科技袁人：為什麼我們說不要輕易和數學家吵架之辛普森悖論

這周袁老師來替大家消耗一點腦細胞了。袁老師講辛普森悖論指出了常識性判斷有時往往會有誤導性，那麼怎麼能不被誤導而錯判呢，那就需要懂辛普森悖論這種數學邏輯，當然光懂道理還不行，你還要懂得怎麼把數學知識應用到現實問題上……

當然，全懂了之後，如果想說服別人，你還得多讀讀論語古書，這樣還能時不時念兩句詩來輔助表達。粗略估計了一下，大概重新回去花九年制義務教育的時間就能趕上這種數學語文基礎了。

所以還在上學的同學們，千萬要珍惜當下學習機會，視頻末尾小問題歡迎在評論區討論。

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部分評論

tddud：

記得以前有人用宋朝對外戰爭70%勝率來對比唐朝那30%-40%的勝率來證明宋朝軍事實力比唐朝要強的，現在看來也是辛普森悖論了

仙人掌盆栽者：

其實老師很隱晦的表達了讓我們看媒體文章的策略。好多媒體顛倒黑白的技巧就在於此，你要細扣它發現人家並沒有使用假數據，但是，媒體可以通過這種方法，結合去除某些判斷條件的手法來暗示你，讓你接受他的觀點已達到某種目的。

BisAnubis：

在視頻里袁老師說了幾句媒體過分誇大，就又勾出來幾個假道義聯盟的，什麼叫中國媒體是最沒公德的？你統計過？挨個調查過？全球摸底過？幾個uc能代表全部？你能不過腦子順口說出這種不負責的話就已經代表缺乏家教和素質，根本不懂客觀是什麼，只有你美國爹媒體公德？水平低於正常人腦子容量太小就少說話多看書，少在這動不動就裝智者總結什麼中國外國如何，說小了你這是順嘴胡說，說大了就是煽動謠言破壞社會穩定，uc震驚黨誰搞的？寫那些的不是所謂的老百姓？還是說震驚黨個個都是公職人員？你見過幾個國內正常媒體標題黨了？想賴到中國頭上？標題黨我們獨有？看到這種隨口胡扯的玩意真是噁心。

原文：辛普森悖論

經常有人問一個問題：數學有什麼用？

當然，這個問題一般是學渣問的……

學霸們對於這麼low的問題，往往發揮各種冷嘲熱諷，暴擊造成一萬點的傷害。不過今天我們不打算冷嘲熱諷，而是來講一個非常硬的、超越常識的數學知識，聽了你就明白它在日常生活也經常出現。放心好了，這個數學知識一點都不複雜，即使是學渣也肯定能聽懂的。（慈祥的微笑）

這個數學知識，叫做「辛普森悖論」，英文叫Simpson"s paradox。這個悖論，是英國數學家Edward H.Simpson在1951年提出的。其實在這之前也有其他的數學家提出類似的現象，不過真正引起公眾注意的還是Simpson，所以我們就把它叫做辛普森悖論好了。

這位Simpson老先生的生卒年，是1922年生……但是沒有卒年！因為他還活著呢，今年已經96歲了！2017年，也就是95歲的時候，他還為一本專業書寫了兩章的內容！

真是應了那首歌，「革命人永遠是年輕」……

言歸正傳。辛普森悖論說的是什麼呢？它說的是這樣一個統計學的現象：有時候，兩組數據各自都滿足某種性質，可是當你把這兩組數據合併起來考慮時，卻會得到相反的結論。

這話是什麼意思？聽起來很難以理解，對吧？正是因為難以理解，所以才叫做「悖論」嘛。看下面這個具體的例子，你就能獲得一些感覺了。

有甲乙兩個運動員，各打了100場比賽。他們的對手分為兩類：高手和低手。

甲跟高手打了80場，勝了8場。乙跟高手打了20場，只勝了1場。那麼跟高手打的勝率，甲是10%，乙是5%，甲的勝率比乙高。

再來看跟低手的比賽。甲跟低手打了20場，全勝。乙跟低手打了80場，勝了40場。那麼跟低手打的勝率，甲是100%，乙是50%，甲的勝率還是比乙高。

好，無論跟高手還是低手打，甲的勝率都比乙高。那麼如果統計總的勝率，甲肯定也比乙高，對不對？

在直覺上，你會認為，那絕對是當然的！（國產動漫《魁拔》里蠻吉的口頭禪）

但是，不要忙著下結論哦，算了以後才能確定。

同樣都是打了100場，甲對高手勝了8場，對低手勝了20場，總共勝了28場，總勝率是28%。而乙對高手勝了1場，對低手勝了40場，總共勝了41場，總勝率是41%。

你看，論總勝率，情況就反過來了，乙就比甲高了！

你的直覺是不是碎了一地？

實際上，這種情況在籃球運動員的技術統計中就不時地出現，例如某人投二分球和三分球的命中率都高於另一個人，總的投籃命中率卻低於他。為什麼會這樣呢？顯然是因為前邊那個人太喜歡投三分球了嘛。庫里同學發來賀電！

