如何通過心形線快速認識秩的幾何意義？

學好線性代數

走遍天下都不怕

在數學世界裡，有許多英文名詞讀起來並不奇怪，但是翻譯成中文就感覺莫名其妙了。比如，ideal(理想)，cohomology(上同調)，rank(秩)，等等。今天超模君就帶大家來認識一下「秩」。

秩的來源

關於秩的來源，我們可追溯到19世紀後期。

1878年，德國數學家費羅貝尼烏斯(F.G.Frobenius，1849-1917)引入兩矩陣等價的概念，還給出了正交矩陣的正式定義。第二年，他又在論文中提出了秩的概念：如果一個行列式的所有r+1階子式為0，但至少有一個r階子式不為0，那麼就稱r為行列式的秩(rang，德語)。只提出概念是不夠的，費羅貝尼烏斯利用秩解決了矩陣可以用合同變換化成同秩的對角矩陣的問題。

F.G.Frobenius

費羅貝尼烏斯是一位很厲害的數學家，他還在橢圓函數、微分方程、數論和群論等領域有傑出貢獻，以他的名字命名的數學名詞和定理就有：

Frobenius自同態、Frobenius行列式定理、Frobenius公式、Frobenius群、Frobenius流形、Frobenius矩陣、Frobenius多項式、Frobenius定理、Frobenius猜想、Frobenius-Schur指標、Cauchy-Frobenius引理，等等。

費羅貝尼烏斯提出的rang，意思是等級，級別，頭銜，軍階；(劇場等的)樓座，樓廳；名次。而中文的秩，本義是根據功過確定的官員俸祿，引申義為根據功過評定的官員品級，再引申義：次序、順序。

那麼為什麼叫「秩」而不叫「豬」、「狗」、「貓」呢？我們來看一個情景就明白了：

每年三月份，圖書館研修室會開放給考研的學生，他們可以排隊來得到一個位置。剛開始排在你前面和後面的同學互相都不認識，那麼大家會按照順序一個接著一個排隊，非常有秩序。但是，隨著來排隊的人越來越多，他們「老鄉見老鄉」，我們「兩眼淚汪汪」，眼睜睜看著被插隊。

這時候，正常人都奮起反抗了，隊伍亂成一團，到最後誰也弄不到位置。

我們來總結一下：彼此不認識，那就不相關（線性無關），就有秩序，問題就好辦；反過來，彼此相關（線性相關），就沒有秩序，問題就不好辦。

因此，矩陣中的最大的不相關的列（行）向量的個數，就叫秩，可以理解為有秩序的程度。

當然，還有另一種猜測（純屬猜測），翻譯成「秩」，應該是想表達「等級」的意思。不同矩陣的秩有大小，就好比等級的高低了。

講得通俗一點，矩陣的秩可以理解為矩陣信息的等級劃分，秩從某種程度上講反應了矩陣內各個元素的相關性，秩越大，元素間相關性越小，每個元素代表的意義越不相似，整個矩陣蘊含的信息量就越大，反之亦然。

秩的幾何意義

如果文字有點繞，我們通過圖像來說明一下秩的幾何意義吧。以心形線為栗子，標誌一些特殊的點，方便等一下使用。

這不是屁股！

然後，我們分別以三種人為例子來討論一下心形線的變化。第一種是最讓人討厭的顛倒是非的人，他們的心就像作了一個旋轉變換，得到這樣一個圖形（虛線處）

其餘的點同理，於是我們得到了顛倒的心形（旋轉了180度），從圖像很容易看出來，旋轉變換後的圖形依然是二維的，所以，這個旋轉矩陣A1的秩就是2。

我們再來看一下第二種人。他們無論面對誰，都是一副面孔，說話一種語氣，這時候他們的心就像作了一種「降維」變換，得到一條直線：

此時，變換矩陣為

可以看出，我們得到的圖形（直線）是一維的，所以矩陣A2的秩就是1。

最後，我們來看一種傷感的人，他失戀了，原本轟轟烈烈的愛心一瞬間化為零，好比心形線一下子作了一個「零維」變換：

大家都知道，變換後的圖形是零維的，因此變換矩陣A3的秩就是0。

世界那麼大，我們遇到的不僅僅是上面三種人。會不會有一些人，讓我們的心從二維變換到三維，甚至是四維呢?

最後，我們總結一下，矩陣的秩就是列空間的維數（或列向量的極大無關組中向量的個數，這是代數版本），它的幾何意義就是，一個圖形（不僅僅是心形線）經過矩陣變換後，所得到的圖形的維數。

秩的生活應用

最後，我們簡單說一下秩的應用。

（1）計算矩陣的秩的一個實際應用是得到線性方程組的解的數量。通過判斷係數矩陣和增廣矩陣的秩的大小，我們可以知道線性方程組是否有解以及解的個數。可別小看方程，一個方程甚至可以改變世界。

（2）在控制理論中，矩陣的秩可以用來確定線性系統是可控的還是可觀察的。

（3）在通信複雜性領域，函數的通信矩陣的秩給出了雙方計算函數所需的通信量的界限。

（4）在找工作中，我們盡量選擇「滿秩」公司，為什麼呢？留給模友們思考（可結合相關性與秩的關係來考慮）。

本文系網易新聞·網易號「各有態度」特色內容

部分資料來源於網路

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