冷知識：30人的班級里，存在兩人生日相同的可能性是不是很低？

知識 04-22

生日悖論是什麼？

生日悖論是指，如果一個房間里有23個或23個以上的人，那麼至少有兩個人的生日相同的概率要大於50%。

這就意味著在一個典型的標準小學班級(30人)中，存在兩人生日相同的可能性更高；對於60或者更多的人，這種概率要大於99%。

從引起邏輯矛盾的角度來說生日悖論並不是一種悖論，從這個數學事實與一般直覺相抵觸的意義上，它才稱得上是一個悖論。

大多數人會認為，23人中有2人生日相同的概率應該遠遠小於50%。計算與此相關的概率被稱為生日問題，在這個問題之後的數學理論已被用於設計著名的密碼攻擊方法：生日攻擊。

23人，同一天生日的概率是多少？

上次剛看同學發的朋友圈說道：「兩個人同一間宿舍，而且同年同月同日生，這個緣分真的是醉了」，當時我也是醉醉的，看了這個演算法後才發現，屋裡有23個人，那麼就可以50%的概率生日是一樣的。

是這樣子證明的

首先，假設屋子裡有K個人，分別對他們編號1,2,3….k號。不考慮閏年的情況，那麼一年就有n=365天，首先還是要假設生日是均勻分布在一年的n天中（喜歡在春天生就都在春天生這就不均勻了），然後還要假設兩個人生日相互獨立（什麼雙胞胎那些還用得著算么？）。

那麼兩個人同一天（具體的一天）生日的概率就1/n^2 (生日的概率是1/n,兩個人同一天生日當然就相乘了)，那麼兩個人同一天生日（365天隨便一天）的概率就是1/n (n個1/n^2相加)。

也就是說假如屋裡面有兩個人，那麼他們同一天生日的概率是1/365，那現在要解決的問題是，屋裡要有多少人，才能使這個概率上升到1/2？

用事件的對立面來求

假設事件P=，Q=，那麼P=1-Q。

那麼知道Q的概率就能知道P的概率了，設Bk為前K個人的生日都有一樣，Ai為前第i個人與前i-1一個人的生日都不一樣，那麼就可以得到遞推式子：Bk=Bk-1^Ak。

它的等價形式為：P=PP{ Ak | Bk-1}。應用遞歸式可以得到P=P P{ A2 | B1} P{ A3 | B2}… P{ Ak-1 | Bk-2} P{ Ak | Bk-1} =1*(n-1/n) (n-2/n)… (n-k+1/n)(B1是規定為1的，然後P{ A2 | B1}就是365中有一天已經給B1用了，那麼就剩下n-1天了，所以概率為(n-1/n))。

P=1*(1-1/n) (1-2/n)… (1-k-1/n)

然後已知 1+x

求得當n=365時，必有k>=23,所以結論是至少有23個人在一間屋子裡，那麼至少有兩個人生日相同的概率至少是1/2。