趣題：均勻分布且和為常數的n個變數

不知道大家有沒有幻想過，數學中是否存在這樣一個牛B的問題，發表出來後十幾年硬是沒有一個人解開；後來某人驚奇地發現，它有一個極其精妙的解答，整個解決過程只需要幾句話就能說清楚，但它實在是太巧妙了，這麼多年就沒有任何人想到。

最近我就遇到了這樣的事情。一道題目非常有趣，整個證明幾句話就完了，但想到解法的卻只有一人。

題目描述也極其簡單。

對於哪些n，存在一種生成n個隨機變數的演算法，使得它們在0和1之間均勻分布，且它們的和是一個常數？更進一步，如果這n個變數中任意k個都相互獨立，滿足要求的k最大是多少（表示成關於n的函數）？

當然，這道題目我也沒想出來。答案公布前，我思考了很久，最後還是放棄了。

顯然n是偶數時這樣的演算法是存在的，例如當n=6時，只需要先獨立地選取3個隨機變數X?， X?， X?，然後令X4= 1 – X?，X5= 1 – X?，X6= 1 – X?即可。

這可以保證6個變數之和總為3，且它們均勻地分布在[0,1]區間里。

但是當n是奇數時，滿足要求的演算法就未必存在了。

例如當n=3時，不妨讓X?和X?隨機取，X?等於1.5 – X? – X?。

這種演算法似乎很和諧，問題就出在X?有可能不在0和1之間。那麼，重複執行該操作直到返回一個落在[0,1]里的X?呢？這樣的話變數又不是均勻分布的了，這將讓變數更容易取到中間去，因為X?和X?太小或太大往往算不出合法的X?（下圖是Mathematica模擬的結果）。

我試圖從「n個變數的和的期望值是n/2」出發，證明和為1.5的3個變數不可能均勻分布在0到1之間。不過，最終還是沒有找到突破口。

在上面n為偶數的情況下，有n/2對不獨立的變數。是否有可能每一對變數都互相獨立呢？

很多人估計想，這怎麼可能，既然總和要求相等，各個變數之間必然會相互依賴、相互限制。而事實上，如果這些變數可以由第三方變數同時生成出來，上述矛盾很可能解決。

一個經典例子就是，投擲一顆骰子，設結果為d，則變數x = d mod 2，變數y = d mod 3，雖然它們看似「有聯繫」，但顯然它們是獨立的，不管x等於多少，y=0、y=1、y=2的幾率都是相等的，它的取值與x沒有任何關係。從概念上說，有P(x)·P(y) = P(x∩y)，這足以說明兩者是獨立的。巧妙利用這種關係，題目要求很可能達到。

從題目上看來，不單是變數「兩兩」獨立，即使任意三個變數互相獨立、任意四個變數互相獨立也是有可能的。我猜想k

今天我看到答案，一下子就傻了……這麼簡單的解法，兩個月了我居然一直沒想到。

事實上，我的整個大方向都完全錯了。

除了n=1顯然不行，其它情況下都存在均勻分布且和為常數的隨機變數。

當n=2時，取隨機變數X?，再令X? = 1 - X?，這兩個變數顯然符合要求。

當n=3時這個辦法雖然行不通，但我們有很多別的辦法。最巧妙的一種辦法就是選取3個三進位小數使得它們同一位上的數各不相同。

具體地說，從1開始枚舉i，每次把0、1、2三個數字隨機分配給X?， X?， X?，作為它們各自小數點後的第i位。三個變數顯然都均勻分布在[0,1]上，且它們的和總為1.1111111...，即十進位中的1.5。

那麼，當n>3時這個辦法還管用么？其實我們根本不必考慮這個，因為對於更大的n，我們只需要把變數兩個兩個分成一組，並分別套用n=2的演算法；若最後還剩了3個變數，再套用n=3的演算法就是了。這樣，對所有n>1的情況我們都給出了一種生成滿足要求的變數的演算法。

更令人抓狂的是，對於後一個問題，事實上連k=2都辦不到，其證明簡單得實在是出人意料。考慮

X? + X? + X? + … + Xn= 常數

等式右邊的方差顯然為0。假設變數兩兩獨立，則和的方差就等於方差的和。單個變數的方差為，即1/12。n個變數之和的方差即為n/12。等式兩邊方差不等，矛盾。

本文由超級數學建模編輯組整理

資料來源於matrix67

http://www.matrix67.com/blog/archives/1810

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