長在講題的過程中，一定是更注重程序知識（「記住啊，面積就是長乘寬，周長就是長加寬加長加寬」）而不是概念知識。
不要把孩子的數學問題簡單的歸結為不認真，記不住。這背後或許存在關鍵性的概念，需要我們幫助孩子一起去理清楚，弄明白。
學好數學，不等於把孩子變成計算機器。
學習數學，和數學建立某種關係，是孩子們成長過程中的一部分。因為大人的焦慮，疏忽，不耐煩，讓孩子早早形成對數學的偏見，排斥數學，這對孩子來說並不公平。
的確，不是每個孩子長大之後都能變成數學家。但是每個孩子，都至少應該有機會學會用一種數學的思維去認識我們身處的這個奇妙的自然和人文世界。
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