人生的有限域—死於決鬥的數學天才伽羅瓦
伽羅瓦理論的發展歷史
網路安全依賴於兩種技術。一是傳統意義上的存取控制和授權，如存取控制表技術、口令驗證技術等；二是利用密碼技術實現對信息的加密、身份鑒別等。前者從理論和技術上是完全可以攻破的，而後者是有條件的，所以網路安全的核心仍將長期建立在密碼學基礎之上。橢圓曲線密碼體制(ECC: Elliptic Curve Cryptosystem)的安全性依賴於橢圓曲線離散對數問題，是目前已知的公鑰體制中強度最高的加密機制。考慮到實現難度以及加密效率，通常選擇素域GF(p)、二進位域GF(2n)或最佳擴域(OEF:Optimal Extension Field)等有限域作為ECC的基域，作為實現ECC的先決條件，有限域運算己廣泛應用於RSA、ElGamal等著名的公鑰密碼體制中，在編碼理論以及多種簽名演算法中也大量的應用場景。[1]
在抽象代數中，域是一種可進行加、減、乘和除運算的代數結構。域的概念是數域以及四則運算的推廣。域是環的一種。域和一般環的區別在於域要求它的元素可以進行除法運算，這等價於每個非零的元素都要有乘法逆元。同時，在現代定義中，域中元素關於乘法是可交換的。簡單來說，域是乘法可交換的除環。乘法非交換的除環則稱為體，或者反稱域。在過去的定義中，除環被稱為「域」，而現代意義上的域被稱為「交換域」，包含有限個元素的域被稱為有限域。
實際上，域是一個可以在其上進行加、減、乘和除法運算而結果不會超出域的集合。如有理數集合、實數集合、複數集合都是域，但整數集合不是（很明顯，使用除法得到的分數或小數已超出整數集合）。
如果域F只包含有限個元素，則稱其為有限域。有限域中元素的個數稱為有限域的階。儘管存在有無限個元素的無限域，但只有有限域在密碼編碼學中得到了廣泛的應用。每個有限域的階必為素數的冪，即有限域的階可表示為p?（p是素數、n是正整數），該有限域通常稱為Galois域(Galois Fields)，記為GF(p?)。
當n=1時，存在有限域GF(p)，也稱為素數域。在密碼學中，最常用的域是階為p的素數域GF(p)或階為2m的GF(2m)域。[2]
上述的Galois域就是伽羅瓦域，是由法國天才數學家埃瓦里斯特·伽羅瓦（évariste Galois）於18世紀30年代研究代數方程根式求解問題時引出的。年輕的伽羅瓦是不世出的奇才，作為法國對函數論、方程式論和數論作出重要貢獻的數學家，在他還只有十幾歲的時候，就用群論徹底解決了根式求解代數方程的問題，並且由此發展了一整套關於群和域的理論，為了紀念他，人們稱之為伽羅瓦理論。正是這套理論創立了抽象代數學，把代數學的研究推向了一個新的里程。正是這套理論為數學研究工作提供了新的數學工具——群論。它對數學分析、幾何學的發展有很大影響，並標誌著數學發展現代階段的開始。
法國天才數學家埃瓦里斯特·伽羅瓦的一生
伽羅瓦的一生充滿了傳奇色彩。遺憾的是，當他在世時，他數學領域的研究成果並未被世人所認知。他曾向法蘭西科學院呈送過3篇學術論文，均被退回或遺失：第一篇由於鑒定人柯西的因病缺席而被「遺忘「，第二篇因鑒定人傅立葉的不幸病逝而再次遺失，他第三次送交科學院的論文卻又得到了泊松的評價——「完全不能理解」。他曾因與巴黎綜合理工大學的主考官發生口角而丟掉了入職的機會，在父親受到誹謗自殺後，他放棄投身於數學生涯，轉而擔任輔導教師，卻因撰寫反君主制的文章而被開除，並且因信仰共和體制而兩次下獄。在路易·菲利普復辟的時期，他是一個激進的共和主義者，並因此被逮捕、坐牢。二十歲出獄後，他在一次幾近自殺式的決鬥中逝世，引起後人種種揣測。[3]
伽羅瓦畫像
（圖片來源：https://en.wikipedia.org/wiki/%C3%89variste_Galois）
伽羅瓦誕生在拿破崙帝國時代，經歷了波旁王朝的復辟時期，又趕上路易?腓力浦朝代初期，他是共和派的秘密組織「人民之友」的成員，並發誓：「如果為了喚起人民需要我死，我願意犧牲自己的生命」。
伽羅瓦敢於對政治上的動搖分子和兩面派進行頑強的鬥爭，年輕熱情的伽羅瓦對師範大學教育組織極為不滿。由於他揭發了校長吉尼奧對法國七月革命政變的兩面派行為，被吉尼奧的忠實朋友，皇家國民教育委員會顧問庫申起草報告，皇家國民教育委員會1831年1月8日批准立即將伽羅瓦開除出師範大學。
1831年5月10日，伽羅瓦以「企圖暗殺國王」的罪名被捕，1832年3月16日伽羅瓦獲釋後不久，年輕氣盛的伽羅瓦為了一個舞女，捲入了一場他所謂的「愛情與榮譽」的決鬥。伽羅瓦非常清楚對手的槍法很好，自己難以擺脫死亡的命運，所以連夜給朋友寫信，倉促地把自己生平的數學研究心得扼要寫出，並附以論文手稿。他不時的中斷，在紙邊空白處寫上「我沒有時間，我沒有時間」，然後又接著寫下一個極其潦草的大綱。他在天亮之前那最後幾個小時寫出的東西，為一個折磨了數學家們幾個世紀的問題找到了真正的答案，並且開創了數學的一片新的天地。
伽羅瓦對自己的成果充滿自信，他在給朋友舍瓦利葉的信中說：「我在分析方面做出了一些新發現。有些是關於方程論的；有些是關於整函數的……。公開請求雅可比或高斯，不是對這些定理的正確性，而是對這些定理的重要性發表意見。我希望將來有人發現，辨讀這一堆寫得很潦草的東西，對他們是有益的。滿懷激情地擁抱你。E?伽羅瓦。」
第二天上午，在決鬥場上，伽羅瓦被打穿了腸子。死之前，他對在他身邊哭泣的弟弟說：「不要哭，我需要足夠的勇氣在20歲的時候死去」。他被埋葬在公墓的普通壕溝內，所以今天他的墳墓已無蹤跡可尋。他不朽的紀念碑就是他的著作，由兩篇被拒絕的論文和他在死前那個不眠之夜寫下的潦草手稿組成。[4]
歷史學家們曾爭論過這場決鬥是一個悲慘愛情事件的結局，還是伽羅瓦因人生道路的艱難坎坷而選擇結束生命的一種方式。但無論是哪一種，一位世界上最傑出的數學家在他20歲時以一場自殺式的決鬥離開了這個世界，而他研究數學的時間只有僅僅五年，讓人唏噓。
作者：馬宇晨
責任編輯：眼界
