數學究竟能有多牛？

作者：黃逸文（中國科學院數學與系統科學研究院）

很多人對現代數學充滿疑慮，一邊是成長的過程中被數學的難題長期折磨而產生的心理陰影，另一邊又發現實際生活中運用數學的機會很少。因此，數學成了社交網路中避而不談的話題。

很早以前，我們就被教育「數學是思維的體操」。但是，對大腦是如何受益於這種體操的過程我們卻知之甚少。人們常常把數學知識當做數學，這其實是一種深深的誤解。學習數學，並不是以懂得多少數學定理為目標，更重要的是鍛煉解決數學問題中所接觸的思維方法。

謝爾頓和康德：他們的共同點是什麼？

事實上，在數學問題的求解過程中，演繹、歸納、類比和聯想是四種最重要、最基本的邏輯思考模式。它奠定了人們認識世界的理性基礎。儘管世界上還存在著很多非理性的行為，但是人們也希望用理性的方式來刻畫這類現象。比如在統計意義上成立的諸多心理學效應，類似馬太效應、破窗效應、棉花糖效應等。除此之外，在人類行為學中大放異彩的眾智成愚的烏合之眾理論、眾愚成智的群策智慧等也都體現了非理性的理性之光。

不難看出，即使在這些非理性行為的背後，仍然存在著某些可以追尋的邏輯線索。數學，恰好賦予我們思考事情本質的邏輯能力。

在某種程度上來說，數學鍛煉的是一種高屋建瓴的思辨行為，基於理性的嚴謹和一絲不苟來剖析真實世界隱匿的秘密。它打開了一扇科學的大門，特別注重證據和反思以及邏輯的連貫和嚴密性，以貝葉斯定理為基礎的概率方法更是揭示了認識世界的科學哲學觀。

因此，一個具備良好數學思維的人，不會輕易被謠言擊中，不會迷信所謂的好運氣與壞運氣。在堅如磐石的邏輯體系護航下，他的知識體系可以順利擴展到其他學科，使其對世界的認知漸具大局觀。

歷史上，傑出的哲學家都具備極其敏銳的思辨能力。這種能力，往往就受益於數學的基礎訓練。

比如以純粹理性批判著稱的哲學大師康德，早年曾在哥尼斯堡大學作為物理學和數學的講師授課，並且發表過多篇數學對哲學的影響著作。

及至近代，20世紀的哲學大師維特根斯坦和羅素，更是以紮實的數學基礎見長。羅素所著的《數學原理》發動了現代數學集合論的一場革命。維特根斯坦作為羅素的學生，更是以數學工具打開了分析哲學的大門。

從外太空到地球村：數學超越你的想像力

數學不僅能讓個人受益，對於自然、科技、經濟和金融等領域，數學更是具有不可替代的作用。

01

沒有數學，就沒有愛因斯坦相對論

歷史上海王星的發現就是數學理論投射給人類的第一縷理性之光。牛頓在1687年提出萬有引力定律之後，天文學家結合實際的觀測數據不斷證實著牛頓的理論預言。宇宙星空的運行彷彿都臣服在牛頓的定律之下，直到人們發現了天王星的異常攝動。這一攝動預示著宇宙的深處還有一顆未知的星球在牽引著天王星。1846年，人們終於根據筆尖上的理論預測觀察到了這個龐然大物，從而讓隱匿在茫茫虛空里的海王星露出了真容。

那一刻，是數學的力量讓渺小的人類面對浩瀚的自然時不再膽怯，人們得以從敬畏里收穫了尊嚴。從此，太陽系裡的星星都在牛頓萬有引力的指引下安分守己地運轉。

筆尖發現的海王星，方框中是法國數學家與天文學家勒維耶計算的位置，圓圈為海王星實際發現的位置。

半個多世紀後的1905年，數學再次將人類的認識範圍從太陽系提升到了全宇宙。為了解決牛頓經典時空觀帶來的矛盾，愛因斯坦提出了基於慣性參考系和平直四維時空的狹義相對論。

然而，愛因斯坦很快就意識到萬有引力無法被納入到相對論的框架，需要一種全新的時空觀來詮釋其背後的本質。可是，絕頂聰明的愛因斯坦也在很長一段時間內束手無策，他已經認識到這背後隱藏著顛覆人類世界觀的革命性發現，卻因為數學工具的匱乏而舉步維艱。