姚明

我們再來看一個醫學中的真實例子。對於腎結石，有兩種療法。腎結石的癥狀，有大結石和小結石兩種程度。兩種療法和兩種癥狀總有四種組合，醫學家們對於這四種組合做了四組實驗，得到下面這個表裡的結果。

療法1

療法2

小結石

93% (81 / 87)

87% (234 / 270)

大結石

73% (192 / 263)

69% (55 / 80)

總和

78% (273 / 350)

83% (289 / 350)

每一個格子里的比例，是治療的成功率。後面的兩個數字，是成功的病例數和這一組總的病例數。

現在的詭異之處是：無論對於小結石還是對於大結石，第一種療法的成功率都高於第二種療法。但是，當你統計總的成功率時，第一種療法卻低於第二種療法！

我們再來看一個假想的例子。有A和B兩個編輯，他們的工作是改進稿子。第一個星期，A只收到1篇稿子，但沒有改進成功。B收到4篇稿子，改進了1篇。第二個星期，A收到4篇稿子，改進了其中3篇。B只收到1篇稿子，改進成功了。我們同樣可以畫一個表如下：

編輯A

編輯B

第一周

0% (0 / 1)

25% (1 / 4)

第二周

75% (3 / 4)

100% (1 / 1)

總和

60% (3 / 5)

40% (2 / 5)

現在的詭異之處是：第一周和第二周，A的成功率都低於B，但是總的成功率，A卻高於B。

以上都是數字的例子。如果你還是雲里霧裡的話，我們還可以舉一個形象一點的例子。看下面這個關於矢量的圖：

辛普森悖論

這裡有兩組矢量，褐色的L1、L2和藍色的B1、B2。在同樣下標的矢量相比時，L1在B1的右邊，L2也在B2的右邊。可是當你把同顏色的矢量加起來的時候，L1 + L2卻在B1+ B2的左邊。

為什麼會這樣呢？這是因為L1比B1短得多，而L2比B2長得多。在L1 + L2中，主要的貢獻來自第二組的矢量L2。而在B1 + B2中，主要的貢獻卻來自第一組的矢量B1。

總而言之，辛普森悖論告訴你的是，你的直覺有可能是錯的。如果有兩組數據，A在這兩組數據中的成功率都高於B，那麼總的成功率卻可能會反過來，成了B高於A。

現在我們可以明白，辛普森悖論並不是個悖論，它只是個現象而已。這個現象是違反直覺的，但這只是因為你最初的那個直覺本來就不嚴格，沒有任何數學的證明。這個直覺只是經常成立，而不是必然成立，如果數據特別一點，就不成立了。所以一個有趣的問題反而是：你最初怎麼會產生那個錯誤的直覺的？！

我知道，這樣的解釋還不足以令你心安。因為你還是會感到迷惑：這讓我怎麼決策啊！我究竟該看分組的數據呢，還是該看總和的數據？

比如說，在我們的第一個例子，兩個運動員跟高手和低手比賽的例子中，如果你是教練，你會挑選誰進入你的運動隊呢？

在第二個例子，腎結石的兩種療法的例子中，如果有人得了腎結石，你會向他推薦哪種療法呢？

在第三個例子，兩個編輯的例子中，如果你是主編，你覺得哪個編輯的能力更強呢？

決策時究竟該看分組的數據，還是總和的數據，這是一個更高層次的問題了，比辛普森悖論本身更加難以理解一些。在這裡只能說結論：有時該看分組的數據，有時該看總和的數據，視問題本身的因果關係而定。

我們可以把這三個例子作為思考題，請同學們課下去想想，究竟該用分組的數據，還是總和的數據。歡迎踴躍留言哦~

最後，我們可以得到一個廣泛的哲學性的教益：日常語言是很模糊的，而數學語言就很精確。如果你跟別人辯論一個問題，誰都說服不了誰，請想想看是不是因為你們指的不是同一個東西，再想想看能不能用數學語言把你們想說的清楚地表達出來。

這就回到了我們最初的問題：數學有什麼用？

無論是學渣還是學霸，現在同學們是不是都對這個問題理解得大有深化了呢？

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