為什麼學習數學思維比背公式重要？
在我們的小學課本里，教材編寫者一直都是通過倒水或者倒沙子的方法給孩子們講解圓錐和圓柱體積的關係。幾十年前我讀書的時候是這樣，沒想到今年的小學課本依舊如此。這樣的教學方法，除了讓孩子們記住「圓錐體積是等底等高圓柱體積的三分之一」這樣一個事實之外，沒法教給孩子們任何其他有用的數學知識和思維方式。
無獨有偶，最近給低年級孩子講解奇數和偶數的運演算法則時，也遇到了一件讓我哭笑不得的事情。當我講到如何從奇數和偶數的定義去理解奇數偶數運演算法則時（比如說：奇數＋偶數＝奇數），有位小朋友站起來說：「我們可以把奇數看成是『壞孩子』，偶數看成是『好孩子』，『奇數加偶數等於奇數』就是壞孩子和好孩子在一起，好孩子被壞孩子帶壞了，都變成了壞孩子。」我不知道這是哪裡看到的比喻，其實我知道類似的記憶口訣或方法有很多，但我個人並不支持這種記憶法。理由很簡單，這種口訣或者記憶方法除了讓孩子生硬地記住相關公式以外，沒法傳授給孩子任何有用的知識。試問：奇數和壞孩子有什麼關聯？偶數和好孩子又有什麼關聯？可以這麼說，兩者之間半毛錢關係都沒有。如此牽強附會的口訣有多少意義呢？
嚴格來說，這些都不是數學。真正的數學既不是為了讓孩子們背誦數學公式，也不是為了一個答案，而是要學會如何思考問題和解釋問題，學會思辨和邏輯推理。但很可惜，我們的數學教育之路嚴重偏離了教育的本質。說得更加極端一點也許就是，我們的數學課上根本就沒有數學！
其實，學習數學公式背後的思想起源和思維方式，遠遠比背一個公式精彩百倍。這裡，我以「如何理解圓錐體積是等底等高圓柱體積的三分之一」為切入點，和讀者朋友們交流一下為什麼學習數學思維比背公式更加重要這個問題。
在數學問題中，最精彩的證明莫過於不需要證明，把複雜的問題轉變不斷簡化和一般化，我們就能看到數學之美。
我們先看和圓錐體有關聯的金字塔形（或者叫做角錐體）的體積，看看它與等底等高的長方體是什麼關係。
因為要比較等底等高的長方體，很自然的想法就是把這個椎體放進等底等高的長方體中，看看是什麼情況。
這是一個曾經困擾古代數學家們很長時間的問題。後來，有人提出一個有趣而且有啟發性的觀點：把一個立方體的中心點和八個頂點相連，就可以把這個立方體切成六個完全相同的角錐。如下圖所示：
很顯然，每一個角錐都是等底等高長方體的三分之一。這是一個偉大的發現或者洞見，也是一個極具美感的證明方式，堪稱一件藝術品。但問題來了，這個證明只適合上面這種高恰好是底邊二分之一的角錐，大部分的角錐都不符合這樣的比例。那怎麼才好呢？
其實，任何一種角錐都是上述角錐的特例，只是經過了一定程度的伸縮或者變形而得到的。
伸縮對於角錐體積和等底等高長方體體積的影響是完全同步的，兩者都要乘以一個伸縮的倍數。這意味著兩者的體積之比將會保持固定不變，任何一個角錐的體積都是等底等高長方體體積的三分之一，永遠成立。
那麼回頭再來看圓錐體的體積。
我們可以把圓錐體看成是一疊圓柱體的累加，如下圖所示：
當這些圓柱體的高度不斷降低，直至變成圓形薄片的時候，其體積就逼近圓錐體的體積。這是一種「窮盡」的思想，對理解很多數學問題都有很大的幫助。
但是，到目前為止，我們依舊無法確定圓錐體的體積公式如何得到。再次搬出前面我們解釋過的角錐體。找一個和圓錐體底面積和高都相同的角錐，放在一起比較。
因為上面的圓錐體和角錐的底面積和高都相等，所以只要證明他們的體積也相等就能說明問題了。要證明這個問題，我們把圓錐體和角錐體同時用窮盡法進行切片。
當圓柱體和長方體的高度同時不斷降低直至薄片時，每一個圓柱的體積和對應的長方體的體積都是相等的。也就是說，無論是哪一個高度，圓錐和角錐都有相同面積的截面存在。
因此，我們很容易知道，上面兩個圖形的體積也是相等的。然後，我們把這兩個圓椎和角錐分別放入等底等高的圓柱體和長方體中。因為圓柱體和長方體的底面積相等，高也相等，故體積也必定相等。從而得到，圓錐的體積是等底等高圓柱體的三分之一。
任何一種立體圖形都可以用無數薄片堆積而成，或者說逼近。如果兩個像這樣的立體能夠適當地擺放在一起，讓它們在任何一個相同的高度都有面積相等的截面，它們的體積必然相等。這就是著名的「卡瓦列里原理（Cavalieri principle）」。這個方法的始創者是古希臘數學家阿基米德（阿基米德就是用這種方法得到了球體的體積計算公式），但由伽利略的學生卡瓦列里重新發現。這個方法的精妙之處在於，無需計算出體積，而是通過選取合適的對象進行比較來得到體積。
事實上，中國古代著名數學家祖沖之、祖暅父子就提出「緣冪勢既同，則積不容異」一說，即「等高處截面面積相等，則二立體的體積相等」，並由此嚴格推導出球體體積的計算公式。祖氏父子對該原理的發現和運用要比卡瓦列里早一千年。故又被稱為「祖暅原理」。
卡瓦列里原理的應用很廣泛，最著名的例子就是球體體積的計算公式，其思想的精妙，讓人嘆為觀止！當然，這裡暫時不具體展開了，有機會再講解。
通過這個例子，我們不僅領略了數學中「窮盡」思想的魅力，還學到了「卡瓦列里原理」的原理和應用，這可比倒水或倒沙子有趣百倍。通過這樣的學習，我們不僅學會了如何思考，還學會了如何轉換角度看同一個問題。這才是數學要學習的東西！
希望我們的數學教育能回顧教育的本質，讓更多的孩子喜愛上數學，而不是只會背公式和答案，做毫無思辨能力的考試機器！
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