幸運的是，歷史格外垂青愛因斯坦。在狹義相對論問世前60年，德國數學巨匠黎曼天才般地創立了非歐幾何之一的黎曼幾何。彼時的人們對這類幾何的性質感到匪夷所思，由於缺乏在真實世界的客觀對應，黎曼幾何一直被作為純粹數學理論的豐碑而束之高閣。

時光匆匆，一甲子過後，它終於和新時代的科學巨人不期而遇，從而掀起了科學史上最波瀾壯闊的驚濤駭浪。當愛因斯坦如獲至寶地發現了隱匿在數學金字塔中的黎曼幾何後，又苦心花費了5年時間研究其背後的本質。兩顆天才的頭腦在此刻跨越了時空的束縛而產生了共鳴，歷史的天空被一道閃電撕開了裂縫，人們從中驚異地窺見了最深邃的智慧。廣義相對論終於在狹義相對論誕生10年後姍姍來遲，這一人類科技進展的巨大成就恰恰是數學理論推動的。

在黎曼的時代，並不知道現實世界其實是黎曼空間

02

信息時代從何而來？

歷史總是驚人的相似，當法國數學家傅里葉於1807年創立了傅里葉級數之後，數學分析就進入了一個全新的時代。

時至今日，世界上很多領域都受益於傅里葉級數的應用。從振蕩分析到影像處理，從激動人心的音樂創作到信息時代大放異彩的通訊技術，到處都有傅里葉級數的蹤跡。通過它，人們逐步認識到太陽發光發熱的秘密，甚至通過星光就能分析星球的化學成分。這一切，都是作為數學的理論之花的傅里葉級數帶給世界文明的饋贈。

上個世紀中葉，圖靈和馮·諾依曼憑藉其深邃的數學功底開創了現代計算機的結構模式，從而幫助人們進入信息時代，其影響力在未來數百年都將餘音繞梁。這一切，都深深地受益於19世紀末數學家康托引入的無窮集合理論以及被希爾伯特譽為自亞里士多德以來人類最偉大的邏輯學家哥德爾在1930年代建立的不完備定理。

「計算機之父」圖靈和馮·諾依曼的身份都是數學家

03

比巴菲特還厲害？

回到當代，數學究竟在經濟和金融里又能扮演什麼樣的角色呢？

納西姆·塔利布

納西姆·塔利布（Nassim Taleb）被人讚譽作為當今世界最炙手可熱的商業奇才之一。他畢業於沃頓商學院，是美國柯朗數學研究所的研究員，也是世界上最令人敬畏的風險管理理論學者。他精通多國語言，涉獵範圍包括哲學、邏輯學、歷史學和心理學，堪稱學術界和商界的雙重思想大家。在數學王國里取得高深的造詣後，他將其思想融入到現實世界，在金融市場也取得了驚人的成功。

他的名著《黑天鵝》和《反脆弱》吸取了龐加萊的科學哲學思想、波普爾的懷疑主義思想，卡尼曼的行為經濟學思想以及曼德爾布羅特的分形幾何思想，還有帕斯卡的理性主義、休謨的人性論、洛克的經驗主義、哈耶克的自由經濟主義思想、蒙田的人生智慧、丹尼特的意識分析以及奎因的邏輯實用主義的大成。

我們從他身上不難看到，一個擁有數學思維的人能夠在多麼廣闊的世界裡施展才華。《黑天鵝》與《反脆弱》通過對影響人類歷史重大瞬間的剖析，揭示了人類理性在極端情境下的局限，打破了基於確定論的數學哲學觀，提出了新時代下世界運行的本質具有易變性、不確定性、複雜性和模糊性的特點。

對個人而言，要保持對風險的敬畏，同時對未知保持開放性，以概率和系統的思維進行理性思考、決策，通過多維度打造競爭力獲取資源，這樣才能在瞬息萬變的世界進程里立於不敗之地。

詹姆斯·西蒙斯

詹姆斯·西蒙斯（James Simons），美國文藝復興基金的創始人，曾與數學大師陳省身合作提出蜚聲國際的陳-西蒙斯理論。後投身於金融，一躍成為美國最炙手可熱的對沖基金經理。在數學理論（具體演算法一直保密，外界揣測應該是壁虎式投資法）的幫助下，該基金的30年平均收益率已經遠超股神巴菲特的傳奇。

數學思維與理論的結合，足以幫助一個人建立完整可靠的世界觀，即使在高度不確定的未來，也能有良好應對風險的能力。每一個對世界多一份好奇，對未來多一份期待的人，都應該儘力掌握好這門古老學科的智慧。

來源：科學大院

編輯：yangfz

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